Tiểu luận môn Matlab - Xác định các yếu tố ma trận của hệ thống quang học

Tuy nhiên, phương pháp này chỉ thích hợp đối với những hệ thống quang học chỉ gồm 1 hoặc 2 thấu kính hoặc gương, khi mà trong hệ thống số lượng thấu kính tăng lên rất nhiều thì vấn đề xá

Xác định các yếu tố ma trận của hệ thống quang học

Trường ĐHKHTN TpHCM

Khoa Vật Lý

Chuyên ngành: Quang Học K20

Tiểu luận môn: Matlab

HVTH: Trương Thúy Kiều, Nguyễn Thành Thái và Đinh Thị Thúy Liễu CBGD: Lê Vũ Tuấn Hùng

MỤC LỤC

1 Giới thiệu [1, 2, 3]: 3

2 Ma trận truyền tia[2,3]: 5

3 Thực nghiệm xác định các yếu tố ma trận của hệ thống quang học[1-4]: 7

Bài tập áp dụng: 8

Bài 9: Thực nghiệm xác định [4]: 8

Bài tập 11: 13

Tài liệu tham khảo: 20

1 Giới thiệu [1, 2, 3]:

Thông thường, trong những giáo trình cơ bản về quang học, quãng đường đi của một tia được xác định như sau:

'

(1)

với z, z’, f lần lượt là khoảng cách của vật, ảnh và tiêu cự của một thấu kính

Tuy nhiên, phương pháp này chỉ thích hợp đối với những hệ thống quang học chỉ gồm 1 hoặc 2 thấu kính hoặc gương, khi mà trong hệ thống số lượng thấu kính tăng lên rất nhiều thì vấn đề xác định hướng đi của tia sáng càng phức tạp hơn Vì thế cần tìm một phương pháp tổng quát hơn để xác định hướng đi của tia sáng sau khi đi qua một hệ thống với số lượng tùy ý các yếu tố quang học

Phương pháp tổng quát này được mô tả như sau: một tia được xác định bởi chiều cao y tính từ trục quang học (trục z, giả sử mặt phẳng truyền sóng là mặt phẳng y – z) và độ lệch của tia '

tan

dy y

dz tại điểm z, sau khi đi qua một yếu tố quang học (xem như là

hộp đen), sẽ làm thay đổi vị trí và hướng của tia

Hình 1: Mô tả ảnh hưởng của yếu tố quang học đến đường đi của một tia [1]

Giả sử góc giữa tia và trục quang học đủ nhỏ để ta có thể sử dụng gần đúng tan sin , điều này có nghĩa chúng ta đang xét đến những tia nằm dọc theo trục quang học, những tia này được gọi là “paraxial rays”

Nếu chúng ta biểu diễn một tia bởi một ma trận cột, với các yếu tố của ma trận biểu diễn cho sự dịch chuyển và độ lệch của tia, chúng ta có thể biểu diễn ảnh hưởng của một yếu

tố quang học bởi ma trận 2 x 2 Tia vào và tia đi ra liên hệ với nhau bởi hệ thức:

(2)

Ma trận chuyển đổi trên được gọi là ma trận ABCD hay ma trận truyền tia của một yếu tố quang học, nó cũng có thể được tạo thành từ nhiều ma trận để cho thấy kết quả của một tia khi truyền qua những yếu tố quang học khác nhau Nó phụ thuộc vào bản chất của yếu

tố quang học bên trong hộp đen

Thông thường để thuận tiện cho việc tính toán, người ta thay thế góc của tia (y’)bằng hướng quang học của tia (V = y’n: với n là chiết suất của môi trường trong đó tia di chuyển) Một tia truyền đi thông qua một mặt phẳng ngõ vào (input plane) với chiều của tia vào (y1,V1), sau đó đi qua hệ thống quang học, và cuối cùng đi ra thông ra mặt phẳng ngõ ra (output plane) với chiều của tia ra (y2,V2)

