Gọi I là trung ñiểm của cạnh SC và M là trung ñiểm của AB.. Tính khoảng cách từ I ñến CM Hướng dẫn.. Khoảng cách từ một ñiểm ñến một ñường thẳng... Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’
Trang 1Chuyên ñề KHOẢNG CÁCH
Ví dụ 1 Hình chóp S.ABCD có ñáy là hình vuông ABCD tâm O cạnh a,
SA⊥ ABCD và SA = a Gọi I là trung ñiểm của cạnh SC và M là
trung ñiểm của AB
a IO⊥(ABCD)
b Tính khoảng cách từ I ñến CM
Hướng dẫn
Giả sử OH ⊥MC⇒MC⊥IH Tức H là hình chiếu của I lên MC
Vậy d I CM( , )=IH
Xét ∆MHO ñồng dạng ∆MNC
2 5
OH
CN = MC⇒ =
B1: Xác ñịnh hình chiếu của I lên CM B2: Tập trung tính IH
+ Biết IO + Tinh OH
Ví dụ 2 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình thoi ABCD tâm O, SA
= AB = 2a, ABC=600 và SA⊥(ABCD)
a CM: BD⊥SC⇒d O SC( , )
b d O SB( , ), ( , )d D SB
Hướng dẫn
a Qua BD dựng mặt phẳng ( ) α ⊥SC tại I thì d O SC( , )=OI
SAC
∆ vuông cân tại A nên 45o
SCA= ⇒∆OIC vuông cân tại I
b + Trong tam giác SOB hạ OH ⊥SB⇒d O SB( , )=OH
H
N M
I
O
D
C B
A S
H
K
I
2a 2a
O
D
C B
A S
Dạng I Khoảng cách từ một ñiểm ñến một ñường thẳng
Phương pháp:
Cách 1:
B1: Xác ñịnh mặt phẳng chứa a và O
B2: Dựng ñường thẳng qua O và vuông góc a cắt a tại H
B3: d O a( , )=OH
Cách 2 Dựng mặt phẳng ( )
M
a H d O a OH a
α
α α
⊥
Chän ®iÓm M trªn ∆∆∆∆1 , dùng MH ⊥ ⊥⊥ ⊥ ∆∆∆∆2
( H thuéc ∆∆∆∆2 ) ta cã d(∆∆∆∆1 ,∆∆∆∆2 ) = MH
//
∆∆∆∆1 ∆∆∆∆2
∆∆∆∆2
∆∆∆∆1
M
H
Trang 2( )
BD⊥ SAC ⇒BD⊥SO
Tam giác ABC ñều nên 3 3
2
AB
BO= =a
Xét tam giác vuông SOB: OH SB =OS.OB⇒OH =
+ Trong SBD hạ DK ⊥SB nên OH là ñường trung bình
Ví dụ 3 Cho tứ diện S.ABC có ∆ABC ñều cạnh a,
SA⊥ ABC 3
2
SA= a Gọi I là trung ñiểm BC
a) Chứng minh: (SBC) vuông góc (SAI)
b) Tính khoảng cách từ A ñến (SBC)
c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC)
Ví dụ 4 Cho tứ diện OABC, trong ñó OA, OB, OC ñôi một
vuông góc với nhau Kẻ OH ⊥(ABC)
1 CM: H là trực tâm của ABC
2 CM: 12 12 12 12
OH =OA +OB +OC
Hướng dẫn
1 Kẻ OH ⊥(ABC),OH∩BC=M
Ta có: OH BC BC AH
BC OA
⊥
H
I a
3a 2
C
B A
S
M
H
C
B
A
O
H
C
B
M A
O
Dạng II Khoảng cách từ một ñiểm ñến một mặt phẳng
Phương pháp:
B1: Xác ñịnh hình chiếu H của M lên ( ) α
(MH ⊥( ) α )
B2: d M( ,( )α )=MH Dùng: MH ⊥ (α), H thuéc (α) ta cã: d(M,(α)) = MH
α
M
( H thuéc (α)), ta cã d(∆∆∆∆,(α)) = MH
∆∆∆∆ // (α)
∆∆∆∆
α
H M
Trang 3Tương tự BH ⊥ AC
2 Theo ñịnh lí 3 ñường vuông góc MO⊥BC
Xét : 1 2 12 1 2
AOM
OH OA OM
Ví dụ 5 (ĐH_D_2002) Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông
góc với mặt phẳng (ABC), ngoài ra AC = AD = 4cm, AB = 3cm,
BC = 5 cm Tính khoảng cách từ A ñến (BCD)
Ví dụ 6 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có tam giác
