QUAN HỆ VUÔNG GÓC- ĐẦY ĐỦ CÁC DẠNG BÀI

Viết chi tiết, Phân dạng đầy đủ.

a và b cùng phương a k R b ka

+ Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k  1), O tuỳ ý Ta cĩ:

3 Tích vơ hướng của hai vectơ

 Gĩc giữa hai vectơ trong khơng gian:

        

AB u AC v u v BAC BAC

Bài 1: Cho tứ diện ABCD Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD, G là trung

điểm của đoạn MN Chứng minh rằng:

Bài 2: (VD 2, SGKCB-87) Cho tứ diện ABCD, gọi M ,N lần lượt là trung điểm của các cạnh

AB, BC, và G là trọng tâm của tam giác BC Chứng minh

A

GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923

Bài 3: (B7, SGKCB-92) Gọi M, N lần lượt là các trung điểm của cạnh AC, BD của tứ diện

ABCD, gọi I là trung điểm của MN P là điểm bất kì trong không gian chứng minh rằng

HD: Gọi 0 là tâm của hình chữ nhật 0A=0B=0C=0D

Bài 5: ( VD2, T.T.V.ANH-146)Cho hình chóp SABCD đáy là hbh tâm O, chưng minh

a SASBSC SD SO b

Bài 6: (BÀI 3.1 SBT CB-118) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a, gọi O và O’

theo thứ tự là tâm của hình vuông

a) Hãy biểu diễn các vecto AO AO theo các vecto có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của , 'hình lập phương

b) Chứng minh AD D C ' 'D A' ' AB

DẠNG 2 chứng minh 3 vecto đồng phẳng và phân tích một vecto theo 3 vecto ko đồng phẳng

Pp:

 Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta có thể chứng minh bằng một trong các cách:

+ Chứng minh các giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng

+ Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng:

Bài 1: (VD4, SGKCB-89) Cho tứ diện ABCD Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và

CD trên các cạnh AD, BC lấy cá điểm P và Q sao cho 2 ; 2

AP  AD BQ BC Chứng minh M,N, P,Q cùng thuộc mp

MN  MP MQ

Bài 2: (VD5 SGKCB-91) Cho hình hộp ABCD.EFGH có ABa AD; b AE; c

Gọi I là trung điểm của BG Hãy biểu thị AI qua vecto a b c , ,

GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923

Bài 3: (B9, SGK-92) Cho tam giác ABC Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABC) Trên SA

lấy điểm M sao cho MS  2MA trên BC lấy điểm N sao cho 1

2

NB NC Chứng minh rằng ba vectơ   AB MN DC, , đồng phẳng

HD: Chứng minh  1 2

MN AB DC

Bài 6( B3.3 SBTCB-118) Cho hình tứ diện ABCD Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của

các cạnh AB và CD Trên các cạnh AC và BD ta lần lượt lấy các điểm M,N sao cho

Bài 7: (B10, SGKCB-92) Cho hình hộp ABCD.EFGH, Gọi K là giao điểm của AH và DE, I

là giao điểm của BH và DF chứng minh ba vecto AC KI FG , ,

Q P

GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923

HD: cùng song song với (ABC)

Bài 8 Cho hình hộp ABCD.EFGH Gọi M, N, I, J, K, L lần lượt là trung điểm của các cạnh

AE, CG, AD, DH, GH, FG; P và Q lần lượt là trung điểm của NG và JH

a) Chứng minh ba vectơ   MN FH PQ, , đồng phẳng

b) Chứng minh ba vectơ   IL JK AH, , đồng phẳng

HD: a) MN FH PQ  , , có giá cùng song song với (ABCD)

b) IL JK AH  , , có giá cùng song song với (BDG)

DẠNG 3 Tìm góc của hai đường thẳng và cm hai đường thẳng vuông góc

PP:

Chứng minh góc giữa hai đường thẳng đó bằng 900

Chứng minh 2 vectơ chỉ phương của 2 đường thẳng đó vuông góc với nhau

Sử dụng các tính chất của hình học phẳng (như định lí Pi–ta–go, …)