Hình 2: Những mặt phẳng tham khảo của hệ thống quang học [3]

Vì thế biểu thức 2 của thể viết lại như sau:

(3)

y A B y

V C D V

2 Ma trận truyền tia[2,3]:

A B

C D Ma trận truyền tia này có thể hình thành từ rất nhiều ma trận khác nhau được sử

dụng để giải thích kết quả của một tia sau khi đi qua những yếu tố quang học khác nhau

Ở đây, chúng ta của thể xem những ma trận này như những toán tử tác động lên tia truyền

Chúng ta sẽ tìm hiểu ý nghĩa của các yếu tố A, B, C, và D của ma trận này bằng cách giả xem xét điều gì sẽ xảy ra nếu một trong số những yếu tố này là bằng 0

a Nếu D = 0, từ biểu thức (3), ta suy ra V2 = Cy1, điều này có nghĩa rằng tất cả những tia dọc theo mặt phẳng ngõ vào tại cùng một vị trí y1, sau khi đi qua hệ thống quang học, những tia ló thông qua thông mặt phẳng ngõ ra sẽ hợp với trục quang học cùng một góc, bất kể góc của tia ban đầu vào hệ thống Mặt phẳng ngõ vào lúc này được gọi là mặt phẳng tiêu điểm của hệ thống quang học

b Nếu B = 0, từ (3), ta có y2 = Ay1, điều này có nghĩa rằng tất cả những tia băng qua thông qua mặt phẳng ngõ vào tại cùng một vị trí y1 thì những tia ló ra sẽ cùng vị trí y2 tại mặt phẳng ngõ ra Mặt phẳng ngõ vào và ngõ ra lúc này được gọi là mặt phẳng chứa vật

và chứa ảnh Độ phóng đạt được tạo ra bởi hệ thống lúc này là 2

1

y A

y Hơn thế nữa, hai

mặt phẳng chứa y1, y2 được gọi là những mặt phẳng liên kết Nếu A = 1, độ phóng đại giữa hai mặt phẳng liên kết là đơn vị, lúc đó những mặt phẳng này được gọi là những mặt phẳng chính hoặc mặt phẳng đơn vị Những điểm giao nhau giữa mặt phẳng đơn vị và trục quang học gọi là những điểm chính hay điểm đơn vị Những điểm chính là một trong

số tập hợp những điểm chính của hệ thống quang học

c Nếu C = 0, từ (3) ta có V2 = DV1, những tia vào mà song song với một tia khác thì tia

ló ra cũng xong xong với nhau, mặc dù theo một hướng mới Hơn thế nữa, ta cũng đạt

(n )

D

n được tạo ra bởi hệ thống quang học Nếu 2

1

n D

n , ta

có độ khuếch đại góc đơn vị 2

1

1, trong trường hợp này mặt phẳng ngõ vào và mặt phẳng ngõ ra được xem như những mặt phẳng nút Phần giao của những mặt phẳng nút này với trục quang học được gọi là những điểm nút, những điểm nút này là tập hợp thứ hai trong những điểm nút chính

d Nếu A = 0, y2 = BV1, những tia vào hệ thống với cùng một góc, sẽ xuyên qua cùng một điểm tại mặt phẳng ngõ ra Mặt phẳng ngõ ra lúc này được gọi là mặt phẳng tiêu điểm phụ Điểm giao nhau giữa mặt phẳng tiêu điểm chính và phụ với trục quang học được gọi

là tiêu điểm chính và tiêu điểm phụ Tiêu điểm là phần còn lại trong tập hợp những điểm chính của hệ quang học

Những mặt phẳng nút

3 Thực nghiệm xác định các yếu tố ma trận của hệ thống quang học[1-4]:

Ban đầu, chúng ta giả sử hệ thống quang học là hệ thấu kính dương được đặt trong không khí