ABC ñều, cạnh bên AA’ = a, các mặt bên (A’AB) và (A’AC)
cùng hợp với ñáy một góc α Tính khoảng cách từ A’ ñến (ABC)
Hướng dẫn
Hạ A O' ⊥(ABC),AK ⊥AB AH, ⊥ AC
Khi ñó A HO' =A KO' =α⇒∆A KO' = ∆A HO'
AO là phân giác nên OAK=300 Đặt AH = AK = x Ta tính
A’O bằng 2 cách:
3
x
A O=KO α =AK α = α
+
0
4
3 os30
c
2
2
α
α
+
atan
α
+
5 3
4
4
M
H
C
B A
D
K H
O
A'
C
B
A
Trang 4Ví dụ 7 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ , ñáy là tam
giác ñều cạnh a, hình chiếu của C’ lêm (ABC) trùng với tâm
ñáy Cạnh C’C hợp với ñáy một góc 600.Tính khoảng cách từ C
ñến (ABB A' ')
Hướng dẫn
Ta thấy CC'/ /(ABA B' ') nên khoảng cách từ C ñến (ABA’B’)
bằng khoảng cách từ ñiểm bất kì trên CC’ ñến (ABB’A’) Gọi I là
trung ñiểm AB hạ C O' ⊥(ABC) nên C CO' =600
'
AB CI
AB C CI
AB C O
⊥
Trong tam giác C’CI dựng IH⊥CC'⇒IH ⊥AB
Mặt khác IH ⊥AA'(Vi AA'/ /CC')⇒IH⊥(ABB A' ')
Vậy d C( ,(ABB A' ") )=IH
Ta có 2 3 ; ' tan 600
a
CO= CI = CO =CO =a
Trong tam giác C’IC: ' '
3
a
IH C C=C O CI⇒IH=
Ví dụ 8 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các
cạnh bên và cạnh ñáy ñều bằng a Cạnh bên của lăng trụ
tạo với mặt ñáy góc 600 và hình chiếu vuông góc của A
trên mp(A’B’C’) trùng với trung ñiểm của B’C’
H
I
O
C B
A
A'
C' B'
Trang 5Dạng III Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau
Phương pháp:
Để xác định đường vuơng gĩc chung và khoảng các hai đường thẳng chéo nhau
+ Trường hợp: a⊥b
B1: Xác định mặt phẳng ( )
( )
a b
α α
⊥
B2: Giả sử ( ) α ∩ =b H
B3: Từ H dựng đường thẳng vuơng gĩc với a cắt a tại M
B4: d a b( ), =MH
+ Trường hợp: a và b khơng vuơng gĩc
Cách 1 Sử dụng mặt phẳng song song
B1: Dựng ( )
( )/ /
a b
α
α
B2: Xác định hình chiếu b’ của b lên ( ) α
B3: Giả sử b'∩ =b Hvà lấy điểm M∈b, xác định hình chiếu M’ của M lên ( ) α
B4: Từ H dựng đường thẳng c song song với MM’
B5:
( )
là đường vuông góc chung
d ,
c
a b HK
=
Cách 2 Mặt phẳng vuơng gĩc
B1: Dựng mặt phẳng ( ) α ⊥a tại O, ( ) α ∩ =b I
B2: Dựng hình chiếu b’ của b trên ( ) α
B3: Trong mặt phẳng ( ) α vẽ OH ⊥b'
B4: Từ H kẻ đường thẳng song song với a cắt b tại B
B5: Qua B kẻ đường thẳng song c song song với OH cắt a tại A
B6: c đường vuông góc chung
AB là khoảng cách giữa a và b
Cách 3 Dựng
( ) ( )
/ /
a
b d a b d
α
K
M
b'
a b
b
H O
I
B A
a
Trang 6Ví dụ 1 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình vuông cạnh a, cạnh SA = h
và vuông góc với ñáy Dựng và tính ñộ dài ñoạn vuông góc chung
a SB và CD; b SC và BD c SC và AB
Hướng dẫn
a d SB CD( , )=CB
b d SC BD( , )=OH
c Ta thấy AB⊥( )SAD
Dựng AK⊥SD; kẻ KE // CD Kẻ EF // AK
