Điểm P di chuyển trên đoạn AH.. Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC.. Chứng minh rằng đường thẳng PO’ luôn luôn đi qua một điểm cố định khi P di chuyển trên đoạn AH.. Có
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
Trường THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam
KỲ THI OLYMPIC HÀ NỘI - AMSTERDAM
MÔN TOÁN CHUYÊN LỚP 11
Ngày thi : 25/03/2011 Thời gian : 180 phút Bài 1 (4 điểm) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn đẳng thức:
3
2 1
2
n
n n
n
n.C
n
-Giải phương trình
1C x n 1-x n- +2C x n 1-x n- +3C x n 1-x n- + + nC x n n n =n
Bài 2 (4 điểm) Cho dãy số 0
2 1
3
2
x
= ìï í
n
n lim x x x x
Bài 3 (4 điểm) Cho hai dãy số nguyên dương { } { }x n , y n thoả mãn các điều kiện
1
x , y ,x , y
>
ìï í
Chứng minh rằng với giá trị n đủ lớn thì x n > y n
Bài 4 (4 điểm) Cho tam giác ABC nhọn và đường cao AH, ( HÎBC ) Điểm P di chuyển trên đoạn AH Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC
a Chứng minh rằng B, E, F, C nằm trên đường tròn tâm O’
b Chứng minh rằng đường thẳng PO’ luôn luôn đi qua một điểm cố định khi P di chuyển trên đoạn AH
Bài 5 (4 điểm) Có hai cọc tiền xu, một cọc có n đồng tiền và một cọc có k đồng tiền (
với n, k là các số nguyên dương) Một Rôbôt tự động chuyển tiền xu từ cọc này sang cọc
kia theo quy luật sau: Nếu một cọc có số tiền chẵn thì chuyển một nửa số tiền từ cọc đó sang cọc kia (nửa số tiền còn lại vẫn ở cọc tiền cũ); khi hai cọc đều có số tiền chẵn thì Rôbốt chọn ngẫu nhiên một cọc và cũng chuyển như trên Quá trình trên kết thúc nếu số
đồng tiền ở hai cọc đều là số lẻ Tìm điều kiện cần và đủ của n và k để Rôbốt sẽ ngừng
làm việc sau hữu hạn lần chuyển như vậy
-Hết