Tài liệu về CHUỖI LŨY THỪA VÀ HÀM SINH dành cho học sinh, sinh viên, và học viên cao học.
Trang 1CHUỖI LŨY THỪA VÀ HÀM SINH
1 Số phức
- Định nghĩa tập số phức C:
Tập hợp số C là mở rộng tập hợp R các số thực với các phần tử thoả 2 điều kiện:
C chứa một nghiệm i của phương trình
x2+1=0
thành các phép toán trên C thỏa các tính chất quen thuộc của một trường, nghĩa là với z1,
z2, z3 C
(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2+ z3)
z1 + z2 = z2 + z1
z1 + 0 = z1
Với mỗi z C, tồn tại z’ sao cho z + z’ = 0
(z1 * z2) * z3 = z1 * (z2* z3)
z1 * z2 = z2 * z1
z1 * 1 = z1
Với mỗi z C, z0 tồn tại z’ sao cho
z * z’ = 1, ta viết z’=z-1
z1 * (z2 + z3) = z1 * z2 + z1 *z3
- Dạng đại số của số phức và các khái niệm:
Môt số phức z có dạng đại số là z= a + ib (a,b R) Trong đó:
a là phần thực và viết a= Re(z)
b là phần ảo và viết b= Im(z) Đặc biệt:
Trang 2Các số thực z=a đều có phần ảo =0 Các số phức có dạng z=ib, b R gọi là các
số thuần ảo
Xét số phức z = a + ib Ta nói số phức za ib là liên hợp của z
Tính chất của của phép liên hợp
z z
z
C z z z z z z
C z z z z z z
2 1 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1
,
*
*
,
Modun của môt số phức z= a + ib ký hiệu là |z| và được định nghĩa như sau z a2 b2
Các tính chất
n n
n n
z z
z z z
z z
z z
z
z z z
z
z z z z z
z
z
z
) Im(
)
Re(
2 1 2
1 2
1 2
1
2 1 2
1
- Dạng lượng giác của số phức:
Một số phức z=a+ib còn có thể được viết dưới dạng lượng giác như sau:
cos isin
r
Trong đó
, sin cos b r r
2
2 b a
r chính là modun của z và góc được gọi là
argument của z Ta viết =arg(z)
Xét 2 số phức
1
1 r cos isin
2
2 r cos isin
Ta có:
cos( 1 2) sin( 1 2)
2 1 2
1z r r i
Trang 3) 2 (mod )
arg(
) arg(
) arg(
) 2 (mod )
arg(
) arg(
) arg(
2 1
2 1
2 1
2 1
z z
z z
z z
z z
- Căn bậc n của một số phức.
Từ (*) ta suy ra nếu
cos isin
r
n i n
r
z n n cos sin , nN
Đặc biệt nếu r=1 thì ta có công thức Moivre:
cos isin n cosn isinn
Ta gọi căn bậc n của một số phức A là một số phức z sao cho zn = A
Ta viết A và z dưới dạng lượng giác:
sin cos
sin cos
i z
i r
A
Do đó tất cả các căn bậc n của A0 là
1 , , 1 , 0 , 2 sin
2
n
k n
i n
k n r
Chú ý: căn bậc n của A là đỉnh của đa giác đều n cạnh nội
tiếp trong vòng tròn tâm O bán kính n A
Đặc biệt các căn bậc n của đơn vị (A=1) nội tiếp trong
vòng tròn đơn vị Đặt
n
i n
sin
2
n của đơn vị chính là 1 , , 2 , , n 1 Ta nói là
1 căn bậc n nguyên thủy của đơn vị
2 Chuỗi lũy thừa
- Metric (khoảng cách) trên tập C.
Cho z và z’ thuộc C, khoảng cách giữa z và z’ được định nghĩa bởi:
Trang 4| z – z’| = (a - a' )2 (b - b' )2
với z = a+b i, z’ = a’+b’ i
- Định nghĩa khoảng cách ở trên thỏa các tính chất của một
metric
- Giới hạn và đạo hàm.
Định nghĩa giới hạn của dãy số phức cũng tương tự như đối
với số thực:
z
z
z
n
Định nghĩa giới hạn của hàm số phức cũng tương tự như
đối với hàm số thực:
0, 0 , z, z - z f(z)
L
f(z)
0
z
z
z
Đạo hàm của hàm số phức G(z), ký hiệu là G’(z), được
định nghĩa bởi giới hạn của tỉ số
z -t
G(z) -G(t)
khi t z
- Chuỗi lũy thừa, sự hội tụ và hội tụ tuyệt đối.
