tài liệu hướng dẫn tự học môn hình học 11

ĐỊNH NGHĨA: Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất M' của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng.. Tính chất 2: Phép tịnh tiến b

Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 11

MỘT SỐ KÍ HIỆU THƠNG DỤNG

v

Tịnh tiến

)

,

(O

)

( k I

chứa A hay ( ) qua A

( ) hay ( ) khơng chứa A hay ( ) khơng qua A

d  ( ) = {M} d cắt mặt phẳng ( ) tại M

()  () =  mp() cắt mp() theo giao tuyến 

đáy ABC.A'B'C' Hình lăng trụ tam giác

Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 11

CHƯƠNG I PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG

- oOo -

1 Vectơ:

a) Các định nghĩa:

 Độ dài vectơ AB kí hiệu AB bằng độ dài đoạn thẳng AB

 Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song

song hoặc trùng nhau

 Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và

cùng độ dài

 Hai vectơ được gọi là đối nhau nếu chúng ngược hướng và

cùng độ dài Vectơ đối của vectơ a 

kí hiệu là - a 

; vectơ đối của MN

là NM nên ta cĩ  MN  NM

 Hai vectơ a 

và b 

cùng phương k  R: a 

= k b 

 a   b   a   b  0

 Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình

bình hành thì:

AC AD

 Quy tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tùy ý, ta cĩ:

AC BC

CB AC

 A, B, C thẳng hàng AB  k AC , k  R

 I là trung điểm AB 0 



 IB IA





GA

b) Tọa độ vectơ và tọa độ điểm:

Cho hai vectơ u 

= (u1; u2), v 

= (v1; v2), ta cĩ:

 u  v 

 = (u1 + v1; u2 + v2)

 u  v 

 = (u1 - v1; u2 - v2)

 k u 

= (ku1; ku2)

 v u  

= u1v1 + u2v2

 u   u12 u22

















2 2

1 1

v u

v u v

u  

Cho hai điểm A(xA; yA), B(xB;yB), ta cĩ:

 AB = (xB - xA; yB - yA)

 AB = AB

 Tọa độ trung điểm của AB: I(

2

; 2

B A B

)

 Tọa độ trọng tâm ABC: G(

3

; 3

C B A C B

)

2 Đường thẳng trong mặt phẳng:

 Phương trình tham số của đường thẳng :







 (a; b) VTCP

có

) y

; M(x qua

u là :  











bt y y

at x x

0

0

 Phương trình tổng quát của đường thẳng :







 (A; B) VTPT

có

) y

; M(x qua

n là: A(x - x0) + B(y - y0) = 0

Phương trình Ax + By + C = 0 là phương trình đường thẳng  cĩ vectơ pháp tuyến n   ( A ; B )

 Nếu đường thẳng d cĩ vectơ chỉ phương u   ( b a ; )

thì d cĩ một vectơ pháp tuyến n   (  b ; a )

Nếu đường

thẳng  cĩ vectơ pháp tuyến n 

= (A; B) thì  cĩ một vectơ chỉ phương là u   (  B ; A )

 Đường thẳng song song đường thẳng : Ax + By + C = 0 cĩ dạng: Ax + By + C1 = 0 (C ≠ C1)

 Đường thẳng vuơng gĩc đường thẳng : Ax + By + C = 0 cĩ dạng: -Bx + Ay + C2 = 0

1 3 b

a b

a

v u

hai vectơ bằ ng nhau hai vectơ đố i nhau

cá c cặ p vectơ cù ng phương

D A

Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 11

3 Đường trịn:

 Đường trịn (C):







R kính bán

b a I tâm ( ; )

cĩ phương trình: (x - a)2 + (y - b)2 = R2

 Phương trình x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 là phương trình của đường trịn (C) khi và chỉ khi a2 + b2 - c > 0 Khi đĩ (C) cĩ tâm I(a; b) và bán kình là R = a2 b2 c

 Ghi chú:

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 11

§1 PHÉP BIẾN HÌNH

 Trong mặt phẳng cho đường thẳng d và điểm M Dựng hình chiếu vuông góc M' của điểm M lên đường thẳng d Dựng được

bao nhiêu điểm M' như thế?

