9.5.3 Ma trận hàm mũ e AtTrong việc giải các bài tập về kỹ thuật điều khiển, thường thì việc tính e At là cần thiết.. Nếu ma trận A gồm có những phần tử là số, thì ta có thể dùng MATLAB
Trang 19.5.3 Ma trận hàm mũ e At
Trong việc giải các bài tập về kỹ thuật điều khiển, thường thì việc tính e At là cần thiết Nếu ma trận A gồm có những phần tử là số, thì ta có thể dùng MATLAB để
tính e AT, với T là hằng số
Bên cạnh việc tính toán bằng máy tính, cũng có nhiều cách khác nhau để tính e At
Sau đây là 3 phương pháp để tính e At
Tính e At : phương pháp 1
Nếu ma trận A có thể chuyển được sang dạng đường chéo, thì e At được tính theo
công thức:
1 1
0
.
0
2 1
e
e e
P P Pe e
t
t t
Dt At
n
(9.46)
Trong đó, P là ma trận chéo hóa đối với A [Chi tiết để tìm ra biểu thức (9.46) đọc giả xem ở Bài tập A.9.11.]
Nếu ma trận A có thể chuyển được sang dạng chuẩn tắc Jordan, thì e At được tính theo công thức:
1
Trong đó, S là ma trận chuyển tiếp để chuyển ma trận A sang dạng chuẩn tắc Jordan J
Cụ thể, ta xét ma trận A có dạng:
Trang 2
3 3 1
1 0 0
0 1 0
A
Khi đó phương trình đặc trưng sẽ là:
0 ) 1 ( 1 3
3
I A
Ma trận A có 3 giá trị riêng bội tại 1 Như vậy, ma trận chuyển tiếp S chuyển
ma trận A sang dạng chuẩn tắc Jordan có dạng:
1 2 1
0 1 1
0 0 1 1 2
0 1
0 0 1
1
2 1
1
S
Và nghịch đảo của ma trận S là:
1 2 1
0 1 1
0 0 1
1
S
Từ đó, ta có ma trận chuẩn tắc Jordan J là:
1 0 0
1 1 0
0 1 1 1 2 1
0 1 1
0 0 1 3 3 1
1 0 0
0 1 0 1 2 1
0 1 1
0 0 1
1AS S J
Chú ý rằng:
t
t t
t t
t
Jt
e
te e
e t te e e
0 0
1 2
Ta tìm được:
t t
t t t t
t
t t
t t t t
t t
t t t
t
t
t t
t t
t
Jt At
e t te e e t te e
t te
e t te e
t te e e
t
e t e
t te e t te e
e
te e
e t te e
S Se e
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2 1
2
1 2 3
2
1 2
1 2
1
1 2 1
0 1 1
0 0 1 0
0
1
1 2 1
0 1 1
0 0 1
Trang 3Tính e At : phương pháp 2
Phương pháp thứ hai để tính e At là dùng phép bến đổi Laplace Từ biểu thức (9.36),
ta có:
1 ( )
L sI A
e At
Vì vậy, để tính e At , trước hết là lấy nghịch đảo của (sI – A) Kết quả này là một ma
trận gồm các phần tửcó chứa hàm hữu tỷ theo biến s Sau đó là thực hiện biến đổi Laplace ngược của từng phần tử trong ma trận đó
VÍ DỤ 9.7:
Cho ma trận A của hệ thống có dạng:
2 0
1 0
A
Tính e At bằng cách sử dụng 2 phương pháp đã nêu ở trên
TRẢ LỜI:
Phương pháp 1
Ta có: giá trị riêng của ma trận A là 0 và -2 (1 = 0, 2 = -2) Khi đó ma trận chuyển tiếp P sẽ là:
2 0
1 1 1 1
2
P
Và eAt được tính theo công thức:
t
t t
t
t Dt
At
e
e e
e
P e
e P P Pe e
2
2 2
0
1 1
0
) 1 ( 2
1 1 2
1 0 2
1 1 0
0 2
0
1 1
0
0
2
1
Phương pháp 2
Ta có:
Trang 4
2 0
1 2
0
1 0 0
0 )
(
s
s s
s A sI
Nghịch đảo của (sI – A) là:
2
1 0
) ) 2 (
1 1 ( 2
1 1
2
1 0
) 2 (
1 1
)
s
s s s s
s s s A
sI
Vậy:
t
t At
e
e A
sI L e
2
2 1
1
0
) 1 ( 2
1 1 ] ) [(
Tính e At : phương pháp 3
Phương pháp thứ 3 dựa vào phương pháp nội suy của Sylvester (Xem chi tiết ở Bài tập A.9.12) Trước hết ta sẽ xét trường hợp nghiệm của đa thức tối giản () của ma trân A là riêng biệt, sau đó là sẽ xét đến trường hợp nghiệm bội
Trường hợp 1: Đa thức tối giản của A có nghiệm riêng biệt
Giả sử bậc của đa thức tối giản () là m Bằng cách sử dụng công thức nội suy
của Sylvester, ta có thể tìm e At khi giải phương trình định thức sau:
0 1
.
