Sau ñó thế vào một trong hai phương trình của hệ... Do ñó bán kính ñường tròn ngoại tiếp ∆ADE là 2 AH.
Trang 1ðÁP ÁN ðỀ KIỂM TRA KIẾN THỨC VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NGOẠI NGỮ NĂM 2011 – MÔN TOÁN
I.1 Rút gọn P… (1 ñiểm)
P có nghĩa khi: 0
1
x x
≥
≠
1 1
M
+ +
= + =
1
N
x
−
+
1
x
P M N
x
+
I.2 Tìm x ñể (1 ñiểm )
4 3 4 3 1 2 5
1
x
Do ñó
2 5 1 2 5
1 2 2 5 2 3 0
2 2 2 2
⇔ = ⇔ = ⇔ + = + ⇔ − − =
0,25
Giải ra x = −1 (loại) và x =3 Từ ñó x =9 0,25
ðối chiếu ñiều kiện và kết luận x =9là giá trị cần tìm 0,25
II.1 Giải phương trình (1 ñiểm )
3 x − 2x− 3 = 7 −x + 2x (1)
ðặt t= x2−2x−3(t≥0)⇒x2−2x=t2+3 0,25
3
(1)⇔3t= −7 (t + )⇔t +3t−4=0 1 1
4
t
t t
=
⇔ ⇔ =
= −
Vậy phương trình ñã cho có hai nghiệm là x = ±1 5 0,25
II.2 Giải hệ phương trình (1 ñiểm)
2 2
2 8 (1)
4 2 8 (2)
+ =
+ =
, Cộng các vế tương ứng của(1) và (2), ta ñược:
(x+2y)2 =16 2 4 4 2
0,25
+) Với x=4 2− y: thế vào (2) ta ñược:
8y= 8 ⇔ y= ⇒ 1 x= 2 Trường hợp này hệ có nghiệm (2; 1)
0,25
+) Với x= − −4 2y: thế vào (2) ta ñược:
0,25
Trang 28y= − ⇔8 y= − ⇒1 x= −2
Trường hợp này hệ có nghiệm (-2; -1)
Vậy hệ ñã cho có hai nghiệm (2; 1) và (-2; -1) 0,25
Chú ý: Có thể trừ từng vế hai phương trình ñược
2
=
= −
x y Sau ñó thế vào một trong hai phương trình của hệ
m =n m−n− (1 ñiểm)
Theo ñịnh lý Vi-et ta có: 1 2
1 2
x x n
+ = −
=
Vì x2 =x12 nên
2
3 1
=
Do ñó:
m = − x +x = − x + x + x +x = −x + x +x +x
= − − + =n(3m−n−1)
0,25
III.2
CMR: M cách ñều 0;1
4
F
và ( ) : 1
4
d y = − (1 ñiểm)
2
0
x
Khoảng cách từ M tới (d):
x
0,25
IV
3,0
IV.1 Chứng minh rằng MN song song với DE (1 ñiểm)
Ta có BDC =BEC =90° (gt)
Do ñó BDE =BCE (góc nội tiếp cùng chắn cung)
C B
A
M N
D E
H
O
I F
Trang 3Mà BCE=BMN (góc nội tiếp cùng chắn cung BN của (O))
Từ ñó MN // DE (do hai góc ñồng vị bằng nhau) 0,25
IV.2 Chứng minh OA vuông góc với DE (1 ñiểm)
Vì tứ giác BEDC nội tiếp nên DBE=DCE(góc nội tiếp cùng chắn cung) 0,25
Do ñó AM = AN (góc nội tiếp bằng nhau chắn cung bằng nhau)
Mà MN // DE (câu a)
IV.3 Tính bán kính ñường tròn ngoại tiếp tam giác ADE theo R (1 ñiểm)
Gọi H là giao ñiểm của BD và CE
Vì BEH =BDH 90= ° (gt) nên tứ giác ADHE nội tiếp ñường tròn ñường
kính AH
Do ñó bán kính ñường tròn ngoại tiếp ∆ADE là
2
AH
0,25
Hạ OI ⊥BC Ta ñi chứng minh AH = 2OI
Cách chứng minh:
Vẽ ñường kính CF, ta có
2
BF
OI = (t/c ñường trung bình của ∆CBF) và
BF = AH (cạnh ñối hình bình hành AHBF) Do ñó AH = 2OI
0,25
Vì BAC =60° nên BOC =120° ⇒BOI=60° 0,25
Từ ñó bán kính ñường tròn ngoại tiếp ADE∆ là cos 60
2
R
Ta có ab bc+ +ca= y2+z2 +x2 = 1 0,25
Vì(a−b)2+(b−c)2 +(c−a)2 ≥0⇒a2+b2 +c2 ≥ab+bc+ca⇒ A≥1
3
⇔ = = ⇔ = = = (do x y z >, , 0) 0,25
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 1 (khi 3
3
Nhận xét: , ,x y z không cần thiết phải là các số dương Tuy nhiên ñiều
kiện xảy ra dấu bằng khi ñó là 2 2 2 1
3
x = y =z = (có 8 trường hợp)