S GD&ĐT HÀ TĨNH Ở
TR ƯỜ NG THPT Đ C TH Ứ Ọ Đ THI CH N H C SINH GI I TOÁN 11 Ề NĂM H C 2008 - 2009 Ọ Ọ Ọ Ỏ
Th i gian: 180 phút ờ (Không k th i gian giao đ ) ể ờ ề
Đ BÀI Ề
Câu 1 (2,0 đi m) ể Gi i phả ương trình
Câu 2 (1,5 đi m) ể Ch ng minh r ng v i m i s th c x, y, z khác 0, ta có:ứ ằ ớ ọ ố ự
y + z +x ≥ + +y z x
Câu 3 (2,0 đi m) ể Cho dãy s (uố n) xác đ nh b i: ị ở 1
1
11
u
=
Tìm công th c tính uứ n theo n
Câu 4 (2,0 đi m) ể T ng c a m nh ng s nguyên dổ ủ ữ ố ương liên ti p b ng 2008 Xácế ằ
đ nh các s đó.ị ố
Câu 5 (2,5 đi m) ể Cho hình lăng tr tam giác ABC A’B’C’ G i I, J, K l n lụ ọ ầ ượt là tâm c a các hình bình hành ACC’A’, BCC’B’, ABB’A’.ủ
a) Ch ng minh r ng (IJK) song song v i các m t đáy.ứ ằ ớ ặ b) Ch ng minh r ng các đứ ằ ường th ng AJ, CK, BI đ ng quy.ẳ ồ
_H t ế _
Trang 2ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐI M Ể Câu 1 (5 đi m) ể
2 3
5
2
5 2
Thö l¹i ta thÊy ph ¬ng tr×nh cã 3 nghiÖm : x = 0; x =
±
Câu 2: (4 đi m) ể
Ta có:
2 2
2 2
2 2
1 2
1 2 2
+ ≥
+ ≥
≥
C ng ba b t đ ng th c trên, ta độ ấ ẳ ứ ược:
Áp d ng b t đ ng th c Cauchy cho ba s dụ ấ ẳ ứ ố ương, ta được:
3
y + z + x ≥ y z x = (2)
T (1) và (2) suy ra: ừ
T đó ta có b t đ ng th c c n ch ng minh.ừ ấ ẳ ứ ầ ứ
Câu 3:
Ta có:
1
2
3
11 10 1
10 11 1 9 102 100 2
10 102 1 9 2 1003 1000 3
u
= = +
D đoán uự n = 10n + n (1)
Ch ng minh:ứ
Ta có: u1 = 11 = 101 + 1 công th c (1) đúng v i n = 1.ứ ớ
Gi s công th c (1) đúng v i n = k ta có: uả ử ứ ớ k = 10k + k
Ta có: uk + 1 = 10(10k + k) + 1 - 9k = 10k+1 + (k + 1) Công th c (1) đúng v i n = k + 1.ứ ớ
V y uậ n = 10n + n, ∀ ∈n ¥
Câu 4 (4 đi m) ể
Gi s t ng c a m s nguyên dả ử ổ ủ ố ương liên ti p b t đ u t s k b ng 2008:ế ắ ầ ừ ố ằ
k + (k + 1) + (k + 2) + … + (k + m - 1) = 2008
Trang 3A B
M
H
1 2008 2
m m
m k
−
N u m l ế ẻ ⇒2k + m - 1 ch n Khi đó: m = 251, 2k + m - 1 = 2ẵ 4 (không x y ra)ả
N u m ch n ế ẵ ⇒2k + m - 1 l Ta có: ẻ 2 4 1 251
2
k m m
+ − =
=
16 118
m k
=
⇒ =
V y các s c n tìm là 118, 119,…133.ậ ố ầ
Câu 5 (3 đi m) ể
Trên tia BI, l y đi m H sao cho BH = a Khi đó BH = AB = BC nên ta có:ấ ể
A BM H BM (c.g.c) vµ CBN = H BN(c.g.c)
∆ = ∆ ∆ ∆ Do đó: MH = AM và NH = CN
BH M =BA M = vµ BH N BCN= = Suy ra M, H, N th ng hàng, BI vuông gócẳ
v i Mn t i H và MN = AM + NC.ớ ạ
V y ậ SBM N =12BH M N =12a A M( +N C )
M D = a;A M = a
Đ t NC = x, áp d ng đ nh lý Pitago cho ặ ụ ị
tam giác vuông MDN, ta có:
2
2
3
BM N
a