...MÔN TOÁN - HỆ CAO ĐẲNG NĂM HỌC 2008-2009 -ĐỀ SỐ ĐÁP ÁN Câu ( − 3i ) ĐIỂM 1,5 điểm 9 π π = cos(- ) + isin(-... + 3z = 10 ÷ Ta có ma trận hệ số: A = −1 10 ÷ ⇒ det(A) = −1 2 ÷ 10 A1 = −1 10 ÷ ÷⇒ det (A1 ) = −1 3 ÷ 10 A = 10 ÷ ÷ ⇒ det(A ) = −1 2 3 ÷ 3 A = −1 ÷ ÷... = 3 14 ÷ Ta có ma trận hệ số: A = −8 ÷ ⇒ det(A) = 4 ÷ 6 A1 = 5 3 A = 4 14 −8 ÷ ÷ ⇒ det (A1 ) = −2 0÷ 14 −8 ÷ ÷ ⇒ det(A ) = −2 0÷ 1,5 điểm 3 6 A = 5 ÷
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN ĐỀ THI MÔN TOÁN CAO CẤP 1-HỆ CAO ĐẲNGThời gian làm bài: 90 phút
Câu 1: Tính ( )9
i 3
1−
Câu 2: Cho hệ phương trình tuyến tính
= + +
=
−
−
= + +
3 z 3 y x 2
2 az y x 3
3 az y 2 x
a) Giải hệ trên khi a=10
b) Xác định a để hệ có vô số nghiệm
Câu 3: Trong không gian P các đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng 2 Cho ánh xạ 2 f :P2 →P2
2 1 0 1
0 1
2 2 1
0 a x a x ) a ( 4a 4a )x ( 2a a 2a )x a
(
a) Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính
b) Tìm ma trận của f đối với cơ sở B={1; x; x2} của P 2
c) Tìm trị riêng và vectơ riêng tương ứng của f
Câu 4: Tính giới hạn
2 3 x
1 x lim
2
3 1 x
− +
+
−
→
Câu 5: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số
=
≠
=
0 x ,
0 x , x
x sin y
2
, tại điểm x0 =0.
Thông qua bộ môn
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
ĐỀ THI MÔN TOÁN CAO CẤP 1-HỆ CAO ĐẲNG
Thời gian làm bài: 90 phút
Câu 1: Tính ( )9
i 3
1+
−
Câu 2: Cho hệ phương trình tuyến tính
= +
= +
− +
= + + +
5 y x 4
5 z ) 3 a ( x 5
6 z ) 3 a ( y 3 x 3
a) Giải hệ trên khi a=11
b) Xác định a để hệ có vô số nghiệm
Câu 3: Trong không gian P các đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng 2 Cho ánh xạ 2 f :P2 →P2
2 1 0 2
1 0 2
1 0
2 2 1
0 a x a x ) (a 3a 3a ) ( 2a 6a 13a )x ( a 4a 8a )x a
(
a) Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính
b) Tìm ma trận của f đối với cơ sở B={1; x; x2} của P 2
c) Tìm trị riêng và vectơ riêng tương ứng của f
Câu 4: Tính giới hạn
x
x 1 1 x limx 0 3 + − −
→
Câu 5: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số
=
≠
−
=
0 x , 0
0 x , x
) 1 e ( y
2 x
, tại điểm x0 =0.
Thông qua bộ môn ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
Trang 2MÔN TOÁN 1 - HỆ CAO ĐẲNG NĂM HỌC 2008-2009
-ĐỀ SỐ 1
9 9
1 3i 2 cos(- ) isin(- )
= 2 cos (-3 ) isin(-3 ) 2
a) Khi a = 10, ta có hệ:
x 2y 10z 3 3x y 10z 2 2x y 3z 3
− − =
+ + =
Ta có ma trận hệ số:
1 2 10
3 2 10
1 3 10
Vậy nghiệm của hệ là: (1,1,0)
1,5 điểm
b) Để hệ có vô số nghiệm thì
Det(A) = 0
21
2
Với a = 21/2 ta có hệ tương đương với
⇒ 2x 4y 21z 6
y 6z 1
+ =
⇒ hệ có vô số nghiệm
KL: a = 21/2
1 điểm
a) CM: i) f(p+q) = f(p) +f(q), ∀p,q P∈ 2
ii) f(kp) = k.f(p), ∀ ∈ ∀ ∈p P , k R2 1điểm
Trang 3
2 2
f (x) 1 4x x
=
Từ đó suy ra ma trận của ánh xạ tuyến tính f đối với cơ sở B = {1; x ; x2 } là:
2 1 2
c) Phương trình đặc trưng: A− λ = ⇔ − λ −I 0 ( 2)3 = ⇔ λ =0 2 (bội 3)
Véc tơ riêng tương ứng (x1, x2, x3) thoả mãn hệ:
1, 3
x x
⇒ tuỳ ý và x2 = 2x1
x (x , 2x , x ) x (1, 2,0) x (0,0,1)
1,5 điểm
2 3 x
1 x
lim
2
3
1
x
− +
+
−
2
1
1/ 3 x
− +
Ta có
2 '
2
f (x) f (0) sin x
−
−
ĐỀ SỐ 2
Trang 4ĐÁP ÁN ĐIỂM
9 9
1 3i 2 cos( ) isin( )
= 2 cos (6 ) isin(6 ) 2
c) Khi a = 11, ta có hệ:
3x 3y 14Z 6 5x 8z 5 4x y 5
− =
+ =
Ta có ma trận hệ số:
3 3 14
6 3 14
3 3 14
3 3 6
4 1 5
Vậy nghiệm của hệ là: (2,2,0)
1,5 điểm
d) Để hệ có vô số nghiệm thì
Det(A) = 0
21
2
+
Với a = 21/2 dễ kiểm tra được hệ có vô số nghiệm
KL: a = 21/2
1 điểm
c) CM: i) f(p+q) = f(p) +f(q), ∀p,q P∈ 2
ii) f(kp) = k.f(p), ∀ ∈ ∀ ∈p P , k R2 1điểm d) Ta có
2 2
f (x) 3 6x 4x
f (x ) 3 13x 8x
Từ đó suy ra ma trận của ánh xạ tuyến tính f đối với cơ sở B = {1; x ; x2 } là:
−
1điểm
Trang 5c) Phương trình đặc trưng: A− λ = ⇔ − λ = ⇔ λ =I 0 (1 )3 0 1 (bội 3)
Véc tơ riêng tương ứng (x1, x2, x3) thoả mãn hệ:
3
x
⇒ tuỳ ý và x2 = x3, x1= 3x3
3 3 3 3
x (3x , x , x ) x (3,1,1)
1,5 điểm
3
2
− +
Ta có ( x )2
'
2
e 1
f (x) f (0)
−
−
−