Ta thấy AK SD ( )
AK SCD AK SC
AK CD
⊥
Vì EF//AK nên EF
EF
AB SC
⊥
Vậy d SC AB( , )=EF=AK
Ví dụ 2 Cho hình chóp tam giác ñều S.ABC có ñáy bằng 3a, cạnh bên bằng
2a Gọi G là trọng tâm của ñáy ABC
a Tính khoảng cách từ S ñến (ABC)
b Tính khoảng cách giữa AB và SG
Hướng dẫn
a Vì S.ABC là hình chóp ñều nên SG⊥(ABC) nên
( ,( ))
d S ABC =SG
b Ta thấy CG⊥AB⇒d SG AB( , )=HG
Ví dụ 3 Cho hình thoi ABCD tâm O, có cạnh a và 3
3
a
OB= Trên ñường thẳng vuông góc với (ABCD) tại O ta lấy ñiểm S sao cho SB = a
a CM: SAC vuông và SC vuông góc BD
b Chứng minh: ( ) ( ) ( ) (SAD ⊥ SAB , SCB ⊥ SCD)
c Tính khoảng cách giữa SA và BD
Hướng dẫn
Ta thấy ∆SOB= ∆AOB⇒SO=OA=OC
b.Gọi I là trung ñiểm SA
Vì BS = BA = a ⇒BI⊥SA
Vì DS=DA=a⇒DI⊥SA⇒((SAB),(SAD))=BID
F
E K
H
O
D
C B
A S
F
E
K
C
D
S
B
A
H
I G
C
B A
S
I
a 3
a
O D
C
B
A S
Trang 72 2 6 :
3 3 Mà
3 vuông
a AOB OA AB OB
a
SO OA OI
OI OB OD BID
c d SA BD( , )=OI
Ví dụ 4 (ĐH_D_2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cĩ đáy là tam giác
vuơng và BA = BC = a, cạnh AA'=a 2 Gọi M là trung điểm của BC
Tính khoảng cách giữa AM và B’C
Hướng dẫn
Gọi E là trung điểm của BB’
Ta thấy B’C//(AEM)
( ' , ) ( ' ,( )) ( ,( )) ( ,( ))
d B C AM =d B C AEM =d C AEM =d B AEM =BH
Mà BAEM là tứ diện vuơng nên:
BH =BA +BM +BH (*)
Nhận xét: Cơng thức cho tứ diện vuơng rất quan trọng
Ví dụ 5 (ĐH_B_2007) Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a
Gọi E là điểm là điểm đối xứng với D qua SA Gọi M, N tương ứng là trung
điểm của AE và BC Tìm khoảng cách giữa MN và AC
Hướng dẫn
Gọi P là trung điểm AB
MP//EB (1)
SE // AD ⇒SE/ /BC⇒SEBD là HBH EB/ /SC (2)
Từ (1) và (2): MP // SC
Mà PN // AC nên (MPN) ( )/ / SAC (3)
Nên d MN AC( , )=d((MNP),(SAC)) (=d H SAC,( ))=OH
OH = OB= BD
Lưu ý: Bài này đã giải rồi với ý CM : MN ⊥BD
H E
M
C'
B' A'
C
B
A
H
B
C
M
H O
P
N M
E
S
I
D
C
B A
Trang 8Ví dụ 5 (ĐH_A_2006) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1
Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của AB và CD Tìm khoảng cách giữa A’C
và MN
Hướng dẫn
Ta thấy MN//(A’BC)
+ BC⊥(A AB' )⇒BC⊥ AI
Mà AI ⊥A B'
Vậy AI ⊥( 'A BC)
Mặt khác dựng MH vuông góc với A’B
Thì MH⊥(A BC' )
Vậy d MN A C( , ' ) (=d MN,( 'A BC)) (=d M A BC,( ' ))=MH
Ví dụ 6 (ĐH_A_2004) Cho hình chóp S.ABCD ñáy là hình thoi cạnh
AB= AC= SO= SO⊥ ABCD Gọi M là trung ñiểm của
SC Tìm khoảng cách giữa hai ñường thẳng SA và BM
Hướng dẫn
Dễ thấy d MB SA( , ) (=d S MOB,( )) (=d C MOB,( ))=CH
Ta cm: OB⊥(OCM) nên có hình vẽ dưới
Kẻ MK⊥OC
Trong tam giác OMC: . . MK OC
MK OC CH OM CH
OM
H
M I
D'
C' B'
A'
D
C B
A
N
K M
O
B A
S
K
H
C
M O
B
H
B
C
M