BÀI TẬP

Bài 1: (VD1, SGKCB -93) Cho tứ diên OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vương

góc và OA=OB=OC=1 Gọ M là trung điểm của AB tính góc giữa hai vecto OM va BC

Bài 2: (B2, SGKCB-97)Cho tứ diện ABCD có hai cặp cạnh đối diện là AB và CD, AC và

DB vuông góc với nhau

nghĩa là AD  BC

Bài 3:(B5, SKGCB-98)Ch hình chóp tam giác S.ABC có SA=SB=SC và có

ASBBSCCSA.Chứng minhSABC SB, AC SC,  AB

Bài 4: ( B8,SGKCB-98) Cho tứ diện ABCD có AB=AC=AD và BAC BAD 60 chứng minh

)

a ABCD

b) Nếu M,N là trung điểm của AB và CD thì MN  AB MN; CD

GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923

Bài 5: (B2 GIAICB- 80) Cho tứ diện ABCD cạnh a, Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam

giác BCD Chứng minh đường thẳng AO vuông góc với CD

Bài 6: (B3 GIAICB- 80) Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’

a) Tính góc giữa hai đường thẳng AC và DA’ đs: 120

b) Chứng minh BD vuông góc với AC’

Bài 7: (B4 GIAICB- 80) Cho tứ diện ABCD cạnh a Tính góc giữa hai đường thẳng AB và

b) Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của cạnh AC,BC, BD,DA Chứng minh MNPQ là hcn

Bài 9: (VD3, SBTCB -125) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a Trên

các cạnh DC và BB’ lấy M,N sao cho DM=BN=x với 0  x a Chứng minh hai đường thẳng AC’ và MN vuông góc

BÀI 2: ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

a b P a b O

d P

d a d b

3 Tính chất

 Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng tại

trung điểm của nó

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó

    





( ) ( )

GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923

Chú ý: 00  d P,( )  900

B BÀI TẬP

Bài tập: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mp

Phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng:

♦Phương pháp 1:

Muốn chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P),ta chứng minh đường thẳng

d vuông góc với hai đường thẳng a và b cắt nhau nằm trong mặt phẳng (P)

Sử dụng định lý: Nếu hai mặt phẳng (P),(Q) vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến

x, đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng (P) mà vuông góc với giao tuyến x thì vuông góc với mặt phẳng (Q)

♦Phương pháp 4:

BÀI 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy là tứ giác lồi Biết tam giác ABC và tam giác BAD

vuông tại A chứng minh AB(SAD)

GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923

BÀI 2: Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình bình hành tâm 0 và SA=SC và SB=SD

Chứng minh SO(ABCD)

BÀI 3: Cho hình chóp SABCD đáy là hình thoi giải sử SA=SC Chứng minh AC (SBD)

BÀI 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và SA(ABCD).AE,AF là đường cao của tam giác SAB và SAD, chứng minh SC(AEF)

BÀI 5: Cho hình chóp SABCD đáy là hình chữ nhật gọi I,J là trung điểm của AB và CD ,

SA=SB, Chứng minh CD( IJ)S

BÀI 6: Cho tứ diện SABC có SA vuông góc với (ABC) Gọi H,K lần lượt là trự tâm của

tam giác ABC, SBC chứng minh

a) AH, SK, BC đồng quy b) SC vuông góc với (BHK) c) HK(SBC)

BÀI 7 Cho tứ diện S.ABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có ABC là tam

giác vuông tại B

a Chứng minh BC vuông góc với mặt phẳng (SAB) và BC  SB

b Gọi AH là đường cao của tam giác SAB Chứng minh AH  SC

BÀI 8 Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và có cạnh SA vuông góc với mặt

phẳng đáy (ABCD) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên SB và SD

a Chứng minh BC  (SAB), CD  (SAD), BD  (SAC)

b Chứng minh SC  (AHK) và HK  (SAC)

