Mð rëng v thu hµp i¶an.. Giîi thi»u v· ành lþ Going up v ành lþ Going down.. ành lþ Going down v çng c§u ph¯ng.. ành lþ Going up v mð rëng nguy¶n.. ành lþ Going down v mð rëng nguy¶
Trang 3Möc löc 1
1.1 Phê cõa v nh v tæpæ Zariski 4
1.2 Mð rëng v thu hµp i ¶an 6
1.3 V nh àa ph÷ìng 6
1.4 V nh v mæ un àa ph÷ìng hâa 7
1.5 Mæ un húu h¤n sinh 9
1.6 Mæ un ph¯ng 10
1.7 Mæ un ho n to n ph¯ng 10
1.8 V nh àa ph÷ìng ¦y õ theo tæpæ m-adic 11
2 ành lþ Going up v ành lþ Going down 13 2.1 Giîi thi»u v· ành lþ Going up v ành lþ Going down 13
2.2 ành lþ Going down v çng c§u ph¯ng 15
2.3 ành lþ Going up v mð rëng nguy¶n 16
2.4 ành lþ Going down v mð rëng nguy¶n 24
Trang 4MÐ U
Trong to n bë luªn v«n v nh luæn ÷ñc gi£ thi¸t l giao ho¡n, câ ìnvà
Cho f : A → B l mët çng c§u v nh Vîi méi i ¶an nguy¶n tè q cõa
B, °t p = f−1(q) := q ∩ A Khi â p l mët i ¶an nguy¶n tè cõa A v i ¶an q ÷ñc gåi l n¬m tr¶n (lying over) i ¶an p Ta nâi ành lþ Going
up óng èi vîi f n¸u vîi hai i ¶an nguy¶n tè b§t ký p v p0 cõa A saocho p ⊂p0 v vîi i ¶an nguy¶n tè b§t ký q cõa B n¬m tr¶n p, tçn t¤i mëti ¶an nguy¶n tè q0 cõa B n¬m tr¶n p0 sao cho q ⊂q0 T÷ìng tü, ta nâi ành
lþ Going down óng èi vîi f n¸u vîi hai i ¶an nguy¶n tè b§t ký p v p0cõa A sao cho p ⊂ p0 v vîi i ¶an nguy¶n tè b§t ký q0 cõa B n¬m tr¶n p0,tçn t¤i mët i ¶an nguy¶n tè q cõa B n¬m tr¶n p sao cho q ⊂ q0 Trong ¤i
sè giao ho¡n, hai ành lþ n y th÷íng ÷ñc sû döng khi mð rëng d¢y c¡ci ¶an nguy¶n tè l¶n c¡c mð rëng nguy¶n Hay nâi c¡ch kh¡c, chóng th÷íng
÷ñc dòng º so s¡nh chi·u cõa mët ¤i sè húu h¤n sinh tr¶n mët tr÷íngvîi chi·u cõa mët v nh con m nâ nguy¶n tr¶n v nh con â
ành lþ Going up v ành lþ Going down óng trong mët sè tr÷ínghñp nh÷ B nguy¶n tr¶n A ho°c f l mët çng c§u ph¯ng Trong tr÷ínghñp B nguy¶n tr¶n A, ành lþ Going up ÷ñc ph¡t biºu d÷îi d¤ng: Gi£
sû A ⊆ B l c¡c v nh, B nguy¶n tr¶n A Cho p1 ⊆ p2 ⊆ ⊆ pn l mëtd¢y c¡c i ¶an nguy¶n tè trong A v q1 ⊆ q2 ⊆ ⊆ qm (m < n) l mëtd¢y c¡c i ¶an nguy¶n tè trong B sao cho qi ∩ A = pi (1 ≤ i ≤ m) Khi âd¢y q1 ⊆ q2 ⊆ ⊆ qm câ thº mð rëng th nh d¢y q1 ⊆ q2 ⊆ ⊆ qn sao
Trang 5cho qi ∩ A = pi (1 ≤ i ≤ n) ành lþ Going down ÷ñc ph¡t biºu d÷îid¤ng: Gi£ sû A ⊆ B l c¡c mi·n nguy¶n, A âng nguy¶n, B nguy¶n tr¶n
A Cho p1 ⊇ p2 ⊇ ⊇ pn l mët d¢y c¡c i ¶an nguy¶n tè trong A v
