Tìm hiểu về lý thuyết đồ thị

Định nghĩa 3: Giả đồ thị vô hớng G=V,E gồm tập các đỉnh V và E là họ các cặp không có thứ tự gồm hai phần tử không nhất thiết phải là khác nhau của V gọi là các cạnh, cạnh e đợc gọi là k

Lời cảm ơn

Em xin chân thành cảm ơn cô: Hồ Thị Huyền Thơng Ngời cô trực tiếp ớng dẫn em, cô đã tận tình giúp đỡ em trong từng bớc đi của từng cách giảiquyết vấn đề Cô đã chỉ ra phơng hớng để em hoàn thành tốt khoá luận này

h-Em hoàn thành đợc khoá luận này là nhờ rất nhiều vào sự giúp đỡ của cô, lầnnữa em xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô

Em xin chân thành cảm ơn đến toàn thể thầy cô trong khoa CNTT- Trờng

đại học Vinh đã nhiệt tình truyền đạt cho em nhũng kiến thức, những kinhnghiệm quí báu Nó chính làm nền tảng cho em có ngày hôm nay để hoànthành bài khoá luận này

Cuối cùng em xin chân thành cảm ơn đến tất cả những ngời thân bạn bèxung quanh em, họ là những ngời động viên, đóng góp ý kiến và giúp đỡ emtrong suốt quá trình làm khoá luận này

Em chân thành biết ơn!

Vinh, ngày 15 tháng 5 năm 2005

Sinh viên thực hiện

Ngô Thị Thu Huyền

lời nói đầu

Trong giai đoạn hiện nay, công nghệ thông tin đang là một trong nhữngngành mũi nhọn, nó không chỉ bó hẹp trong phạm vi nhà trờng, viện nghiêncứu, các trung trâm máy tính mà còn mở rộng ra các cơ quan, xí nghiệp vànhà máy Chính vì điều đó cho nên việc ra đời các ngôn ngữ lập trình đóngmột vai trò quan trọng đáng kể Một trong những ngôn ngữ đang phổ dụnghiện nay là ngôn ngữ lập trình Visual Basic Có thể nói đây là một ngôn ngữ

có cấu trúc chặt chẽ, hỗ trợ nhiều trong lập trình Với mục đích vừa làm công

cụ giảng dạy cho sinh viên, học sinh vừa giải quyết các bài toán trong thựctiễn Dựa vào ngôn ngữ lập trình này chúng ta có thể giải quyết đợc hàng loạtcác vấn đề trong thực tế, điều đó chứng tỏ đợc tầm quan trọng và sức sốngmãnh liệt của các ngôn ngữ lập trình nói chung và Visual Basic nói riêng.Trong thực tế ngời ta thờng sử dụng mạng lới điện thoại, giao thông đặc(biệt là mạng lới hàng không), mạng máy tính Chúng giữ một vị trí rấtquan trọng,việc nghiên cứu và phát triển kỹ thuật luôn đợc chú trọng, nhằmgiải quyết các công việc trong những lĩnh vực này một cách linh hoạt, ví dụ

nh giảm chi phí, ít tốn kém thời gian và còn nhiều hiệu quả khác Để giảiquyết những tổn hao đó, việc nghiên cứu phải dựa trên nghành toán học đó là

lí thuyết đồ thị (Graph Thoery) hay nói một cách chung lí thuyết đồ thị

là một công cụ toán học xây dựng mô hình cho các vấn đề trên

Nh ta đã biết một mạng điện thoại, mạng máy tính hay một mạngthông tin nói chung thờng có cấu trúc chung đó là các điểm liên hệ với nhau

Để mô hình sự liên hệ này, trong toán học lí thuyết đồ thị sẽ biểu diễn bởimột đồ thị, trong đó đỉnh của đồ thị là điểm thông tin, số đợc gán trên cạchcủa đồ thị là biểu diễn khoảng cách hay chi phí các nút thông tin