Bước đầu tiên ta chọn hai mặt phẳng biên gần bề mặt đầu và bề mặt phía sau của hệ thống quang học: chúng lần lượt được gọi là mặt phẳng tham khảo ngõ vào RP1 và mặt phẳng tham khảo ngõ ra RP2 Chúng ta cần xác định những yếu tố A, B, C và D của hệ sau:

y A B y

V C D V

Bước tiếp theo cần thực hiện là đặt một vật với kích thước đã biết tại những vị trí khác nhau ở bên trái của RP1 và sau đó đo kích thước và ví trí của mỗi ảnh thật được tạo thành trong từng trường hợp

Trong trường hợp tổng quát đặt R là sự dịch chuyển theo hướng + z+

từ vật đến RP1, và

S là sự dịch chuyển theo hướng + z

từ RP2 đến ảnh thật Ở đây thực hiện phép toán để duy trì R, S đều dương

Chuỗi ma trận truyền tia từ mặt phẳng chứa ảnh quay ngược trở lại mặt phẳng chứa vật là [4]:

Ma trận này có một số tính chất:

a) Định thức của ma trận bằng 1

b) Số hạng hàng trên bên phải bằng 0 do mối liên hệ vật - ảnh

c) Số hạng hàng trên bên trái là độ phóng đại ngang (1/ )

d) Và số hạng hàng dưới bên phải là nghịch đảo của độ phóng đại ngang ( ), do định thức của ma trận bằng 1

Ở đây những đại lượng có thể được đo bằng thực nghiệm là: khoảng cách R, S và tỉ số (chiều cao của vật/ chiều cao của ảnh) = = CR + D Nếu được đo theo một số giá trị

của R và hình thành đồ thị của theo R, đồ thì này là một đường thẳng với độ dốc tang là

C, và điểm tại đó đồ thị giao với trục là giá trị D Từ đó ta xác định được C, D

Bên cạnh đó, ta có có AR + B + S(CR+D) = 0, từ đó AR + B = - S(CR+D) = - S = , với đã biết Một lần nữa, nếu vẽ theo R ta sẽ được một đường thẳng với độ dốc là A,

đồ thị cắt trục tại B Như thế tất cả bốn yếu tố của ma trận đã được xác định

Trường hợp những hệ thống thấu kính âm (thấu kính phân kỳ):

Nếu hệ thống được đo là phân kỳ, mang giá trị âm, lúc này cần thiết để sử dụng một thấu kính phụ để chiếu ảnh thật với kích thước đã biết lên bên phải của RP1 Nếu những giá trị

âm R được lựa chọn thích hợp thì vẫn có thể tạo ra được ảnh thật và được đo bên phải của RP2 Tuy nhiên, cách thực hiện này không thuận tiện

Trong trường hợp những hệ thống thấu kính được đặt trong môi trường:

Nếu hệ thống quang học được đặt trong môi trường, lúc này n1 biểu thị cho chiết suất của môi trường bên trái RP1 và n2 là chiết suất của môi trường bên phải RP2, sau đó quá trình thực hiện trong thực nghiệm thật sự là khó khăn Tuy nhiên khi phân tích, cần thiết để thay thế những thông số R, S bằng những giá trị rút gọn R/n1 và S/n2 Khi ma trận mới được tính toán thì số hạng thấp nhất bên phải vẫn tượng trưng cho giá trị

Bài tập áp dụng:

Bài 9: Thực nghiệm xác định [4]:

Một thấu kính lồi mỏng với tiêu cự 10 cm, cách thấu kính này 5 cm đặt một thấu kính lõm mỏng như hình bên dưới với tiêu cự -10 cm Tìm tiêu cự tương đương của hệ hai thấu kính này và vị trí của mặt phẳng chính và mặt phẳng tiêu điểm

Nguồn từ [2]

Để cho việc tính toán được dễ dàng ta chọn mặt phẳng ngõ vào tại vị trí của thấu kính hội

tụ, và mặt phẳng ngõ ra tại vị trí của thấu kính phân kỳ

Xác định tiêu cự của từng thấu kính bằng thực nghiệm:

Xác định tiêu cự của thấu kính hội tụ: đầu tiên đặt vật sáng trước thấu kính này và đặt màn để tìm vị trí hứng ảnh thật, đo khoảng cách vật, khoảng cách ảnh để từ đó xác định tiêu cự bằng công thức (1):

'

(1)

Xác định tiêu cự của thấu kính phân kỳ: đầu tiên thiết lập vị trí vật trước thấu kính hội tụ

để tạo ảnh thật trên một màn ảnh Ảnh thật này sau đó sẽ trở thành vật ảo cho thấu kính phân kỳ Đặt thấu kính phân kỳ giữa thấu kính hội tụ và màn ảnh và dịch chuyển màn ảnh

để tìm nơi có ảnh xuất hiện Đo khoảng cách từ ảnh ban đầu đến thấu kính phân kỳ, và khoảng cách từ ảnh mới đến thấu kính phân kỳ này, và xác định tiêu cự cũng bằng công thức 1, nhớ rằng vật ảo mang giá trị âm Thực hiện vài lần với những vị trí vật ảo khác nhau, sau đó lấy giá trị trung bình tiêu cự của thấu kính phân kỳ

Cách 1: Xác định tiêu cự tương đương của hệ hai thấu kính này Gọi LS là khoảng cách giữa hai thấu kính, đặt hệ này gần vật sáng Đo độ phóng đại ảnh (1/ ), khoảng cách S từ ảnh đến thấu kính phân kỳ của ít nhất 5 giá trị khác nhau của R (khoảng cách từ vật đến thấu kính hội tụ) lấy xung quanh giá trị mốc là tiêu cự của thấu kính hội tụ Từ đó vẽ theo R và theo R, từ đó xác định được các yếu tố của ma trận Xác định theo định thức của ma trận của tương đương với 1 hay không (lỗi do thực nghiệm)

Cách 2: Xác định ma trận của hệ quang học này Ma trận này là tích của ma trận thấu kĩnh lõm tại RP2 (M2)với ma trận tịnh tiến biểu thị cho khoảng cách hai thấu kính (MT)và

ma trận thấu kính lồi tại RP1(M1) Ta có:

M = M2 MT M1

Với

i

t n

f

A B

M

C D

Từ đó ta xác định được các yếu tố của ma trận Tiêu cự tương đương của hệ được tính qua hệ thức: f = -1/C; Các điểm chính của hệ quang học được xác định qua bảng công thức sau đây:

Code matlab:

Cách 1:

% Input heights and distances of object and image, 5 sets of values

% You choose number of set which you input You must choose at least 5 sets which you need input

n=input('You choose number of set which you input: ');

while n<5

fprintf('You must choose at least 5 sets, please input again!')

n=input('You choose number of set which you input: ');

end

for i= 1: n

y1(i)=input('Input height of object:');

y2(i)=input('Input height of image:');

R(i)=input('distance of object:');

S(i)=input('distance of image');

%determine magnification

alpha(i)=y1(i)/y2(2);

beta(i)=-S(i)*alpha(i);

end

% determine C, D with alpha=CR+D

%linear fit_linear function

[a0, a1]= Linear_Regression(R,alpha);

% M_file Linear_Regression

(% linear fit function: y=a0x+ a1;

function [a0, a1]= Linear_Regression(x,y)

n=length(x);

a0=(n*sum(x.*y)-sum(x)*sum(y))/(n*sum(x.^2)-(sum(x)^2));

a1=mean(y)-a0*mean(x);

end)

C=a0;

D=a1;

% plot the data and fit data

alpha_model=a0*R+a1;

plot(R,alpha,'o',R,alpha_model,'-');

% determine A, B with beta=AR+B

%linear fit_linear function

[a0, a1]= Linear_Regression(R,beta);

A=a0;

B=a1;

% plot the data and fit data

beta_model=a0*R+a1;

plot(R,beta,'o',R,beta_model,'-');