q1 ⊇ q2 ⊇ ⊇ qm (m < n) l mët d¢y c¡c i ¶an nguy¶n tè trong B saocho qi ∩ A = pi (1 ≤ i ≤ m) Khi â d¢y q1 ⊇ q2 ⊇ ⊇ qm câ thº mðrëng th nh d¢y q1 ⊇ q2 ⊇ ⊇ qn sao cho qi∩ A = pi vîi 1 ≤ i ≤ n
Câ r§t nhi·u t i li»u · cªp ¸n ành lþ Going up v ành lþ Going down (ch¯ng h¤n [3], [4], [5], [6], [7], ) Möc ½ch cõa luªn v«n l düa v oc¡c t i li»u tham kh£o li¶n quan º t¼m hiºu, têng hñp v tø â tr¼nh b yl¤i v· hai ành lþ nâi tr¶n
Ngo i ph¦n Mð ¦u, K¸t luªn v T i li»u tham kh£o, nëi dung cõa luªnv«n ÷ñc tr¼nh b y trong hai ch÷ìng Ch÷ìng 1: Ki¸n thùc chu©n bà Trongch÷ìng n y, chóng tæi tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m cõa ¤i sè nh¬m möc
½ch l m cì sð cho vi»c tr¼nh b y nëi dung ch½nh cõa luªn v«n ð Ch÷ìng
2 Ngo i ra chóng tæi cán tr½ch d¨n mët sè k¸t qu£ ¢ câ d÷îi d¤ng nhúngm»nh · nh¬m phöc vö cho c¡c chùng minh ð ph¦n sau Ch÷ìng 2: ành
lþ Going up v ành lþ Going down Trong ch÷ìng n y chóng tæi tr¼nh
b y v· ành lþ Going up v ành lþ Going down chõ y¸u düa v o [3]
v [6] Cö thº l chóng tæi s³ tr¼nh b y nhúng v§n · sau:
2.1 Giîi thi»u v· ành lþ Going up v ành lþ Going down;2.2 ành lþ Going up, ành lþ Going down v çng c§u ph¯ng;2.3 ành lþ Going up v mð rëng nguy¶n;
2.4 ành lþ Going down v mð rëng nguy¶n
Luªn v«n ÷ñc ho n th nh t¤i Tr÷íng ¤i håc Vinh d÷îi sü h÷îng d¨ncõa cæ gi¡o TS L¶ Thà Ho i Thu T¡c gi£ xin ÷ñc b y tä líi c£m ìn s¥usc ¸n cæ gi¡o TS L¶ Thà Ho i Thu ¢ tªn t¼nh h÷îng d¨n, ëng vi¶n
v t¤o i·u ki»n thuªn lñi cho t¡c gi£ trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v l mluªn v«n T¡c gi£ công xin c£m ìn TS Nguy¹n Thà Hçng Loan ¢ câ nhi·u
Trang 6trao êi v ch¿ d¨n cho t¡c gi£ v· luªn v«n.
Nh¥n dàp n y, t¡c gi£ xin tr¥n trång gûi líi c£m ìn tîi c¡c th¦y cæ gi¡otrong Bë mæn ¤i sè, Khoa To¡n, Pháng o t¤o Sau ¤i håc, Ban Gi¡mhi»u Tr÷íng ¤i håc Vinh ¢ gióp ï v t¤o i·u ki»n º t¡c gi£ câ mëtmæi tr÷íng håc tªp tèt v h¸t sùc thuªn lñi
Ngh» An, th¡ng 08 n«m 2013
T¡c gi£
Trang 71.1 Phê cõa v nh v tæpæ Zariski
1.1.1 ành ngh¾a Cho I l i ¶an thüc sü cõa R Khi â:
(i) I ¶an I ÷ñc gåi l nguy¶n tè n¸u vîi måi x, y ∈ R m xy ∈ I k²otheo x ∈ I ho°c y ∈ I
(ii) I ¶an I ÷ñc gåi l cüc ¤i n¸u khæng tçn t¤i i ¶an J 6= R m I 6= J
v I ⊂ J
Tø ành ngh¾a tr¶n ta suy ra I l nguy¶n tè khi v ch¿ khi v nh th÷ìngR/I l mi·n nguy¶n; I l i ¶an cüc ¤i khi v ch¿ khi v nh th÷ìng R/I l mët tr÷íng