Chuỗi lũy thừa có dạng:
0
n
n
nz
a (1)
với các hệ số a n , và biến z lấy giá trị phức
Tổng riêng phần:
n
k
k k
0
) (
Nếu S n (z) có giới hạn là G(z) khi n thì ta nói chuỗi lũy
thừa hội tụ và có tổng bằng G(z), và viết:
)
G
Trang 5Chuỗi (1) được gọi là hội tụ tuyệt đối khi chuỗi
|
0|
n
n
nz
Tính chất: Chuỗi hội tụ tuyệt đối thì cũng hội tụ
- Định lý Abel.
(i) Tồn tại duy nhất R (0 R +) sao cho:
chuỗi (1) hội tụ tuyệt đối nếu | z | < R, và
chuỗi (1) phân kỳ nếu | z | > R.
(ii) Hơn nữa, nếu 0 < R thì chuỗi (1) hội tụ đều
trong đĩa | z | .
Ta gọi R là bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa
Ghi chú: Trên vòng tròn | z | = R ta không có kết luận tổng
quát về chuỗi (1)
Hệ quả: Nếu chuỗi (1) hội tụ tại điểm z 0 0 thì chuỗi cũng
hội tụ tuyệt đối tại mọi z thỏa:
| z | < | z 0 |
và hội tụ đều trong mọi đĩa | z | < | z 0 |
- Các quy tắc tính bán kính hội tụ
Quy tắc Cauchy:
n
a
lim tồn tại (có thể bằng +) thì
n
a
lim )-1.
Quy tắc D’Alembert:
Nếu
a
a
n
n 1
lim
tồn tại (có thể bằng +) thì
Trang 6R =
a
a
n
n 1
1
lim
- Chuỗi tổng và chuỗi tích.
n n
z
f
0 )
n n
z
g
0 ) (
với bán kính hội tụ là R1 và R2 Ta lập chuỗi tổng và chuỗi tích như sau:
a b z n n
n n
z g
0 ) )(
(
z
n n
z
fg
0 ) )(
c n = a 0 b n + a 1 b n-1 + + a n b 0 , n = 0, 1, 2, …
Mệnh đề:
Các chuỗi tổng và tích có bán kính hội tụ min(R1,R2) và hơn nữa
(f + g)(z) = f(z) + g(z) (f g)(z) = f(z) g(z) với | z | < min(R1,R2)
- Đạo hàm và nguyên hàm của chuỗi lũy thừa.
0
) (
n
n
nz a
z
tụ R
Do chuỗi lũy thừa hội tụ đều trong các đĩa | z | < R, ta thấy G(z) có đạo hàm theo biến phức là
0
1 1
) 1 ( ) (
n
n
n z a n z
(Phép lấy đạo hàm theo từng số hạng của chuỗi lũy thừa)
Trang 7Một hàm có đạo hàm theo biến phức trong một miền D được gọi là hàm giải tích hay chĩnh hình trong miền D
Như vậy G(z) là một hàm giải tích trong đĩa hội tụ | z | < R.
Ta có khai triển Taylor
0
) (
! ) 0 (
) (
n
n n
z
n
G z
Ngoài phép lấy đạo hàm theo từng số hạng ta cũng có phép lấy tích phân theo từng số hạng vì hàm
1
1
) (
n
n
n
a z
F
có cùng bán kính hội tụ R và
) (
0 1
1 1
) (
F
n
n n n
n n z
n
trong đĩa | z | < R.
3. Hàm sinh
- Định nghĩa hàm sinh.
0
) (
n
n
nz a
z
dãy {a n } ta nói G(z) là hàm sinh của dãy {a n}
- Một số hàm sinh thường gặp.
(i) Đa thức p(z) a0a1z a n z n là hàm sinh của dãy
hữu hạn a 0 , a 1 , …, a n Do đó p(z) là một hàm nguyên
(giải tích trên toàn bộ C).
(ii) Xét hàm mũ
0 !
n
n
n
z
nguyên
Theo quy tắc tính chuỗi tích ta có:
Trang 8e z z ez
ez ' '
Theo quy tắc đạo hàm từng số hạng ta có:
0
0 ( 1 )!( 1) !
1
n
n n
ez dz d
dz
d
(iii) Các hàm lượng giác theo biến phức:
0
2
)!
