5/ Trong hình thang ABCD AD // BC các đường phân giác trong của các góc A và B cắt nhau tại M , các đường phân giác trong của các góc C và D cắt nhau tại N.. Chứng minh rằng độ dài đoạ
Trang 1HÌNH THANG
1/ Qua giao điểm O của 2 đường chéo của hình thang ABCD ( đáy AB , CD ) vẽ các đường thẳng song song với 2 đáy cắt cạnh bên tại M , N
a/Chứng minh : OM = ON
b/Chứng minh :
CD AB ON
1 1
1 = +
2/ Từø hai điểm A và B của một đường thẳng , về cùng một phía ta dựng hai đoạn thẳng AA1 = a , BB1 = b cùng vuông góc với AB Chứng minh rằng khi giữ nguyên các đại lượng a và b thì khoảng cách từ giao điểm của AB1 và A1B không phụ thuộc vào vị trí của A và B
4/ Cho hình thang ABCD ( AB // CD và AB ≠ CD ) M và N là trung điểm của các đường chéo
AC và BD Kẻ NH ⊥ AD ; MH’ ⊥ BC Gọi I là giao điểm của MH’ và NH Chứng minh rằng
I cách đều hai điểm C và D
5/ Trong hình thang ABCD ( AD // BC ) các đường phân giác trong của các góc A và B cắt nhau tại M , các đường phân giác trong của các góc C và D cắt nhau tại N Chứng minh rằng độ dài đoạn MN bằng nửa hiệu của tổng độ dài hai đáy với tổng độ dài hai cạnh bên
6/ Các đường chéo của hình thang ngoại tiếp ABCD ( AD // BC ) cắt nhau tại O Bán kính đường tròn nội tiếp các ∆ AOD ; ∆ AOB ; ∆ BOC ; ∆ COD lần lượt là r1 , r2 , r3 , r4 Chứng minh rằng :
4 2 3
1
1 1 1
1
r r r
r + = +
HƯỚNG DẪN
Giả sử ∆ AOD ; ∆ AOB ; ∆ BOC ; ∆ COD có diện tích và nửa chu vi lần lượt là S1 , P1 , S2 , P2 ,
S3 , P3 , S4 , P4 Vì SABC = SBCD ; SBOC chung nên ta có : S2 = S4 (1)
3
2 4
1
2 1
2 1
2 1
2 1
S
S BK OC
BK OA OC
OA DH OC
DH OA S
3
2 4
1
S
S S
S
P1 + P3 = P2 + P4 (3) ( Vì ABCD là tứ giác ngoại tiếp )
Từ (1) và ( 2 ) : S1.S3 = S2 = S4 ⇒ S4 = S1.S3
Do : S = Pr , nên ta có :
4
4 4 2
2 2 3
3 3 1
1
r
S p r
S p r
S p r
S
Từ :
4 2 3
1
1 1 1
1
r r r
r + = + ⇔
4
4 2
2 3
3 1
1
S
P S
P S
P S
4
3 1 3
3 1
1
S
P P S
P S
P + = +
C B
O
S1
S4
S3
S2
K
H
Trang 2⇔ . ( 4 )
3 1
3 1 3
3
1
1
S S
P P S
P
S
Mặt khác ∆ OAD ~ ∆ OCD nên : 2
3
2 1 3
1
P
P S
3
2 1 3 1
P
P S
S =
Vì vậy (4) ⇔
3 2
3
2 1 3
3 1
3 3
2 3
2 1 3 1
.
S P
P S
P P
S P P
P S
P + = +
⇔
3
1 3
3 1
1 3
2 3
P
P S
P P
P S
1
3 3 1
3 1
2
P
P P P
P P
⇔
1
2 3 3
3 1
2 3
P
P P
P P
P + = + ( Đúng )
Vậy ( 4 ) đúng do đó :
4 2
3 1
1 1
1 1
r r
r
r + = +
HÌNH THANG – CỰC TRỊ
1/ a/ Cho AB = 2a Vẽ về một phía của AB các tia Ax , By vuông góc với AB Qua trung điểm
M của AB vẽ hai đường thẳng thay đổi luôn vuông góc với nhau và cắt Ax , By theo thứ tự tại
C , D Xác định vị trí của các điểm C , D sao cho ∆ MCD có diện tích nhỏ nhất và tính diện tích nhỏ nhất đó theo a
HÌNH THANG VUÔNG - DIỆN TÍCH /Cho hình thang vuông ABCD có AB là cạnh đáy nhỏ , CD là cạnh đáy lớn , M là giao điểm của hai đường chéo AC và BD Biết rằng thang ABCD ngoại tiếp đường tròn bán kính R Hãy tính diện tích ∆ ADM
HƯỚNG DẪN
H M
Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp hình thang ABCD Giả sử các góc tại đỉnh A và D vuông
BO , CO là phân giác của góc ABC , BCD ⇒ OB ⊥ OC ⇒ ∆ BOC vuông tại O Gọi E , F ,
G , H lần lượt là các điểm tiếp xúc của đường tròn nội tiếp với các cạnh AB , CD , DA , BC của hình thang
Ta có : OH2 = BH.CH ⇒
FC
AE DF
EB
= Do đó M nằm trên đoạn EF Đường cao ứng với đỉnh M của ∆ ADM có độ dài là R và cạnh đáy là 2R , suy ra diện tích tam giác này là R2 Do diện tích các ∆ ADM , BCM bằng nhau nên trong trường hợp các góc
B , C vuông ta cũng có kết quả tương tự