.
.
.
.
1 1
1 2
1 2
1 2
2 2 2
1 1
2 1 1
2 1
At m
t m
m m
m
t m
t m
e A A
A I
e
e e
m
(9.47)
Khi giải phương trình (9.47), kết quả là e At có thể chứa các thành phần Ak (k=1, 2,
… m-1) và ei t (i=1, 2,…, m) e At có thể viết theo dạng:
1 1
2 2 1
Các giá trị k (t) (k=1, 2, …, m-1) được xác định bằng cách giải hệ gồm m phương trình sau:
Trang 5t m
t t
1 1
2 1 2 1 1
t m
t t
2 1
2 2 2 2 1
t m
m m m
t
Nếu ma trận A có n giá trị riêng khác nhau, thì số giá trị k (t) sẽ là m = n Còn khi
A có các giá trị riêng bội, nhưng đa thức tối giản của A chỉ có nghiệm đơn, thì số các giá trị k (t) sẽ là m < n
Trường hợp 2: Đa thức tối giản của A có nghiệm bội
Giả sử rằng đa thức tối giản của A có 3 nghiệm bội (1 = 2 = 3) và các nghiệm riêng biệt khác (3, 3, …,m) Áp dụng công thức nội suy Sylvester, ta cũng tìm
được e At từ phương trình sau:
0
1
.
.
.
.
.
1 1
) 1 ( 3
2 1
) 2 )(
1 ( 3
1 0 0
1 3
2
1 3
2
1 4
3 4
2 4 4
1 1
3 1
2 1 1
2 1
2 1 1
2 3 1 1
4 1 1 1
At m
t m
m m
m m
t m
t m
t m
t m
e A
A A A I
e
e e
te m
e t m
m
m
(9.49)
Cũng giống như ở trường hợp 1 ở trên, nghiệm e At từ phương trình (9.49) có thể viết theo dạng:
1 1
2 2 1
Các giá trị k (t) (k=1, 2, …, m-1) được xác định bằng cách giải hệ m phương trình:
t m
m m
t
2 )
( 2
) 2 )(
1 ( )
( 3 )
1 1 1
3 2
Trang 6t m
m t
t
1 1
2 1 3 1 2
t m
t t
1 1
2 1 2 1 1
t m
t t
4 1
2 4 2 4 1
t m
m m m
t
Trong trường hợp có hai hay nhiều nghiệm bội giống nhau, nếu không tìm được đa thức tối giản của A, thì thay thế bằng đa thức đặc trưng Khi đó quá trình tính toán
sẽ phức tạp hơn
VÍ DỤ 9.8:
Cho ma trận A của hệ thống có dạng:
2 0
1 0
A
Tính e At bằng cách sử dụng công thức nội suy Sylvester.
TRẢ LỜI:
Như đã trình bày ở phương pháp 3, từ phương trình (9.47), ta có:
0 1
1
2 1
2
1
At t t
e A I
e
e
Thay 1 = 0, 2 = -2 vào, ta được:
0 2
1
1 0 1
2
At t
e A I
e
0 2
Hay:
Trang 7
t t
t
t At
e e
e
Ae I A e
2 2
2 2
0
) 1 ( 2
1 1
2 0
1 0 2 0
0 2 2 0
1 0 2 1
) 2
( 2 1
Mặt khác, ta có thể sử dụng công thức (9.48) để xác định các giá trị 0(t) và
)
(
1 t
t
e t
1 1
t
e t
2 1
Với 1 = 0, 2 = -2, ta có:
1 ) (
t
e t
1
Suy ra:
1 ) (
) 1
( 2
1 )
1
t
e
Từ đó, ta tính được e At:
t
t t
t At
e
e e
A e I
A t I t e
2
2 2
2 1
0
0
) 1 ( 2
1 1 2 0
1 0 ) 1 ( 2
1 1 0
0 1
) 1 ( 2
1 )
( )