BÀI 9 Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD tâm O và có SA = SC, SB = SD

a Chứng minh đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD)

b Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SD Chứng minh MN  (SAC)

BÀI 10: (VD1, SBTCB-130) Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông tâm O SA 

(ABCD) Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC, SD

a) CMR: BC  (SAB), CD  (SAD), BD  (SAC)

b) CMR: AH, AK cùng vuông góc với SC Từ đó suy ra 3 đường thẳng AH, AI, AK cùng nằm trong một mặt phẳng

c) CMR: HK  (SAC) Từ đó suy ra HK  AI

Chứng minh đường thẳng vuông góc với mp bằng trục đường tròn

pp:

GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923

b1: Tìm một điểm S ở đỉnh cách đều các đỉnh của đa

giác ABC như sau SA=SB=SC

b2: Tìm điểm 0 ở đáy cách đều các đỉnh của đa giác

đáy ABC : OA=OB=OC

b3: Nối SO là trục của đường tròn Vậy SO vuông góc

với mp chứa đường tròn (ABC)

BÀI 11: Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình thoi có BAC 60VÀ SA=SB=SC Chứng minh SG vuông góc với (ABCD) với G là trọng tâm

HD: Xét (ABC) nằm trong (ABCD) có SA=SB=SC và GA=GB=GC do đó SG  (ABC)

BÀI 12: Cho hình chóp SABCD có SA=SC=SD và ADC 90,Gọi I là trung điểm AC Chứng minh SI vuông góc (ABCD)

BÀI 13: Cho hình chóp S.ABCD đáy là nửa của lục giác đều có SBDSCD 90 , Gọi O và

I là trung điểm của AD và SD Chứng minh OI (BCD SA); (ABCD)

HD: Dựa vào tính chất đường trung tuyến trong tam 2 tam giác vuông cm được IB=IC=ID

- Theo tc của lục giác đều thì 0B=0C=0D từ đó suy ra OI (BCD)

Sử dụng định lý:Nếu đường thẳng a song song mặt phẳng (P),

mà đường thẳng d vuông góc mặt phẳng (P), thì d vuông góc với đường thẳng a

GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923

BÀI 1: Cho tứ diện ABCD có AC=AD và BC=BD Chứng minh ABCD

BÀI 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi và SA(ABCD) Chứng minh

BDSC

BÀI 3: Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với (BCD) có BCD 90 gọi BH là đường cao

của tam giác BHD vuông

BÀI 4: Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông tại B; SA  (ABC)

a) Chứng minh: BC  (SAB)

b) Gọi AH là đường cao của SAB Chứng minh: AH  SC

BÀI 5: Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình thoi tâm O Biết: SA = SC, SB = SD

a) Chứng minh: SO  (ABCD)

b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC CMR: IJ  (SBD)

BÀI 6: Cho hình chóp SABCD có Savuông góc với (ABCD) là hình chữ nhật chứng minh

bốn mặt bên (SBA); (SCD);(SBC);(SAD) đều là tam giác vuông

BÀI 7: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau Gọi H là hình

chiếu vuông góc của điểm O trên mp(ABC) Chứng minh rằng:

a) BC  (OAH)

b) H là trực tâm của tam giác ABC

c) 12 12 12 12

OH OA OB OC

BÀI 8:Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và

SC = a 2 Gọi H và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD

a) CMR: SH  (ABCD)

b) Chứng minh: AC  SK và CK  SD

Bài 9: (ĐH Khối B năm 2002)

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BB’, CD, A’D’ Chứng minh: MPC N'

Giải:

Bài 10: (ĐH Khối A năm 2007)

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a

Mặt bên SAD là tam giác đều và ở trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P lần lượt

là trung điểm của SB, BC, CD Chứng minh AMBP

Giải :

Gọi H là trung điểm AD, do tam giác SAD đều nên SH AD

Vì (SAD)(ABCD), suy ra SH (ABCD) suy ra SHBP

(1)

Dễ thấy hai tam giác vuông BPC và CHD bằng nhau, nên ta

có CBPDCHCBP HCB 90 0 BPCH (2)