2 ( ) 1 ( ) (
cos
k
k k
k
z z
0
1 2
)!
1 2 ( ) 1 ( )
sin(
k
k k
k
z z
Từ quy tắc cộng chuỗi lũy thừa ta có:
) sin(
)
Với z = x + i y ta có:
)) sin(
)
ex eiy ex
(iv)Các hàm 1 z
1
z
1
1
1
1
n
n
z
z , | z | < 1
Lấy tích phân từng số hạng của chuỗi
0
n
n
z ta được một
nguyên hàm của hàm
z
1
1
z
1
1
-ln(1-z):
1
1 ln
n
n
n
z z
z
Từ đó ta có:
1
1
) 1 ( ))
( 1 ln(
) 1
ln(
n
n n
z
n z
z
1 ln 1
1
là hàm sinh của dãy:
Trang 9H n
1 2
1
1
1 ln 1 1
n
n
n z H z
z Dãy {H n} được gọi là dãy số điều hòa, đóng vai trò quan trọng trong số học cũng như trong việc phân tích độ phức tạp của một số thuật toán
4 Số Bernoulli
- Định nghĩa số Bernoulli.
o Dãy số Bernoulli được định nghĩa quy nạp như sau
2
1
0
m B
m
k k m k
(4.2)
Trong đó
)!
(
!
k m k
m
m
k
là hệ số nhị thức
o Để ý rằng m=2 thì (4.2) trở thành
B2 + 2B1 +B0 = B2
Hệ thức này được thỏa do (4.1) Với m 3 thì (4.2) cho phép tính Bm-1 theo Bm-2,
Bm-3,…, B0 Chẳng hạn
30
1 ,
0 ,
6
1
4 3
2 B B
B
B3 = B5 = B7 = … = 0
- Định nghĩa đa thức Bernoulli.
Sử dụng các số Bernoulli, ta có thể định nghĩa các
đa thức Bernoulli như sau:
,
1 , 0 ,
) (
0
m
k
k m k m k
Trang 10Chú ý rằng Bm(z) là một đa thức bậc m với hệ số có bậc cao
nhất là B0=1 và hệ số hằng Bm(0)=Bm.
- Một số tính chất:
0
m
k k m m
m k
B
o B m(z)mB m1(z)
5 Dáng điệu của Hn và n!
- Ký hiệu O:
Khảo sát hàm theo biến thực hoặc nguyên f(x), g(x) Ta xét dáng điệu của hàm khi x lớn hoặc |x| nhỏ
Ví dụ:
Khi x +, ta nói g = O(f) khi
tồn tại M > 0 (không phụ thuộc x) sao cho
|g(x)| M.|f(x)| , khi x khá lớn
Khi x 0, ta nói g = O(f) khi
tồn tại M > 0 (không phụ thuộc x) sao cho
|g(x)| M.|f(x)| , khi |x| khá bé
- Tính chất:
f = O(f)
cf(x) = O(f(x))
O(f(x)) + O(f(x)) = O(f(x))
O(O(f(x))) = O(f(x))
O(f(x)) O(g(x)) = O(f(x).g(x))
f(x).O(f(x)) = O(f(x).g(x))
- Công thức quan trọng về H n:
1
1
1 )
k k m
k n
n
O kn
B n
Ln
Trang 11trong đó hằng số (được gọi là hằng số Euler) tính theo công thức giới hạn
ln( ) lim Hn 1 n
) (n Ln
H n
khi n nghĩa là
H n ~ Ln(n)
Với n=6 ta có một khai triển đến cấp 6 theo
n
1
120
1 12
1 2
1 )
(
n
O n n
n n
Ln
- Công thức Stirling:
Người ta chứng minh được rằng giới hạn sau đây tồn tại hữu hạn và được gọi là hằng số Stirling:
nlim ln( ) ( ) ln( )
2
1
Ta cũng có:
n n
n n
n
1 12
1 2
)
và
n n
n
n n n
e e
n
3 2
1
O
288
1 12
1 1
!
Dùng tích phân của hàm biến phức ta có thể chứng minh rằng:
2
e
và được công thức Stirling sau đây:
n n
n
n n n
e
n
3 2
1
O
288
1 12
1 1 2
Suy ra
n
e
n n
2
!
Trang 126 Hàm sinh của một dãy xác suất (đọc thêm)
7 Giải hệ thức đệ qui bằng hàm sinh (đọc thêm)