Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình 1 có nghiệm duy nhất.. Cho tam giác ABC nhọn và không cân, nội tiếp đường tròn tâm O.. Một đường thẳng thay đổi, song song với BC và cắt hai
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
Trường THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam
KỲ THI OLYMPIC HÀ NỘI - AMSTERDAM
MÔN TOÁN LỚP 10 Ngày thi : 25/03/2011 Thời gian : 150 phút
Bài 1 (4 điểm) Cho phương trình 2
2 x + mx - = - (1), với m là tham số 1 x 1
a Giải phương trình (1) khi m = 2
b Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất
Bài 2 (4 điểm) Giải hệ phương trình ba ẩn số là x, y, z :
2011 2
2011 2
2011 2
x y
y
z
z x
x
ï ï
í ï
ï î
Bài 3 (4 điểm) Cho 2 số x, y thỏa mãn hệ phương trình 1
mx y m
= -ì
í + =
tham số Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = x2 + y2 + 10 x
Bài 4 (4 điểm) Cho tam giác ABC nhọn và không cân, nội tiếp đường tròn tâm O
Một đường thẳng thay đổi, song song với BC và cắt hai cạnh AB, AC của tam giác
Đường thẳng này cắt các cung AB và AC tại các điểm M và N Các điểm I và J lần lượt là tâm các đường tròn nội tiếp các tam giác ABM và CAN Điểm P là điểm chính giữa cung BC (có chứa điểm A) Chứng minh rằng luôn có PI =PJ
Bài 5 (4 điểm) Xét các tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn
0
a b
f ( x ) , x
<
ì
í ³ " Î
a b c M
b a
+ +
=
-
-HẾT -
Trang 2ĐÁP ÁN
Bài 1:
a Khi m = 2, phương trình (1) trở thành 2 x2+ 2 x - = - 1 x 1
1
x
³
ìï
Û í
1
x
³ ìï
Û í
ïî
x x
é = - + <
Û ê
= - - <
điều kiện Vậy phương trình vô nghiệm
b Phương trình (1)
1
x
³ ìï
Û í
1
x
³ ìï
Û í
ïî Đặt x – 1 = t (t³0), (*) trở thành 2 ( )
t + m + t + + = m
Yêu cầu bài toán trở thành, tìm m để phương trình t2+ ( m + 4 ) t + + = 1 m 0 có nghiệm duy nhất t³0
Δ = m + 2 + > " 8 0 , m Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt
Xét hai trường hợp:
TH1: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt trái dấu Û < P 0 Û + < Û < - 1 m 0 m 1
TH2: Phương trình có 2 nghiệm, trong đó có 1 nghiệm bằng 0, nghiệm còn lại là nghiệm âm
< >
Kết hợp 2 trường hợp trên ta có m £ - 1
Bài 2 Ta có x2 + y2 + 16 = 8 x + 6 y ( ) (2 )2
Áp dụng bất đẳng thức bunhiakôpxki cho 2 cặp số (x – 4; y – 3) và (4; 3), ta có:
4 x + 3 y - 25 = é ë 4 x - 4 + 3 y - 3 ù û £ ( ) (2 )2 2 2
4 x 3 y 25 15 15 4 x 3 y 25 15
Û + - £ Û - £ + - £ Û 10 £ 4 x + 3 y £ 40
Vậy Amax = 40 ( ) (2 )2
32
5
24
5
x
y
x y
ï
ïî
Trang 3Amin = -15 khi ( ) (2 )2
8
5
6
5
x
y
x y
ï
ïî
Bài 3 Điều kiện : x , y , z ¹ 0
Dễ thấy x, y, z cùng dấu Ta xét trường hợp x, y, z > 0
Từ phương trình 1 trong hệ, áp dụng cauchy ta có 2 x ³ 2 a Û ³ x a.Tương tự ta có
;
y ³ a z ³ a
f t t
t
= + với t Î é a ; +¥ )
ë Ta chứng minh được f(t) là hàm đồng biến
Hệ phương trình có dạng
( ) ( ) ( )
2 2 2
x f y
y f z
z f x
= ì ï
= í
î
Giả sử x = max{x, y, z}, do f(t) đồng biến nên ta có f(x)
³ f(y) Þ2z ³ 2x Þ z³x Þ z = x Tương tự ta suy ra x = y = z
Vậy hệ có nghiệm x y z a
é = = = ê
= = = -êë
Bài 4 Áp dụng công thức trung tuyến trong hai tam giác MAC và MBD, ta có
:
2
2
AC
MA + MC = MO + ;
2
2
BD
MB + MD = MO +
Suy ra ,
4
MA + MC + MB + MD = MO + + =
4
2
= 4 r2 + 2 AB2 = 4 r2 + 2 a2
Mặt khác ta có: 2
2
a
r = suy ra
2
2 2
a
MA + MC + MB + MD = æ ö + a
2
5 2
a
Bài 5: Vì f ( x ) ³ " Î 0 , x ¡ suy ra a > 0 và
2 2
4
b
a
Với 0 < a < b và c > 0 suy ra M > 0
45
C
O
B
D
M
A
Trang 4Đặt t = b – a > 0, ta có
2
4
4
b
a b
M
+ +
2
=
3
+
Đẳng thức M = 3 đạt được khi
2
4 0 4
3
b c
hay b c a a
ì
=
í
ï = - = î
-HẾT -