Chuỗi số và chuỗi lũy thừa (phần 1)

... ∞ n ( 1) Mẫu số thay đổi dấu 4/ ∑ n ( − 1) n + ⇒ khơng phải chuỗi đan dấu n =2 ∞ n ∞ ( 1) = ∑ ∑ n n + n =2 n = ( 1) (−1)n ( −1)n n − 1 ∞ = ∑ n =2 ( 1) 2n n − ( 1) n −1 n −1 n  n (−1)n ... ⇒ Chuỗi ht theo tc Leibnitz ∞ n +1 n +1 an = / ∑ ( 1) (n + 1) n + − (n + 1) n + − n =1 n f (x) = Xét hàm số: x x3 − , x≥2 −x − 2x f ′( x ) = < ⇒ f ( x ) ↓ ( x − 1)2 Vậy {an} đơn điệu giảm ⇒ Chuỗi. .. =0 (n + 1) n n2 Cn = n an = n n2 n 2n (n + 1) n n = (n + 1)n n2 = n 1 +   ÷  n lim Cn = < ⇒ chuỗi ht n →∞ e ∞ (2n − 1)! ! 4/ ∑ n =1 (2n )!! 2n + an +1 Dn = an (2n + 1)! ! × (2n + 1) (2n +

CHUỖI SỐ VÀ CHUỖI LŨY THỪA

Chương 5:

Phần 1: CHUỖI SỐ

ĐỊNH NGHĨA

S  a  a    a n N 

Cho dãy số {an}, định nghĩa dãy số mới

{Sn} được gọi là chuỗi số, ký hiệu:

Vậy chuỗi hội tụ và có tổng là 1/3

• Tổng 2 chuỗi hội tụ là hội tụ

• Tổng 1 chuỗi hội tụ và 1 chuỗi phân kỳ là phân kỳ

Điều kiện cần của sự hội tụ

n n

n a

Ví dụ

3/ Ks sự hội tụ và tính tổng nếu có:

1

n n

1 2 1

CHUỖI KHÔNG ÂM.

Tiêu chuẩn tích phân Maclaurin - Cauchy

Ví dụ

2 2

Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau:

f(x) dương, ltục và giảm nên



  h tụ

1 1

2 2

Dạng 2: an, bn > 0, lim n

a K

K n

 

   

khi n  

K n

 

   

Chuỗi đã cho cùng bản chất với chuỗi điều hòa

3/2 3

1 ln( !

2 2 2

1

1

n n

n n

Tiêu chuẩn D’Alembert

n

a D

• Dn  1 : chuỗi phân kỳĐặt :

Tiêu chuẩn Cauchy

• Cn  1 : chuỗi phân kỳĐặt :

Tiêu chuẩn Rapb(sử dụng khi D = 1 và Dn < 1)

1

1 lim

n n

n

n n

Ví dụ-Khảo sát sự hội tụ

1

2 ( 1)!

e n n

n

a D

  Không KL

1 1

n n

n

n

n n





.2 ( 1)

n

n

n n





2 1 1

e

   chuỗi ht

6 5 (2 2)(2 3)

n n

n n

Nên dùng điều kiện cần để có kết quả

nhanh hơn(đối với VD này)

ln 1

Chuỗi đan dấu – Tiêu chuẩn Leibnitz

Mẫu số thay đổi dấu

 không phải chuỗi đan dấu

n n

n n

2 1

n

n n

CHUỖI CÓ DẤU TÙY Ý

Sự hội tụ tuyệt đối

Tiêu chuẩn Cauchy và D’Alembert

 hội tụ hay phân kỳ theo tc

Cauchy hoặc D’Alembert thì

n a

n

n a

  chuỗi ht tuyệt đối

n a

1 n 1 3n

n b

Bài tậpKhảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau:

  1

1

11)

1cos

n n

15)

a a

17)

  2

2 1

7 !10)

n

n n

n n

1

1

n n

n e

n n

1

2 115) 1

2

n n

n n

3 3 1

3.5.7 2 1

n n

n n