Tªp t§t c£ c¡c i ¶an nguy¶n tè cõa v nh R ÷ñc k½ hi»u l SpecR Vîiméi i ¶an I cõa v nh R ta k½ hi»u V (I) = {p ∈ SpecR |p ⊇ I}
1.1.2 M»nh · Cho R l v nh.C¡c ph¡t biºu sau l óng:
Trang 8(i) Cho I, J l c¡c i ¶an cõa R Khi â V (IJ) = V (I ∩J) = V (I)∪V (J)
v i·u n y óng cho hå húu h¤n c¡c i ¶an
Nh÷ vªy c¡c tªp hñp d¤ng V (I) vîi I l i ¶an cõa R tho£ m¢n c¡c ti¶n
· v· hå tªp âng trong khæng gian tæpæ Do â SpecR trð th nh mëtkhæng gian tæpæ vîi hå tªp âng l V (I) trong â I l i ¶an cõa R Tæpæ
n y ÷ñc gåi l tæpæ Zariski Khæng gian tæpæ SpecR ÷ñc gåi l phê cõa
v nh R Méi tªp hñp V (I) ÷ñc gåi l tªp ¤i sè x¡c ành bði I
Mët khæng gian tæpæ X ÷ñc gåi l khæng gian Noether n¸u måi d¢ygi£m c¡c tªp âng trong X ·u døng Chó þ r¬ng n¸u R l v nh Noetherth¼ SpecR l khæng gian tæpæ Noether Cho f : A → B l mët çng c§u
v nh Khi â, vîi méiq ∈ SpecB th¼ f−1(q) ∈ SpecA nh x¤ af : SpecB →SpecA x¡c ành bði af (q) = f−1(q) l li¶n töc
Mët tªp âng trong mët khæng gian tæpæ ÷ñc gåi l b§t kh£ quy n¸u nâkhæng thº biºu di¹n th nh hñp cõa hai tªp con âng thüc sü Cho v nh R
v F l mët tªp con âng cõa X = SpecR Khi â F l b§t kh£ quy khi v ch¿ khi F = V (p) vîi mët i ¶an nguy¶n tè p n o â I ¶an p l duy nh§t
v ÷ñc gåi l iºm têng qu¡t (generic point) cõa F
Trong mët khæng gian tæpæ X, méi tªp âng Z ·u câ mët ph¥n t½ch duynh§t th nh hñp cõa húu h¤n c¡c tªp âng b§t kh£ quy: Z = Z1∪Z2∪ .∪Zr,
Zi 6⊂ Zj vîi i 6= j C¡c tªp âng Zi ÷ñc gåi l c¡c th nh ph¦n b§t kh£ quycõa Z
1.1.3 M»nh · Gi£ sû I l i ¶an thüc sü cõa v nh R Khi â V (I) câ ½tnh§t mët ph¦n tû cüc tiºu theo quan h» bao h m
Trang 9Ph¦n tû cüc tiºu trong m»nh · tr¶n ÷ñc gåi l i ¶an nguy¶n tè cüctiºu tr¶n cõa I (a minimal prime over-ideal of I) ho°c i ¶an nguy¶n tè cüctiºu chùa I.
1.2 Mð rëng v thu hµp i ¶an
1.2.1 ành ngh¾a Cho f : R → R0 l mët çng c§u v nh
(i) N¸u J l mët i ¶an cõa v nh R0, k½ hi»u Jc = f−1(J ) Khi â Jc l mët i ¶an cõa R v ÷ñc gåi l thu hµp cõa i ¶an J trong v nh R bði
çng c§u f
(ii) Cho I l mët i ¶an cõa v nh R K½ hi»u Ie =< f (I) > l i ¶an sinhbði f(I) Khi â Ie l mët i ¶an cõa v nh R0 v gåi l mð rëng cõai ¶an I trong v nh R0 bði çng c§u f
Trang 101.3.2 V½ dö (1) Méi tr÷íng l mët v nh àa ph÷ìng v¼ ch¿ câ duy nh§tmët i ¶an cüc ¤i l {0}.
