Gọi S là diện tích của tứ giác tạo bởi bốn tiếp điểm của O ; R với các cạnh của hình thang.. Hãy tính diện tích hình thang theo S và R.. 1,5 điểm Qua tâm O đường trịn nội tiếp ABC ta d
Trang 1TRƯỜNG BỒI DƯỠNG VĂN HÓA 218 LÝ TỰ TRỌNG, Q.1
ĐIỆN THOẠI: 38 243 243
ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO CẤP 3 NĂM HỌC 2010 2011
MÔN THI: TOÁN HỆ CHUYÊN
THỜI GIAN LÀM BÀI: 150 phút
CÂU 1 (2 điểm)
Cho phương trình ẩn x : 2x2
+ 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3 = 0 (m là tham số )
a Tìm m để phương trình trên cĩ nghiệm
b Khi phương trình cĩ 2 nghiệm x1 ; x2 tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
của biểu thức: P x x 1 2 x x1 2
CÂU 2 (1,5 điểm)
Giải hệ phương trình: xy 2x 3y 2 02 2
2x y 3xy 12x 18y 16
CÂU 3 (2 điểm)
a Hãy tìm các số nguyên dương a, b, c thỏa : 1 1 1 1
a a b a b c
b Cho hai số dương a, b thỏa đẳng thức a + b + 1 = 3ab
Chứng minh rằng 1 1 2
a b
CÂU 4 (2 điểm)
Cho hình thang cân ABCD (AD // BC ; AD là đáy lớn ) ngoại tiếp đường trịn tâm O bán kính R (O ; R) Gọi M và N là tiếp điểm của đường trịn (O ; R) với AB và CD
a Chứng minh
2 (2R)
AB CD
MN
b Gọi S là diện tích của tứ giác tạo bởi bốn tiếp điểm của (O ; R) với các cạnh của hình thang Hãy tính diện tích hình thang theo S và R
CÂU 5 (1,5 điểm)
Qua tâm O đường trịn nội tiếp ABC ta dựng đường thẳng vuơng gĩc với đường thẳng
AO và cắt BC tại điểm M Từ O ta dựng OD vuơng gĩc với AM Chứng minh rằng các điểm A, B, C và D cùng nằm trên một đường trịn
CÂU 6 (1 điểm)
Cho đa giác lồi cĩ 2011 cạnh Ta dựng tất cả các đường chéo của đa giác
Một đường thẳng cắt đa giác đã cho nhưng khơng đi qua đỉnh nào của đa giác
Chứng minh rằng đường thẳng này cắt một số chẵn các đường chéo
Trang 2TRƯỜNG BỒI DƯỠNG VĂN HÓA 218 LÝ TỰ TRỌNG, Q.1
ĐIỆN THOẠI: 38 243 243
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH CẤP 3 NĂM HỌC 20102011
MÔN THI: TOÁN HỆ CHUYÊN
CÂU 1 (2 điểm )
a Phương trình cĩ nghiệm ’ ≥ 0 (m + 1)2 – 2(m2 + 4m + 3) ≥ 0 m2 + 2m + 1 – 2m2 – 8m – 6 ≥ 0
- m2 – 6m – 5 ≥ 0 m2 + 6m + 9 ≤ 4 ( m + 3)2 ≤ 4 –2 ≤ m + 3 ≤ 2 –5 ≤ m ≤ –1
Vậy phương trình cĩ nghiệm khi – 5 ≤ m ≤ –1
b Khi phương trình cĩ 2 nghiệm x1 , x2 theo định lý Vi-ét ta cĩ : x x1 2 m2 4m 3
2
Theo kết quả câu a thì 0 ≤ (m+3)2≤ 4
0 ≤ 4 – (m + 3)2 ≤ 4 0 ≤ 1 4 (m 3)2
2 ≤ 2 0 ≤ P ≤ 2 Khi m = –1 thì P = 0 , khi m = – 3 thì P = 2
Vậy GTNN của P là 0 và GTLN của P là 2
CÂU 2 ( 1,5 điểm)
Đặt u = 2x – 3y và v = xy – 6 Khi đĩ ta chuyển về hệ phương trình với các ẩn số là u và v : u v 8
u.v 16
Suy ra u và v là nghiệm của phương trình bậc 2 : X2
+ 8X + 16 = 0 u = v = – 4 Từ đĩ cĩ hệ phương trình :
x.y 6 4 x.y 2 Giải hệ này ta được 2 nghiệm là x 3
x 1 ; y 2
y 2
3
CÂU 3 (2 điểm)
a Nếu a ≥ 3 1 1
a 3 và hai phân số cịn lại đều < 13 tổng ba phân số < 1 Vậy a ≤ 2 Mặt khác a khơng thể bằng 1
Nghĩa là a = 2 khi đĩ ta cần tìm tất cả các số nguyên dương b và c thỏa : 1 1 1
2 b 2 b c 2 ()
Lý luận tương tự nếu b ≥ 2 thì 1 1
2 b 4 và 1 1
2 b c 4 cho nên khơng thể cĩ đẳng thức () Vậy b = 1 c = 3
Vậy (a ; b ; c ) = (2 ; 1 ; 3)
b Từ giả thiết của bài tốn ta suy ra 1 1 3 1
a b ab Do vậy ta chỉ cần chứng minh 3ab1 2 ab ≥ 1 Đặt ab = t
Ta cĩ 3ab = a + b + 1 ≥ 2 ab 1 3t2 ≥ 2t + 1 (t – 1)(3t + 1) ≥ 0 t ≥ 1 (đpcm)
CÂU 4 (2 điểm)
a Các tam giác vuơng MNK và HCD đồng dạng do N C
(gĩc cĩ cạnh tương ứng vuơng gĩc)
2Ra b AB a b CD (2R)2 (2R)2
b Ta cĩ S = 1
2.2h.2R 2hRS Dễ thấy BC = 2a ; AD = 2b
Hình thang ABCD cĩ chiều cao 2R Vậy diện tích hình thang là :
(2R)
CÂU 5 (1,5 điểm)
Vì OD là đường cao trong tam giác vuơng MAO nên MO2
= MA.MD
Ta sẽ chứng minh MOC OBC
Thật vậy : CAO ACO OBC 90 0
Suy ra AOC 90 0OBC
Mặt khác MOC AOC 90 0OBC
MC MO
MO2 = MB.MC = MA.MD MAB MCD
MBA MDC bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường trịn
CÂU 6 (1 điểm)
Giả sử đường thẳng (d) cắt đa giác đã cho và chia đa giác thành hai phía và d sẽ cắt 2 cạnh
Gọi k là số đỉnh của đa giác nằm về một phía suy ra phía cịn lại chứa (2011 – k ) đỉnh
Rõ ràng (d) cắt các đường chéo cĩ đỉnh thuộc về hai phía của (d)
Số đường chéo như vậy là k.(2011 – k ) – 2
Với mọi k là số nguyên dương thì tích k.(2011 – k ) – 2 luơn là một số chẵn do đĩ ta cĩ điều phải chứng minh