Từ (1) và (2) suy ra: BPSHC (3)

Do HC // AN, MN // SC SHC / / MAN (4)

Từ (3) và (4) suy ra: BPMANAM BP (đpcm)

Bài 11: (ĐH khối B năm 2007)

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a Gọi E là điểm đối xứng của điểm D qua trung điểm của SA Gọi M, N lần lượt là trung điểm của

AE, BC Chứng minh MNBD

Giải

Ta có SEAD là hình bình hành SE/ /DA và SE = DA

 SEBC cũng là hình bình hành SC/ /EB

Gọi P là trung điểm của AB Khi đó trong các tam giác

EAB và ABC ta có MP // EB, PN // AC

A

C

B

D S

N

P

N M E

H

D

C B

A S

GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923

Pp:

Xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P)

 Tìm giao điểm M của a với (P)

 Chon điểm S  a và dựng SH  (P) Khi đó SOH ( ,( ))a P

3

    BSC 60 0

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại B, AB = BC= a 2, I là trung điểm cạnh AC, AM là đường cao của SAB Trên đường thẳng Ix vuông góc với mp(ABC) tại I, lấy điểm S sao cho IS = a

a) Chứng minh AC  SB, SB  (AMC)

b) Xác định góc giữa đường thẳng SB và mp(ABC)

c) Xác định góc giữa đường thẳng SC và mp(AMC)

Giải

a)  AC  BI, AC  SI  AC  SB

 SB  AM, SB  AC  SB  (AMC)

b) SI  (ABC)  SB ABC,( )   SBI

AC = 2a  BI = a = SI  SBI vuông cân   SBI 45 0

S

A

B

C I

M

GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923

Giải

Bài 4: (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SA =

SB = SC = SD = 2a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và SO Kẻ OP vuông góc với

 Đáy ABCD là hình vuông nên OB = OC, mà

OB và OC lần lượt là hình chiếu của NB và NC trên (ABCD) NB = NC

 NBC cân tại N, lại có M là trung điểm BC (gt)

 MN  BC  MN  AD (vì AD // BC)

c) Tính góc giữa SA và mp (ABCD)

 SO  (ABCD) nên AO là hình chiếu của SA trên (ABCD)

Vậy góc giữa SA và mặt phẳng (ABCD) là  SAO



a AO SAO

SA a

2 2 2

N

M O

D

C

S

HD: a ABS )  45 b) arctan CSI

DẠNG 3: Xác định thiết diện đi qua 1 điểm và vuông góc với đường thẳng cho trước

Pp:

Dựng hai đường thẳng cắt nhau cùng vuông góc với d trong đó có ít nhất một đường đi qua điểm M Mặt phẳng cần xác định bởi hai đường thẳng nói trên chính là Sau đó ta cần tìm giao tuyến với các mặt của hình không gian

Chú ý.Nếu có sẵn hai đường thẳng cắt nhau hay chéo nhau a và b cùng vuông góc với d thì ta chọn mặt phẳng song song với a (hay chứa a) và song song với b (hay chứa b) rồi thực hiện liên tiếp các bước còn lại

BÀI TẬP

1 Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình thang vuông tại A và B

với AB = BC = a, AD = 2a; SA  (ABCD) và SA = 2a Gọi M

là 1 điểm trên cạnh AB Mặt phẳng (P) qua M và vuông góc

với AB Đặt AM = x (0 < x < a)

a) Tìm thiết diện của hình chóp với (P) Thiết diện là hình gì?

b) Tính diện tích thiết diện theo a và x

HD: a) Hình thang vuông b) S = 2a(a – x)

2 Cho tứ diện SABC, có đáy là tam giác đều cạnh a; SA  (ABC) và SA = 2a Mặt phẳng (P) qua B và vuông góc với SC Tìm thiết diện của tứ diện với (P) và tính diện tích của thiết diện này