(2) V nh c¡c chuéi lôy thøa h¼nh thùc K[[x]] =
v nh àa ph÷ìng vîi i ¶an cüc ¤i duy nh§t l <x>
1.4 V nh v mæ un àa ph÷ìng hâa
1.4.1 ành ngh¾a Cho v nh R v S l mët tªp con cõa v nh R Tªp hñp
S ÷ñc gåi l tªp nh¥n âng cõa v nh R n¸u 1 ∈ S v vîi måi a, b ∈ S th¼
l tªp th÷ìng cõa R × S theo quan h» t÷ìng ÷ìng ∼
Tr¶n S−1R trang bà hai ph²p to¡n cëng (+) v nh¥n (.), khi â S−1Rtrð th nh mët v nh v gåi l v nh c¡c th÷ìng cõa R theo tªp nh¥n âng
S
Trang 11Méi i ¶an cõa v nh c¡c th÷ìng S−1R ·u câ d¤ng S−1I, trong â I l i ¶an cõa v nh R Ta câ S−1I = S−1R ⇔ I ∩ S 6= φ Do â S−1I l i ¶anthüc sü cõa S−1R khi v ch¿ khi I ∩ S = φ.
Cho p ∈ SpecR Khi â S = R\p l mët tªp nh¥n âng cõa v nh R
V nh S−1R trong tr÷íng hñp n y l v nh àa ph÷ìng, k½ hi»u l Rp, vîii ¶an cüc ¤i duy nh§t l pRp = {a/s | a ∈ p, s ∈ R\p} n¶n ÷ñc gåi l
v nh àa ph÷ìng hâa cõa v nh R t¤i i ¶an nguy¶n tè p
Cho M l mët R-mæ un Tr¶n t½ch ·-c¡c M × S ta x²t quan h» haingæi
(m, s) ∼ (m0, s0) ⇔ ∃t ∈ S : t(s0m − sm0) = 0
D¹ th§y ∼ l mët quan h» t÷ìng ÷ìng tr¶n M × S Khi â M × S ÷ñcchia th nh c¡c lîp t÷ìng ÷ìng Vîi méi ph¦n tû (m, s) ∈ M × S, k½ hi»um/s l lîp t÷ìng ÷ìng chùa (m, s), tùc l
(m/s) = {(m0, s0) ∈ M × S | (m0, s0) ∼ (m, s)}
= {(m0, s0) ∈ M × S | ∃t ∈ S : t(s0m − sm0) = 0}.K½ hi»u S−1M = M × S/ ∼ l tªp th÷ìng cõa M × S theo quan h» t÷ìng
÷ìng ∼, tùc l :
S−1M = M × S/ ∼ = {m/s | m ∈ M, s ∈ S}
Chó þ r¬ng trong S−1M : m/s = m0/s0 ⇔ ∃t ∈ S : t(s0m − sm0) = 0.Tr¶n S−1M trang bà hai ph²p to¡n cëng (+) v nh¥n (.) Khi â S−1M
l mët S−1R-mæ un v gåi l mæ un c¡c th÷ìng cõa M theo tªp nh¥n âng
S, vîi ph¦n tû khæng l 0/1 = 0M/s, ∀s ∈ S
S−1M công câ c§u tróc l mët R-mæ un vîi ph²p nh¥n vîi væ h÷îngx¡c ành nh÷ sau:
r.m/s = r/1.m/s = rm/s,trong â r ∈ R v m/s ∈ S−1M
Trang 12Cho p ∈ SpecR Khi â S = R\p l mët tªp nh¥n âng cõa v nh R.Trong tr÷íng hñp n y ta vi¸t Rp thay cho S−1R v vi¸t Mp thay cho S−1M.Mæ un Mp ÷ñc gåi l mæ un àa ph÷ìng hâa cõa M t¤i i ¶an nguy¶n tè
p
1.4.3 M»nh · Cho f : M → N l mët R- çng c§u Khi â c¡c ph¡tbiºu sau l t÷ìng ÷ìng:
(i) f l ìn c§u (t÷ìng ùng to n c§u ho°c ¯ng c§u)
(ii) fp : Mp → Np l ìn c§u (t÷ìng ùng to n c§u ho°c ¯ng c§u) vîi méii ¶an nguy¶n tè p (trong â fp = S−1f vîi S = R\p )