%Checking determinant for overall matrix

S=[A,B;C,D];

detS=det(S);

Cách 2:

%M_File Ray_d

function [detS, S]=Ray_d(f1,f2,d);

%This function is for output ray of a double lens

%system

Sf1=[1,0;-(1/f1),1];

Sf2=[1,0;-(1/f2),1];

Td=[1,d;0,1];

S=Sf2*Td*Sf1;

%Checking determinant for overall matrix

detS=det(S);

% Determine elements of matrix

A=S(1,1);

B=S(1,2);

C=S(2,1);

D=S(2,2);

% equivalent focal of length

fs=-(1/C);

fprintf('equivalent focal of length is %.2f m \n',fs);

% 1st focal point _ from RP1 to F1

FP1=D/C;

%determine whether position of 1st focal plane is the left or the right of the position lens

if FP1<1

fprintf('1st focal plane will be %.2f m to the left of the position lens \n', -FP1);

else

fprintf('1st focal plane will be %.2f m to the right of the position lens \n', FP1);

end

% 1st principal point_from RP1 to H1

PP1=(D-1)/C;

%determine whether position of 1st principal plane is the left or the right of the position lens

if PP1<0

fprintf('1st principal plane will be %.2f m to the left of the position lens \n', -PP1); else

fprintf('1st principal plane will be %.2f m to the right of the position lens \n', PP1); end

% 2nd focal point_from RP2 to F2

FP2=-A/C;

%determine whether position of 2st focal plane is the left or the right of the negative lens

if FP2<0

fprintf('2st focal plane will be %.2f m to the left of the negative lens \n', -FP2);

else

fprintf('2st focal plane will be %.2f m to the right of the negative lens \n', FP2);

end

% 2st principal point_from RP2 to H2

PP2=(1-A)/C;

%determine whether position of 2st principal plane is the left or the right of the negative lens

if PP2<0

fprintf('2st principal plane will be %.2f m to the left of the negative lens \n', -PP2); else

fprintf('2st principal plane will be %.2f m to the right of the negative lens \n', PP2); end

Kết quả chạy matlab:

>> [detS, S]=Ray_d(0.1,-0.1,0.05)

equivalent focal of length is 0.20 m

1st focal plane will be 0.30 m to the left of the position lens

1st principal plane will be 0.10 m to the left of the position lens

2st focal plane will be 0.10 m to the right of the negative lens

2st principal plane will be 0.10 m to the left of the negative lens

detS =

1

S =

0.5000 0.0500

-5.0000 1.5000

Bài tập 11:

Một thấu kính có bề dày 3cm, mặt lồi có bán kính 5cm, mặt lõm bán kính 2cm Mặt lồi thấu kính đặt trong không khí có chiết suất n0 = 1, mặt lõm được đặt trong môi trường chất lỏng có chiết suất n1=1.4, chiết suất của thấu kính n2=1.5 Tìm vị trí tiêu điểm, các điểm chính và điểm nút, tính độ dài tiêu cự của hệ

Giải

Từ lý thuyết ta xác định ma trận thu được qua 2 bề mặt:

1 ) (

0 1

1 0

1 1 ) (

0 1

1

0 2 2

2

2 1

R

n n n

r R

n n D

C

B A

M

1 ) (

) (

1 ) (

) (

) (

1

1 ) (

0 1

1 0

1 1 ) (

0 1

2 2

2 1 1

0 2 2

2

2 1 2

2 1

2 1

0 2 2

1

0 2 2

2

2 1

n

r R

n n R

n n n

r R

n n R

n n

n

r R

n n n r

R

n n n

r R

n n

M

Trong đó: n0 = 1, n1 = 1.4, n2 = 1.5, bán kính mặt lồi R1 = 5cm, bán kính mặt lõm R2

= 2cm, bề rộng thấu kính r = 3cm, ta tính được:

Mặt lõm thấu kính

được nhúng

Đặt trong không khí