KY THI OLYMPIC TRUYÊN THÔNG 30/4 ̀ ̀ ́
LÂN TH XIII TAI THANH PHÔ HUÊ ̀ Ứ ̣ ̀ ́ ́
Th i gian lam bai: 180 phút ờ ̀ ̀
Chu y: ́ ́ Môi câu hoi thi sinh lam trên 01 t giây riêng biêt ̃ ̉ ́ ̀ ờ ́ ̣
Câu 1 (4 đi m ể ).
Gi i h ph ả ệ ươ ng trình sau:
+ + +
= +
+
=
−
1 ) 2 y x ( log 2 ) 6 y 2 x ( log 3
1 y
1 x e
2 3
2
2 x
y 2 2
Câu 2 (4 đi m ể ).
Cho hình chóp đ u S.ABCD có c nh đáy b ng d và s đo c a nh di n [B,SC,D] ề ạ ằ ố ủ ị ệ
b ng 150 ằ 0 Tính th tích c a hình chóp đ u S.ABCD theo d ể ủ ề
Câu 3 (4 đi m). ể
Cho dãy s d ố ươ ng (an)
a Ch ng minh r ng v i m i s nguyên d ứ ằ ớ ọ ố ươ ng k :
( )
+ + +
+ +
k
k 2
k
1 k
a 3
4 a 2
3 a 2 ) 1 k ( k
1 a
a a
b Bi t ế ∑ = ∈
=
∞
lim n
1
i i
n 2 1 3
3 2 1 2
1
1 a a a a a a a a
Ch ng minh r ng dãy (b ứ ằ n) có gi i h n ớ ạ
Câu 4 (4 đi m). ể
Cho hàm s f(x) = 2x – sinx ố
Ch ng minh r ng t n t i h ng s b và các hàm s g, h tho mãn đ ng th i các ứ ằ ồ ạ ằ ố ố ả ồ ờ
đi u ki n sau: ề ệ
1) g(x) = bx + h(x) v i m i s th c x ớ ọ ố ự 2) h(x) là hàm s tu n hoàn ố ầ
3) f(g(x)) = x v i m i s th c x ớ ọ ố ự
Câu 5 (4 đi m). ể
Tìm t t c các s t nhiên m, n sao cho đ ng th c sau đúng: ấ ả ố ự ẳ ứ
8m = 2m + n(2n-1)(2n-2)
-H T - Ế
Ghi chú: Cán b coi thi không gi i thích gì thêm ộ ả
Trang 2ĐÁP ÁN TOÁN L P 11 Ớ
N I DUNGỘ ĐI MỂ
C
âu 1: Gi i h phả ệ ương trình
2 2 2
2
1
(1) 1
y x x e
y
−
+
+
Phương trình (1) ⇔ y2 – x2 = ln(x2+1) – ln(y2+1)
⇔ ln(x2+1)+ x2 +1 = ln(y2+1)+y2+1 (3) Xét hàm s f(t) = lnt + t v i t ố ớ ≥ 1
Ta có f(t) đ ng bi n trên [1ồ ế ;+∞ )
Do đó (4) ⇔ x2+1 = y2+1 ⇔ x = ± y
1
* V i x = -y , t (2) ta đớ ừ ược log (63 − =x) 1, v i x<6ớ
* V i x = y , t (2) ta đớ ừ ược3log (3 x+ =2) 2log (2 x+1) v i x > -1ớ 0.5
Đ t ặ 3log (3 x+ =2) 2log (2 x+1)= 6u ⇒ 2 332
1 2
u
u
x x
+ + = +
⇒ 1+23u = 32u⇔ 1 8 1
u u
� � � �
u u
� � � �
� � � �, g(u) là hàm ngh ch bi n trên R và có g(1) = 1 nênị ế
u = 1 là nghi m duy nh t c a (5).ệ ấ ủ
V i u = 1 suy ra x = y = 7 (th a mãn h )ớ ỏ ệ
1
Trang 3N I DUNGỘ ĐI MỂ
C
âu 2: Cho hình chĩp đ u S.ABCD cĩ c nh đáy b ng d và s đo c a nh di nề ạ ằ ố ủ ị ệ
[B,SC,D] b ng 150ằ 0 Tính th tích c a hình chĩp để ủ ều S.ABCD theo d
tại P
2 2
2 2
BP 2
BD 1
BP 2
BD BP
2
−
=
G i M là trung đi m c a BC Ta cĩ SM BC = BP.SC.ọ ể ủ
BC = d, g i h là chi u cao hình chĩp S.ABCDọ ề
Ta cĩ: SM2 = h2 +
4
d2
; SC2 = h2 +
2
d2
Suy ra: BP2 =
) d h 2 ( 2
) d h 4 ( d
2 2
2 2 2 +
2
d h 4
d 2
3
+
−
=
3
3 3 2 2
VS.ABCD =
6
d dtABCD
h 3
=
3
3 3
Trang 4N I DUNGỘ ĐI M Ể