(iii) fm : Mm → Nm l ìn c§u (t÷ìng ùng to n c§u ho°c ¯ng c§u) vîi méii ¶an cüc ¤i m cõa v nh R
1.4.4 M»nh · Cho A l v nh, S l tªp nh¥n âng cõa A v f : A →
S−1A l ¡nh x¤ tü nhi¶n Khi â vîi méi i ¶an p cõa S−1A ta câ p =
S−1(f−1(p)) Do vªy t÷ìng ùng p 7−→ f−1(p) l mët ìn ¡nh tø tªp c¡ci ¶an S−1A ¸n tªp c¡c i ¶an cõa A Hìn núa, t÷ìng ùng n y l mët song
¡nh giúa tªp c¡c i ¶an nguy¶n tè cõa S−1A v tªp c¡c i ¶an nguy¶n tè cõa
A khæng giao vîi S
1.5 Mæ un húu h¤n sinh
1.5.1 ành ngh¾a Mët R-mæ un M ÷ñc gåi l húu h¤n sinh n¸u câmët tªp sinh gçm húu h¤n ph¦n tû Nâi c¡ch kh¡c, tçn t¤i c¡c ph¦n tû
x1, x2, , xn ∈ M sao cho M = {r1x1 + r2x2 + + rnxn|ri ∈ R; i = 1, n}.1.5.2 M»nh · Gi£ sû A, B, C l c¡c v nh giao ho¡n N¸u C l B-mæ unhúu h¤n sinh v B l A-mæ un húu h¤n sinh th¼ C l A-mæ un húu h¤nsinh
Trang 13(ii) Sq l Rq∩R-mæ un ph¯ng, vîi måi i ¶an nguy¶n tè q cõa S.
(iii) Sm l Rm∩R-mæ un ph¯ng, vîi måi i ¶an cüc ¤i m cõa S
1.7 Mæ un ho n to n ph¯ng
1.7.1 ành ngh¾a Cho M l mët R-mæ un kh¡c 0 Khi â M ÷ñc gåi
l mæ un ho n to n ph¯ng n¸u M l mæ un ph¯ng v vîi måi R-mæ un N
m M ⊗
R
N = 0 th¼ N = 0
1.7.2 ành ngh¾a Mët çng c§u v nh f : R → S ÷ñc gåi l çng c§u
ho n to n ph¯ng n¸u S l R-mæ un ho n to n ph¯ng
Trang 141.7.3 M»nh · Cho f : R → S l mët çng c§u v nh Khi â f l ho n
to n ph¯ng khi v ch¿ khi f ph¯ng v ¡nh x¤ ψ : SpecS → SpecR l to n
¡nh
1.7.4 ành ngh¾a Cho R v S l c¡c v nh Khi â mët çng c§u v nh
f : R → S ÷ñc gåi l çng c§u àa ph÷ìng n¸u f(mR) ⊆ mS, vîi måi i ¶ancüc ¤i mR cõa v nh R (mS l i ¶an cüc ¤i cõa v nh S)
1.7.5 H» qu£ Cho R, S l c¡c v nh àa ph÷ìng v f : R → S l mët çngc§u àa ph÷ìng Khi â S l R-mæ un ph¯ng khi v ch¿ khi S l R-mæ un
ho n to n ph¯ng
1.8 V nh àa ph÷ìng ¦y õ theo tæpæ m-adic
Cho (R,m) l mët v nh àa ph÷ìng Ta x²t R nh÷ mët v nh tæpæ vîi
cì sð l¥n cªn cõa ph¦n tû 0 l c¡c i ¶an mt, vîi t = 0, 1, 2, Chó þ r¬ng
cì sð l¥n cªn cõa mët ph¦n tû tòy þ r ∈ R gçm c¡c lîp gh²p r +mt vîi
t = 0, 1, 2, Khi â v nh ¦y õ theo tæpæ m-adic cõa R ÷ñc k½ hi»u bðib
R ÷ñc ành ngh¾a b¬ng c¡ch thæng th÷íng theo ngæn ngú d¢y Cauchy nh÷sau: Mët d¢y Cauchy trong R l mët d¢y (rn) c¡c ph¦n tû cõa R sao chovîi måi t > 0, tçn t¤i sè tü nhi¶n n0 º rn− rm ∈ mt vîi måi n, m > n0.D¢y (rn) ÷ñc gåi l hëi tö v· d¢y khæng n¸u vîi måi t > 0 tçn t¤i sè tünhi¶n n0 º rn− 0 = rn ∈ mt vîi måi n > n0