Cùng với những thực tiễn nh trên, dới sự hớng dẫn của cô Hồ ThịHuyền Thơng và với những hiểu biết của mình hôm nay, em làm đề tài với

tên đề tài là " Tìm hiểu về lí thuyết đồ thị " Cụ thể em mô phỏng một số

giải thuật tìm đờng đi ngắn nhất trên ngôn ngữ visual basic Mục đích là đa

ra đờng đi ngắn nhất giữa đỉnh xuất phát X, đến đỉnh đích Y nào đó trên một

đồ thị qua hai giải thuật trên đồ thị có trọng số và đồ thị không có trọng số.Nội dung của đề tài này em chia ra thành 3 phần cơ bản:

+ Phần 1: Lý thuyết đồ thị

+ Phần 2: Giải thuật tìm đờng đi ngắn nhất trên đồ thị

+ Phần 3: Một số ứng dụng của đồ thị.

Tuy đã cố gắng hết sức song vì thời gian cũng nh điều kiện có hạn nênkhông tránh khỏi những thiếu sót Rất mong đợc sự đóng góp chân thành củathầy cô giáo cùng toàn thể các bạn sinh viên để đề tài ngày càng hoàn thiệnhơn

Cuối cùng, em xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô Hồ Thị

Huyền Thơng, các thầy cô giáo trong khoa cùng toàn thể các bạn sinh viên

đã giúp đỡ nhiệt tình và tạo điều kiện tốt để em hoàn thành luận văn này Emxin chân thành cảm ơn!

Sinh viên: Ngô Thị Thu Huyền

2 Định nghĩa 2:

Một đa đồ thị vô hớng G = (V, E) gồm một tập các đỉnh V, một tập cáccạnh E và một hàm f từ E tới {{u, v} / u, v  V, u  v} Các cạnh e1 và

e2 đợc gọi là song song hay cạnh bội nếu f(e1) = f(e2)

3 Định nghĩa 3:

Giả đồ thị vô hớng G=(V,E) gồm tập các đỉnh V và E là họ các cặp không

có thứ tự gồm hai phần tử (không nhất thiết phải là khác nhau) của V gọi

là các cạnh, cạnh e đợc gọi là khuyên nếu nó có dạng e=(u,u)

 Đồ thị có hớng: Phân biệt cạnh nối từ đỉnh A đến đỉnh B và từ đỉnh B

đến đỉnh A là khác nhau

Ví dụ nh hình vẽ:

C A

D

e

g B

a

C

BD

A

FE

119

b/ Đồ thị có trọng số:Là đồ thị mỗi cạnh đợc gán một giá trị.Ví dụ nh hình vẽ:

A Các định nghĩa: 1.Định nghĩa 1.

Hai đỉnh u và vtrong một đồ thị vôhớng G đợc gọi làliền kề nếu (u,v) làmột cạnh của G Nếu e=(u,v) thì e đợc gọi là cạnh liên thuộc với các

đỉnh u và v Cạnh e cũng đuợc gọi là cạnh nối các đỉnh u và v Các đỉnh u

và v đợc gọi là các đỉnh đầu mút của cạnh (u,v)

a

65

32

4

475

b

dc

a

Bậc của một đỉnh trong đồ thị vô hớng là số các cạnh liên thuộc với

nó, riêng khuyên tại một đỉnh đựoc tính hai lần cho bậc của nó Ngợc lại

ký hiệu bậc của đỉnh v là deg(v)

3.Định nghĩa 3.

Khi (u,v) là cạnh của đồ thị có hớng G, thì u đợc gọi là nối tới v, và v đợcgọi là nối tới u Đỉnh u gọi là đỉnh đầu, đỉnh v gọi là đỉnh cuối của cạnh(u,v) Đỉnh đầu và đỉnh cuối có khuyên là trùng nhau

4.Định nghĩa 4.