C
âu 3 Cho dãy s dố ương (an)
a Ch ng minh r ng v i m i s nguyên dứ ằ ớ ọ ố ương k:
+ + +
+ +
≤ 1 2 2 23 3 k−1k k
k
k 2
k
1 k
a 3
4 a 2
3 a 2 ) 1 k ( k
1 a
a a
=
∞
lim n
1
i i
n 2 1
3
3 2 1 2
1
1 a a a a a a a a
Ch ng minh r ng dãy (bứ ằ n) có gi i h n.ớ ạ a)Ta có
k k k
k
k
k k
k
k
k
k
−
−
−
a
+
=+
+
2
b)
T câu a) suy raừ
2
n
n
+
1 n
1 1 1 n
1 n
1
3
1 2
1 2
1 1 ) 1 n ( n
1
3 2
1 2 1
1
<
+
−
= +
− + +
− +
−
= + + + +
1
n n
i
n
1 1 lim
+
=
∞
→
(b n) tăng và b ch n trên, do đó có gi i h n ị ặ ớ ạ
2
Trang 5N I DUNGỘ ĐI MỂ
C
âu 4: Cho hàm s f(x)= 2x – sinx.ố
Ch ng minh r ng t n t i h ng s b và các hàm s g, h th a mãn đ ng th iứ ằ ồ ạ ằ ố ố ỏ ồ ờ các đi u ki n sau :ề ệ
1) g(x) = bx + h(x) v i m i s th c x.ớ ọ ố ự 2) h(x) là hàm s tu n hòan.ố ầ
3) f(g(x)) = x v i m i s th c x.ớ ọ ố ự
T đi u ki n 3) cho th y mu n ch ng t t n t i g ch c n ch ng t f cóừ ề ệ ấ ố ứ ỏ ồ ạ ỉ ầ ứ ỏ hàm s ngố ược
Chú ý : f đ ng bi n trên (-ồ ế ∞;+∞) nên có hàm s ngố ược g
Ta có : f(g(x)) = x và g(f(x)) = x v i m i s th c x.ớ ọ ố ự
1
Đ t : h(x) = g(x) – bx Ta s ch n b đ h(x) tu n hòan.ặ ẽ ọ ể ầ 0.5 Hàm sinx tu n hoàn chu kì 2ầ π
Ta s ch ng t g(x+ 4ẽ ứ ỏ π) = g(x) +2π v i m i s th c x.ớ ọ ố ự
Th t v y : g(x)+2ậ ậ π = [f(g(x) +2π )] = g[2(g(x)+2π) - sin(g(x)+2π)]
T đó : h(x+4ừ π) = g(x + 4π) – b(x+4π) = g(x) + 2π -bx – 4bπ
= h(x) + 2π(1-2b). 1
N u ch n b =ế ọ
2 1 thì h(x + 4π) = h(x) v i m i s th c x.ớ ọ ố ự 0.5
Trang 6N I DUNGỘ ĐI MỂ
C
âu 5: Tìm t t c các s t nhiên m,n sao cho đ ng th c sau đúng : ấ ả ố ự ẳ ứ
8m = 2m + n(2n-1)(2n-2)
Đ t x = 2ặ m , y = 2n-1 v i m ,n là các s t nhiên ớ ố ự
Ta có : (x,y) =1 và 2(x3-x) = (y+1)y(y-1) ⇔ y(y2-1) = 2x(x2-1) (1)
Do m ≥ 0 , n ≥ 0 nên x ≥ 1 và y ≥ -1
0.5
+Trường h p x >1:ợ
T (1) và (x,y)=1 suy ra : yừ 2-1 chia h t cho x và 2(xế 2-1) chia h t cho y Do đóế 2(x2-1).(y2-1) chia h t cho xy Nh ng: 2(xế ư 2-1)(y2-1) = 2[x2y2-2xy-((x-y)2-1)]
nên cũng có: 2((x-y)2-1) chia h t cho xy (2)ế
0.5
Chú ý: v i x >1 thì t (1) ta có xớ ừ 3 < y3 < 2x3
Th t v y : (1) ậ ậ ⇔(y-x)(y2+xy+y2-1) = x3-x
V i x>1 ta có xớ 3-x>0.Lúc này y>0 và y2+xy+y2-1>0,nên y>x
Ngoài ra: (x2-1)(2x3-y3) = x2[2(x3-x)] – (x2-1)y3 = x2(y3-y)-(x2-1)y3 = y(y2-x2) > 0 Do đó: 2x3-y3 > 0
1
+ T đó: 0<y-x = x(ừ
x
y
-1) < x(3 2 -1) Do đó (y-x)2<x2(3 2 -1)2<
2
1
xy Suy ra: 0 ≤ 2((y-x)2-1) < xy
K t h p v i (2) ta có: (y-x)ế ợ ớ 2-1 =0 hay y = x +1
0.5 Thay vào (1), ta có x = 4 và y = 5 Lúc này m = 2, n = 3