Hai d¢y Cauchy (rn) v (sn) ÷ñc gåi l hai d¢y t÷ìng ÷ìng, k½ hi»u
l (rn) ∼ (sn) n¸u d¢y (rn− sn) l d¢y khæng Khi â quan h» ∼ tr¶n tªpc¡c d¢y Cauchy l quan h» t÷ìng ÷ìng Ta k½ hi»u Rb l tªp c¡c lîp t÷ìng
÷ìng cõa c¡c d¢y Cauchy
Chó þ r¬ng n¸u (rn) v (sn) l c¡c d¢y Cauchy th¼ c¡c d¢y (rn + sn),(rnsn) công l c¡c d¢y Cauchy v lîp t÷ìng ÷ìng cõa c¡c d¢y (rn + sn),(rnsn) l khæng phö thuëc v o vi»c chån c¡c ¤i di»n cõa c¡c lîp t÷ìng
Trang 15÷ìng cõa c¡c d¢y (rn) v (sn), tùc l n¸u (rn) ∼ (r0n) v (sn) ∼ (s0n) th¼(rn+ sn) ∼ (rn0 + s0n) v (rnsn) ∼ (rn0s0n) V¼ th¸ Rb ÷ñc trang bà hai ph²pto¡n hai ngæi + v çng thíi còng vîi hai ph²p to n n y, Rb lªp th nhmët v nh Méi ph¦n tû r ∈ R câ thº çng nh§t vîi lîp t÷ìng ÷ìng cõad¢y Cauchy m t§t c£ c¡c ph¦n tû trong d¢y ·u l r V¼ th¸ ta câ mët
ìn c§u tü nhi¶n giúa c¡c v nh
R −→ Rb
r 7−→ (r),trong â (r) l d¢y m t§t c£ c¡c ph¦n tû cõa nâ ·u l r çng c§u tünhi¶n n y l mët çng c§u ho n to n ph¯ng
Trang 16Cho f : A → B l mët çng c§u v nh Vîi méi i ¶an nguy¶n tè q cõa B,
°t p = f−1(q) := q∩ A Khi â p l mët i ¶an nguy¶n tè cõa A v i ¶an
q ÷ñc gåi l n¬m tr¶n (lying over) i ¶an p ành lþ Going up ÷ñc gåi
l óng èi vîi f n¸u thäa m¢n i·u ki»n sau:
(GU) Vîi hai i ¶an nguy¶n tè b§t ký p v p0 cõa A sao cho p ⊂p0 v vîii ¶an nguy¶n tè b§t ký q cõa B n¬m tr¶n p, tçn t¤i mët i ¶an nguy¶n tè
q0 cõa B n¬m tr¶n p0 sao cho q ⊂ q0
T÷ìng tü, ành lþ Going down ÷ñc gåi l óng èi vîi f n¸u thäam¢n i·u ki»n sau:
(GD) Vîi hai i ¶an nguy¶n tè b§t ký p v p0 cõa A sao cho p ⊂p0 v vîii ¶an nguy¶n tè b§t ký q0 cõa B n¬m tr¶n p0, tçn t¤i mët i ¶an nguy¶n tè
q cõa B n¬m tr¶n p sao cho q ⊂ q0
2.1.1 Bê · i·u ki»n (GD) t÷ìng ÷ìng vîi i·u ki»n sau: (GD') Vîi méii ¶an nguy¶n tè p cõa A v méi i ¶an cüc tiºu q cõa pB, ta câ q∩ A = p.Chùng minh (GD) ⇒ (GD'): Gi£ sû p l mët i ¶an nguy¶n tè cõa A v q
l mët i ¶an nguy¶n tè cüc tiºu cõa pB, ngh¾a l q l mët i ¶an nguy¶n tè
Trang 17v q l ph¦n tû cüc tiºu (theo quan h» bao h m) cõa tªp hñp
(GD') ⇒ (GD): Gi£ sû p,p0 l c¡c i ¶an nguy¶n tè cõa A sao cho p ⊂ p0
v q0 l i ¶an nguy¶n tè cõa B n¬m tr¶n p0, tùc l q0 ∩ A = p0 Khi â ta
câ thº thu nhä i ¶an q0 ¸n mët i ¶an cüc tiºu q trong sè t§t c£ c¡c i ¶annguy¶n tè chùa pB v gi£ thi¸t r¬ng q ∩ A = p Suy ra i·u ph£i chùngminh