HD: S =

2 15 20

a

3 Cho tứ diện SABC với ABC là tam giác vuông cân đỉnh B, AB = a SA  (ABC) và SA

= a 3 M là 1 điểm tuỳ ý trên cạnh AB, đặt AM = x (0 < x < a) Gọi (P) là mặt phẳng qua M và vuông góc với AB

a) Tìm thiết diện của tứ diện với (P)

b) Tính diện tích của thiết diện đó theo a và x Tìm x để diện tích thiết diện có giá trị lớn nhất

a) (P) qua S và vuông góc với BC

b) (P) qua A và vuông góc với trung tuyến SI của tam giác SBC

c) (P) qua trung điểm M của SC và vuông góc với AB

2

5 6 18

Góc giữa 2 mặt phẳng là góc giữa 2 đường thẳng lần lượt vuông góc với 2 mặt phẳng đó

* Nhận xét: Nếu 2 mặt phẳng song song hoặc trùng nhauthì ta nói rằng góc giữa 2 mặt phẳng

đó bằng 0o

b)Cách xác định góc giữa 2 mặt phẳng cắt nhau:

Cho (P) (Q) = c, lấy I bất kì thuộc c

Trong (P) qua I kẻ a c.Trong (Q) qua I kẻ b  c

Khi đó góc (P), (Q) = góc (a, b)

c)Diện tích hình chiếu của đa giác: S’ = S cos

Với S là diện tích đa giác nằm trong (P), S’ là diện tích hình chiếu vuông góc của đa giác đó trên (Q),  = góc ((P), (Q))

2.Hai mặt phẳng vuông góc:

a) Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc của chúng bằng 90o

+ Hai mặt phẳng (P), (Q) vuông góc với nhau, kí hiệu : (P)(Q) hay (Q) (P)

b)Tính chất :

* Điều kiện cần và đủ để 2 mặt phẳng vuông góc với nhau là mặt phẳng này chứa 1 đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia

Tóm tắt : (P)(Q)  a (P) :a (Q)

* Nếu 2 mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này

và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia

Tóm tắt : (P)(Q), (P) (Q) = c, a  (P),aca (Q)

* Nếu 2 mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và A là điểm nằm trong (P) thì đường thẳng a đi qua điểm A và vuông góc với (Q) sẽ nằm trong (P)

Tóm tắt : (P)(Q), A  (P),A,a (Q) a (P)

* Định nghĩa: Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy

* Nhận xét: Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là hình chữ nhật và vuông góc với mặt đáy b)Hình lăng trụ đều:

* Định nghĩa: Hình lăng tru đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều

* Nhận xét: Các mặt bên của hình lăng trụ đều là những hình chữ nhật bằng nhau và vuông góc với mặt đáy

c)Hình hộp đứng:

* Định nghĩa: Hình hộp đứng là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành

* Nhận xét: Trong hình hộp đứng 4 mặt bên đều là hình chữ nhật

+ Đường vuông góc với mặt đáy kẻ từ đỉnh gọi là đường cao của hình chóp

+ Một hình chóp là hình chóp đều đáy của nó là đa giác đều và chân đường cao của hình chóp trùng với tâm của đáy

+ Một hình chóp là hình chóp đều đáy của nó là đa giác đều và các cạnh bên tạo voéi mặt đáy các góc bằng nhau

b)Hình chóp cụt:

* Định nghĩa: Khi cắt hình chóp đều bởi 1 mặt phẳng song song với đáy để được 1 hình chóp cụt thì hình chóp cụt đó được gọi là hình chóp cụt đều

* Nhận xét:

+ Hai đáy của hình chóp cụt đều là 2 đa giác đều đồng dạng với nhau

+ Đoạn nối tâm 2 đáy được gọi là đường cao của hình chóp cụt đều

+ Trong hình chóp cụt đều các mặt bên là những hình thang cân bằng nhau

B.BÀI TẬP

DẠNG 1: Xác định góc giữa 2 mp

SC2CD2  4a2 2a2  6a2 SD2 nên tam giác SDC vuông tại C

b) Tính góc giữa (SBC) và (ABCD)

