32n là số chính phương.. Cho tam giác ABC có O là tâm đường tròn ngoại tiếp.. Đường phân giác ngoài của góc A theo thứ tự cắt các đường thẳng vuông góc với BC tại B, C ở D và E.. Chứng
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
Trường THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam
KỲ THI OLYMPIC HÀ NỘI - AMSTERDAM
MÔN TOÁN CHUYÊN LỚP 10
Ngày thi : 25/03/2011 Thời gian : 180 phút
Bài 1 (4 điểm) Cho nÎ¥ thoả mãn 3n +3n+1+3n+2 + + 32n là số chính phương
Chứng minh rằng số n chia hết cho 4
Bài 2 (4 điểm) Giải hệ phương trình
ï í
ïî
Bài 3 (4 điểm) Xét các tam thức bậc hai f(x) = ax 2 + bx + c thoả mãn
0
f ( x ) , x
<
ì
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a b c
M
+ +
=
Bài 4 (4 điểm) Cho tam giác ABC có O là tâm đường tròn ngoại tiếp Đường phân giác
ngoài của góc A theo thứ tự cắt các đường thẳng vuông góc với BC tại B, C ở D và E Chứng minh rằng các đường thẳng AO, BE, CD đồng quy
Bài 5 (4 điểm) Có hai cọc tiền xu, một cọc có n đồng tiền và một cọc có k đồng tiền (với
n, k là các số nguyên dương) Một rôbôt tự động chuyển tiền xu từ cọc này sang cọc kia
theo quy luật sau: Nếu một cọc có số tiền chẵn thì chuyển một nửa số tiền từ cọc đó sang cọc kia (nửa số tiền còn lại vẫn ở cọc tiền cũ); khi hai cọc đều có số tiền chẵn thì rôbốt chọn ngẫu nhiên một cọc và cũng chuyển như trên Quá trình trên kết thúc nếu số đồng
tiền ở hai cọc đều là số lẻ Tìm điều kiện cần và đủ của n và k để rôbốt sẽ ngừng làm việc
sau hữu hạn lần chuyển như vậy
-HẾT -