2.1.2 Chó þ Cho f : A → B l mët çng c§u v nh, °t X = SpecA,
Y = SpecB v ψ = af, vîi af : SpecB → SpecA l ¡nh x¤ x¡c ành bði
af (q) = f−1(q) (xem Möc 1.1) Gi£ sû B l Noether Khi â (GD') câ thº
÷ñc tr¼nh b y d÷îi d¤ng h¼nh håc nh÷ sau: Chop ∈ X, °t X0 = V (p) ⊆ X
v Y0 l mët th nh ph¦n b§t kh£ quy tòy þ cõa ψ−1(X0) Khi â ¡nh x¤ ψbi¸n iºm têng qu¡t cõa Y0 th nh iºm têng qu¡t cõa X0
2.1.3 V½ dö Cho K[x] l mët v nh a thùc tr¶n tr÷íng K v °t x1 =x(x − 1), x2 = x2(x − 1) Khi â K(x) = K(x1, x2) v bao h m thùcK[x1, x2] ⊆ K[x] c£m sinh ra mët c§u x¤ song húu t¿
f : C = Spec(K[x]) → C0 = Spec(K[x1, x2]),
ð ¥y C l ÷íng th¯ng afin v C0 l ÷íng cong afin x3
1 − x2
2 + x1x2 = 0.C§u x¤ f bi¸n iºm Q1 : x = 0 v Q2 : x = 1 cõa C th nh còng mët iºm
P = (0, 0) cõa C0, â l iºm k²p thæng th÷íng cõa C0, v ¡nh x¤ f l mëtsong ¡nh tø C \ {Q1, Q2} l¶n C \ {P }
Trang 18Cho y l mët bi¸n kh¡c v °t B = k[x, y], A = k[x1, x2, y] Khi â
Y = SpecB l mët m°t ph¯ng v X = SpecA l mët ÷íng th¯ng; X thu
÷ñc b¬ng c¡ch çng nh§t c¡c ÷íng th¯ng L1 : x = 0 v L2 : x = 1 trong
Y Cho L3 ⊂ Y l mët ÷íng th¯ng ÷ñc x¡c ành bði y = ax, a 6= 0 v
g : Y → X l c§u x¤ tü nhi¶n Khi â g(L3) = X0 l ÷íng cong b§t kh£quy tr¶n X v g−1(X0) = L3∪ {(0, a), (1, 0)} Do â ành lþ Going downkhæng óng cho tr÷íng hñp A ⊂ B
Nhc l¤i r¬ng, mët çng c§u v nh f : A → B ÷ñc gåi l çng c§uph¯ng n¸u B l mët A-mæ un ph¯ng ành lþ sau ¥y cho th§y r¬ng çngc§u ph¯ng thäa m¢n ành lþ Going down
2.2.1 ành lþ Cho f : A → B l mët çng c§u ph¯ng Khi â ành lþGoing down óng èi vîi f
Chùng minh Gi£ sû p,p0 l c¡c i ¶an nguy¶n tè cõa A sao cho p0 ⊂ p v
q l i ¶an nguy¶n tè cõa B n¬m tr¶n p, p = q∩ A V¼ f : A → B l çngc§u ph¯ng n¶n ta suy ra B l A-mæ un ph¯ng p döng ành lþ 1.6.2 tasuy ra Bq l Ap-mæ un ph¯ng M°t kh¡c, ta câ ψ : Ap → Bq l çng c§u
àa ph÷ìng (v¼ ψ(pAp) ⊆ ψ(p)Bq ⊆ qBq) Do â theo H» qu£ 1.7.5 ta suy
ra Bq l Ap-mæ un ho n to n ph¯ng V¼ vªy theo M»nh · 1.7.3 ¡nh x¤
ϕ : SpecBq → SpecAp l to n ¡nh
B¥y gií ta s³ chùng minh tçn t¤i mët i ¶an nguy¶n tè q0 cõa B n¬m tr¶n
p0 sao cho q0 ⊆ q Thªt vªy, gi£ sû q00 l i ¶an nguy¶n tè cõa Bq n¬m tr¶n
p0Ap, tùc l q00∩ Ap = p0Ap L§y q0 = q00∩ B th¼ q0 ch½nh l i ¶an nguy¶n tècõa B n¬m tr¶n p0 v q0 ⊆q