Bài 3: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD =

a 3, SD=a 7 và SA (ABCD) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB

a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông

b) Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) vuông góc

c) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)

GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923

Bài 4: Cho hình chóp S ABC có SA (ABC) Trong tam giác ABC vẽ các đường cao AE

và CF cắt nhau tại O Gọi H là trực tâm của tam giác SBC

(Theo định lí 3 đường vuông góc)

Mà H là trực tâm của tam giác SBC nên

Mà BC và SB cắt nhau tại B trong mặt phẳng (SBC)OH (SBC)

Bài 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có các cạnh bên SA =

SB = SC = a Chứng minh:

a Mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD)

b Tam giác SBD vuông tại S

Giải

a ABCD là hình thoi nên có AC  BD tại O Mặt khác SA = SC nên có

AC  SO Vậy AC  (SBD) Mặt phẳng (ABCD) chứa AC  (SBD)

nên (ABCD)  (SBD)

b Ta có: SAC = BAC (c – c – c) mà OA = OC nên SO = BO Mặt

khác BO = DO nên SO=OB=OD Ta suy ra tam giác SBD vuông tại S

Bài 6 Hình chóp S.ABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC)

Gọi H và K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC

a Chứng minh rằNG (SAC)  (BHK) và (SBC)  (BHK)

b Tính diện tích tam giác ABC biết rằng tam giác SBC có SB = 15cm,

SC = 14cm, BC = 13cm và có góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 300

S

Hình 6 10

SABC = S’ = 84.cos300 = 42 3 (cm2)

Bài 7: Cho hình vuông ABCD Gọi S là điểm trong không gian sao cho SAB là tam giác đều

và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD)

a)CMR: (SAB)  (SAD), (SAB)  (SBC)

b)Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC)

c)Gọi H và I là trung điểm của AB và BC Chứng minh rằng (SHC)  (SDI)

Giải

a) Gọi H là trung điểm của AB

- Vì SAB là tam giác đều  SH  AB

Mà AD (SAD) Vậy (SAD)  (SAB)

* Lập luận tương tự ta có (SBC) (SAB)

b)* Xác định góc giữa 2 mặt phẳng (SAD)

và (SBC):

- Ta có AD (SAD), BC  (SBC), AD // BC (SAD) (SBC) = St // AD

- Vì (SAD)  (SAB), (SBC)  (SAB) St  (SAB) St SA, St  SB

Vậy góc giữa 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC) là góc ASB

* Tính góc ASB:

Vì tam giác SAB đều nên góc ÁB = 60o

Vậy góc giữa 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC) bằng 60o

c)Vì ABCD là hình vuông, H, I lần lượt là trung điểm của AB và BC nên HCDI

Mặt khác do SH  (ABCD) SH  DI

Vậy DI  (sHC), mà DI  (SDI)  (SDI)  (SHC).

A

GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923

Bài 8: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O, AB = a, BC = 2a và SO 

(ABCD), Đặt SO = h Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD

a) Tính góc giữa mặt phẳng (SMN) với các mặt phẳng (SAB) và (SCD)

Tìm hệ thức liên hệ giữa h và a để (SMN)  (SAB), (SMN)  SCD)

b) Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SAB) và (SCD) Tính h theo a để 2 mặt phẳng đó vuông góc

* Căn cứ vào kết quả trên ta thấy với h

tuỳ ý ta luôn có mặt phẳng (SMN) vuông

2 2

a h

a h

cos 2 2

2 2

a h

a h







 (1) Vậy góc giữa 2 mặt phẳng (SAB) và (SCD) là  mà cos thoả mãn (1)

*(SAB)(SCD) = 90o cos  0 h = a

BÀI 9 (ĐH Khối B năm 2006)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a 2, SA = a và

SA ABCD Gọi M là trung điểm của AD Chứng minh (SAC)  (SMB)

Giải:

Giả sử I là giao điểm của AC và MB

Ta có MA = MD và AD // BC nên theo định lý Talet suy

A S