Trong đồ thị có hớng bậc vào của đỉnh v đợc kí hiệu là deg-(v) là số các cạnh có đỉnh cuối là v Bậc ra của đỉnh v, ký hiệu là deg+(v) là số cạnh có đỉnh đầu là v

B.Các định lí:

1) Định lí 1 : Định lí bắt tay: Cho G = (V,E) là một đồ thị vô hớng có e

cạnh Khi đó: 2 e =

V v

Giả sử V1 và V2 tơng ứng là tập các đỉnh bậc chẵn và tập các đỉnh bậc lẻ G = (V, E) Khi đó:

2e = 

V v

v)

deg( = 

1

) deg(

V v

v + 

 2

) deg(

V v

v

Vì v là chẵn với mọi v  V1, nên tổng đầu tiên trong vế phải

là một số chẵn Mặt khác do vế trái (bằng 2e) là số chẵn nên tổng còn lại trong vế phải cũng là số chẵn Vì tất cả các số hạng của tổng này là các số lẻ, nên từ đó suy ra các

số hạng này là chẵn Hay số các đỉnh bậc lẻ là chẵn.

II.2 Những đồ thị đơn đặc biệt:

1 Đồ thị đầy đủ:

Đồ thị đầy đủ n đỉnh, kí hiệu là Kn, là một đơn đồ thị chứa đúng một cạnh nối giữa mỗi cặp đỉnh phân biệt Các đồ thị Kn, với n= 1, 2, 3, 4, 5

đợc biểu diễn nh hình sau:

2 Chu trình (vòng)

Chu trình Cn, n>=3 là một đồ thị có n đỉnh, v1, v2, ,vn và các cạnh { v1,

v2},{ v2, v3}, { vn-1, vn}và { vn, v1} Các chu trình C3, C4, C5 đợc biểudiễn nh sau:

3 Ngoài ra còn một số đồ thị khác nh : đồ thị bánh xe, các khối nchiều

II.3 Đồ thị phân đôi:

Định nghĩa: Một đồ thị đơn G đợc gọi là đồ thị phân đôi nếu tập các

đỉnh V có thể phân làm hai tập con không rỗng rời nhau V1 và V2 sao chomỗi cạnh của đồ thị nối một đỉnh của V1 với một đỉnh của V2

III/ Đ ờng đi, chu trình, đồ thị liên thông, Sự đẳng cấu.

1 Định nghĩa 1

Đờng đi độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v, trong đó n là số nguyên dơng,trên đồ thị vô hớng G=(V,E) là dãy:

x0,x1,…,x,xn-1,xn.Trong đó u=x0, v=xn, (xi,xi+1) thuộc E, i=0,1,…,x,n-1

Đờng đi nói trên còn đợc biểu diễn dới dạng cạnh :

(x0,x1),(x1,x2),…,x,(xn-1,xn)

Đỉnh u đợc gọi là đỉnh đầu , còn đỉnh v đợc gọi là đỉnh cuối của đờng đi ờng đi có đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối (tức là u trùng với v ) đợc gọi là chu trình Đờng đi hay chu trình đợc gọi là đơn nếu không có cạnh nào bị lặp lại

Đ-2 Định nghĩa Đ-2.

Đờng đi có độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v, trong đó n là số nguyên dơng,trên đồ thị có hớng G=(V,A) là dãy:

x0,x1,…,x,xn-1,xn.Trong đó u=x0, v=xn, (xi,xi+1) thuộcA, i=0,1,…,x,n-1

Đờng đi nói trên còn có thể biễu biễn dới dạng các cung:

(x0,x1),(x1,x2),…,x,(xn-1,xn)

Đỉnh u đợc gọi là đỉnh đầu , còn đỉnh v đợc gọi là đỉnh cuối của đờng đi ờng đi có đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối (tức là u trùng với v ) đợc gọi là chu trình Đờng đi hay chu trình đợc gọi là đơn nếu không có cạnh nào bị lặp lại

Đ-3.Định nghĩa :

Đồ thị vô hớng G=(V,E) đợc gọi là liên thông nếu luôn tìm đợc đờng đigiữa hai đỉnh bất kỳ của nó

4 Định nghĩa 4:

Ta gọi đồ thị con của đồ thị G = (V,E) là đồ thị H = (W,F), trong đó W 

Đỉnh v đợc gọi là đỉnh rẽ nhánh nếu việc loại bỏ v cùng với các cạnh liên

thuộc với nó khỏi đồ thị làm tăng số thành phần liên thông của đồ thị Cạnh e

đợc gọi là cầu nếu việc loại bỏ nó ra khỏi đồ thị làm tăng số thành phần liên

Các đồ thị đơn G = (V1, A1) và G = (V2, A2) là đắng cấu nếu có hàm song

ánh f từ V1 lên V2 sao cho các đỉnh a và b là liền kề trong G1 nếu và chỉ nếuf(a) và f(b) là liền kề trong G2 với mọi a và b trong V1 Hàm f nh thế đợc gọi

là một đẳng cấu

IV/ Cách biểu diễn

Có nhiều cách biểu diễn đồ thị khác nhau, sau đây em xin giới thiệu một

số cách thông thờng hay dùng

1 Ma trận kề, ma trận trọng số.

Xét đơn đồ thị vô hớng G=(V,E), với tập đỉnh V=(1,2,…,x,n), tập cạnhE=(e1,e2,…,x,en) Ta gọi ma trận kề của đồ thị G là (0,1)-ma trân

A=(aịj: i,j=1,2, ,n)

Và các phần tử đợc xác định theo quy tắc sau đây:

Aij=0, nếu (i,j) không thuộc E và aij=1, nếu (i,j) thuộc E

i,j=1,2,3, ,n

Cho ta số đờng đi khác nhau từ đỉnh i đến đỉnh j qua p-1 đỉnh trung gian.

Ma trận kề của đồ thị có hớng đợc định nghĩa một cách hoàn toàn tơng tự

2 Danh sách cung.

Trong trờng hợp đồ thị tha(đồ thị có số cạnh m thoả mãn bất đẳng thứcm<6n) ngời ta thờng biẻu diễn đồ thị dới dạng danh sách cung Cachd biểudiễn đồ thị bằng danh sách cung nh sau:

Phơng pháp này ta sử dụng 3 mảng một chiều:

Mảng 1: chứa các đỉnh của đồ thị

Mảng 2: chứa các đỉnh đầu của cung

Mảng 3: chứa đỉnh cuối của cung tơng ứng

Ma trận liên thuộc M[mij] của G là ma trận có:

1 nếu cạnh ej nối với đỉnh vi.

0 nếu cạnh ej không nối với cạnh vi.

Với cách biểu diễn đồ thị bằng ma trận kề và ma trận liên thuộc ta thấy

có thể biểu diễn đồ thị bằng các ma trận và nhập nó dới dạng ma trận

d

b

d

Cho đồ thị có hớng gồm n đỉnh (v 1 ,v 2 , ,v n ) và m cung (e 1 ,e 2 , ,e m ) Ma trận liên kết của đồ thị G ký hiệu là b[1 n,1 m] đợc xác định nh sau:

các cả

t ất tro ng

0

e cung cuối

ỉnh

là v

nế u 1

-e cung ầu

ỉnh

là v

nế u 1

] ,

j i

là i phả

không i nếu 0

ej của kề dỉnh

là i nếu 1 ] , [i j b

1 Đ ờng đi và chu trình Euler

+) Ví dụ 2: (Đờng đi Euler)

1.3 Điều cần và đủ để đồ thị có chu trình, đ ờng đi euler

ở đây chúng ta giả sử chỉ xét các đồ thị hữu hạn, tức là các đồ thị có một số hữu hạn các đỉnh và các cạnh

+) Điều cần và đủ để đồ thị có chu trình Euler: Để có chu trình Euler thì tại mỗi đỉnh số cung đi vào bằng số cung đi ra tại đỉnh đó (có nghĩa là mỗi đỉnh của đồ thị đều có bậc chẵn )

+).Điều kiện cần và đủ để G liên thông có đờng Euler là: Tại mỗi

đỉnh số cung đi vào bằng số cung đi ra, trừ hai đỉnh:

* Tại một đỉnh số cung đi vào ít hơn số cung đi ra 1 Và tại đỉnh kia số cung đi vào lớn hơn số cung đi ra 1

2 Đ ờng đi và chu trình Hamilton

2.1 Định nghĩa: Đờng đi x0, x1, xn-1, xn trong đồ thị G =(V, E) đợc gọi

là đờng đi Hamilton nếu V = { x0, x1, xn-1, xn } và xi  xj với 0  i < j  n

e

cd

cg

Chu trình x0, x1 , xn-1, xn, x0 ( n>1) trong đồ thị G =(V, E) đợc gọi là chu trìnhHamilton nếu x0, x1, xn-1, xn là đờng đi Hamilton.

2.2 Ví dụ:

+).Hình (a) có chu trình Hamilton : a, b, c, d,e, a

+) Hình (b) có đờng đi Hamilton : a, b, c, d

VI Đồ thị phẳng

1

Định nghĩa :

Một đồ thị đợc gọi là phẳng nếu nó có thể vẽ đợc trên một mặt phẳng mà không có các cạnh nào cắt nhau (ở một điểm không phải là điểm mút của cáccạnh) Hình vẽ nh thế đợc gọi là một biểu diễn phẳng của đồ thị

Một đồ thị có thể là phẳng ngay cả khi nó thờng đợc vẽ với những cạnh cắt nhau, vì có thể vẽ nó bằng cách khác không có các cạnh cắt nhau

Ví dụ :

ce

Hình a) với hai cạnh cắt nhau nhng nó vẫn là đồ thị phẳng vì nó đợc vẽ lạibởi các cạnh không cắt nhau, cụ thể ở hình b).

Để nhận đợc Gn từ Gn -1 ta thêm tuỳ ý một cạnh liên thuộc với một đỉnh của

Gn -1 và thêm một đỉnh khác liên thuộc với cạnh mới đó, nếu nó cha có trong

Gn -1 Điều này làm đợc vì G là liên thông G sẽ nhận đợc sau khi e cạnh đợc ghép thêm vào các đồ thị tạo ra trớc Gọi rn, en và vn tơng ứng là số miền, số cạnh, số đỉnh của biểu diễn phẳng của Gn do biểu diễn phẳng của G sinh ra

TH2: Một trong hai đỉnh, của cạnh mới cha thuộc Gn Giả sử an +1 thuộc

Gn còn bn +1 thì không Thêm cạnh này không sinh ra một miền mới nào vì bn +1 phải ở trong miền an +1 ở trên biên của nó Do đó, rn +1 = rn Nhng en +1 = en

+1 và vn +1 Mỗi vế của công thức không đổi nên công thức vẫn đúng Nói cách khác rn +1 = en +1 - vn +1 + 2 trờng hợp này đợc minh hoạ bởi hình sau:

Vậy với mọi n ta đều có rn = en - vn + 2 Vì đồ thị gốc là Ge nhận đợc saukhi e cạnh

đơn nên không có cạnh bội để tạo ra miền bậc 2, và không có khuyên để tạo

ra miền bậc 1) Đặc biệt, bậc của miền vô hạn ít nhất bằng 3 vì có ít nhất 3

đỉnh trong đồ thị Ta cũng nhận thấy là tổng số bậc của các miền bằng đúng hai lần số cạnh của đồ thị, vì mỗi cạnh xuất hiện trên biên của các miền đúnghai lần( hoặc trên biên của hai miền khác nhau, hoặc hai lần trên biên của cùng một miền) Vì mỗi miền có bậc lớn hơn hoặc bằng 3 nên ta suy ra

a

n + 1

b

2e = R r

R

3 ) deg( 

+) Xây dựng bài toán:

Những bài toán liên quan đến tô màu bản đồ đã dẫn đến rất nhiều kết quả trong lý thuyết đồ thị Khi một bản đồ đợc tô màu, hai miền có chung biên giới đợc tô bằng hai màu tuỳ ý miễn là khác nhau Để đảm bảo chắc chắn hai miền kề nhau không bao giờ có màu trùng nhau, chúng ta tô mỗi miền bằng một màu khác nhau Tuy nhiên điều đó là không thực tế Nếu bản đồ có nhiều miền thì sẽ rất khó phân biệt những màu gần giống nhau

Do vậy ngời ta chỉ dùng một số màu cần thiết để tô bản đồ Một bài toán

đ-ợc đặt ra là: xác định số màu tối thiểu cần có để tô một bản đồ sao cho các miền kề nhau không cùng một màu Vì vậy, từ thực tế đó ta có bài toán tô màu đồ thị

*.Định nghĩa 1: Tô màu một đơn đồ thị là sự gán màu cho các đỉnh của nó

sao cho không có hai đỉnh liền kề đợc gán cùng một màu

Một đồ thị có thể đợc tô màu bằng cách gán các màu khác nhau cho mỗi

đỉnh của nó Tuy vậy, với hầu hết các đồ thị, ta có thể tô màu chúng với số màu ít hơn số đỉnh

* Định nghĩa 2: Số màu của một đồ thị là số tối thiểu các màu cần thiết để tô

màu đồ thị này

Chúng ta thấy rằng câu hỏi về số màu lớn nhất của các đồ thị phẳng chính

là câu hỏi về số cực đại các màu cần thiết để tô các bản đồ phẳng sao cho không có hai miền kề nhau đợc gán cùng một màu Bài toán này đã đợc nghiên cứu từ hơn 100 năm nay Câu trả lời chính là một trong các định lí nổitiếng nhất trong toán học

Định lí : Định lí bốn màu Số màu của một dồ thị là không lớn hơn bốn.

Định lí bốn màu: Đầu tiên đợc ra nh một phỏng đoán vào năm 1850 Và

cuối cùng đã đợc hai nhà toán học Mỹ là Kenneth Appel và Wolfgang Hakenchứng minh năm 1976 Trớc năm 1976 cũng đã có nhiều chứng minh sai, màthông thờng rất khó tìm thấy chỗ sai, đã dợc công bố Hơn thế nữa đã có nhiều cố gắng một cách vô ích để tìm phản ví dụ bằng cách cố vẽ bản đồ cầnhơn bốn màu để tô nó

Có lẽ một chứng minh sai nổi tiếng nhất trong toán học là chứng minh sai bài toán bốn màu đợc công bố năm 1879 bởi luật s, nhà toán học nghiệp

d Luân - đôn tên là Alfred Kempe Các nhà toán học chấp nhận cách chứng minh của ông ta cho tới năm 1980, khi Percy Heawood phát hiện ra sai lầm trong chứng của Kempe Tuy nhiên, cách lập luận của Kempe lại là cơ sở cho chứng minh của Appel và Haken Chứng minh của họ dựa trên sự phân tích từng trờng hợp một cách cẩn thận nhờ máy tính Họ đã chỉ ra rằng nếu bài toán bốn màu là sai thì sẽ có một phản ví dụ thuộc một trong gần 2000 loại khác nhau và đã chỉ ra không có loại nào dẫn tới phản ví dụ cả Trong chứng minh của mình họ đã dùng hơn 1000 giờ máy Cách chứng minh này

đã gây ra nhiều cuộc tranh cãi vì máy tính đã đóng vai trò quan trọng biết bao Chẳng hạn, liệu có thể có sai lầm trong chơng trình và điều đó dẫn đến kết quả sai không? lý luận của họ có thật sự là một chứng minh hay không, nếu nó phụ thuộc vào thông tin ra từ một máy tính không đáng tin cậy?

Bài toán bốn màu áp dụng chỉ cho các đồ thị phẳng Các đồ thị không phẳng có thể có số màu lớn tuỳ ý nh sẽ đợc chỉ ra trong ví dụ1

Cần phải làm hai điều khi chứng minh số màu của đồ thị là n Trớc tiên chúng ta phải chứng tỏ rằng đồ thị có thể đợc tô màu bằng n màu Điều này