ĐỊNH NGHĨA:

Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất M' của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng

Nếu kí hiệu phép biến hình là F thì taviết F(M) = M' hay M' = F(M) và gọi điểm M' là ảnh của điểm M qua phép biến hình F

Nếu H là một hình nào đó trong mặt phẳng thì ta kí hiệu H' = F(H) là tập hợp các điểm M' = F(M), với mọi điểm M thuộc H Khi đó ta nói F biến hình H thành hình H', hay hình H' là ảnh của hình H qua phép biến hình

F

Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó được gọi là phép đồng nhất

 Cho trước số a dương, với mỗi điểm M trong mặt phẳng, gọi M' là điểm sao cho MM' = a Quy tắc đặt tương ứng điểm M với

điểm M' nêu trên có phải là một phép biến hình không? vì sao?

 Ghi chú:

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 11

§2 PHÉP TỊNH TIẾN

I- ĐỊNH NGHĨA:

Trong mặt phẳng cho vectơ v 

Phép biến hình biến mỗi điểm

M thành điểm M' sao cho MM = v ' 

được gọi là phép tịnh tiến

theo vectơ v 

 Phép tịnh tiến theo vectơ v 

thường được kí hiệu là Tv, v 

được gọi là vectơ tịnh tiến

 Vậy: Tv M M MM v 

( )  '  ' 

 Phép tịnh tiến theo vectơ - khơng chính là phép đồng nhất

 Cho hai tam giác đều ABE và BCD bằng nhau Tìm

phép tịnh tiến biến ba điểm A, B, E theo thứ tự thành ba

điểm B, C, D

Phép tịnh tiến theo vectơ v 

biến hình H thành hình H'

Ví dụ: Dựng ảnh của các hình sau đây qua phép tịnh theo vectơ v 

II- TÍNH CHẤT:

Tính chất 1: Nếu Tv( M )  M ' , Tv( N )  N ' thì M ' N '  MN và từ đó suy ra M'N' = MN Hay phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

Tính chất 2: Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

III- BIỂU THỨC TỌA ĐỘ

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ v 

= (a; b), với mỗi điểm M(x; y) Gọi M'(x'; y') là ảnh của

M qua phép tịnh tiến theo vectơ v 

, khi đóù:















b y y

a x x

'

'

(biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến Tv)

= (1; 2) Tìm tọa độ của điểm M' là ảnh của điểm M(3; -1) qua phép tịnh tiến Tv

Ví dụ1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho v 

= (-2; 3) và đường thẳng d cĩ phương trình 3x - 5y + 3 = 0 Viết phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến Tv

Giải:

M

D C

E A

B

H ' H

v

d

I A

C B

Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 11

Ví dụ2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0 Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ v  = (-2; 3) Giải:

 Ghi chú:

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

1 Bài tập cơ bản:

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD Dựng ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ AD

Bài 2: Cho tam giác ABC cĩ G là trọng tâm Xác điïnh ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ

AG Xác định điểm D sao cho phép tịnh tiến theo vectơ AG biến D thành A

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho v 

= (2; -1), điểm M(3; 2) Tìm tọa độ của các điểm A sao cho:

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 11

Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ v 

= (-1; 2), hai điểm A(3; 5), B(-1; 1) và đường thẳng d có phương trình x - 2y + 3 = 0

a) Tìm tọa độ của các điểm A', B' theo thứ tự là ảnh của A, B qua phép tịnh tiến theo vectơ v 

b) Tìm tọa độ của điểm C sao cho A là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo v 

c) Tìm phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo v 

Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x - 1)2 + (y + 2)2 = 9 Tìm ảnh của

(C) qua phép tịnh tiến theo vectơ v 

= (-2; 5)

Bài 6: Chứng minh rằng: M' = Tv( M ) M Tv( M ' )





Bài 7: Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau Hãy chỉ ra một phép tịnh tiến biến a thành b Có bao nhiêu phép tịnh tiến như thế

2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho v 

= (-2; 1), đường thẳng d có phương trình 2x - 3y + 3 = 0, đường thẳng d1

có phương trình 2x - 3y - 5 = 0

a) Viết phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua Tv

b) Tìm tọa độ của w 

có giá vuông góc với đường thẳng d để d1 là ảnh của d qua Tw Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3x - y - 9 = 0 Tìm phép tịnh tiến theo vectơ

có phương song song với trục Ox biến d thành đường thẳng d' đi qua gốc tọa độ và viết phương trình đường thẳng d'

Bài 3: Cho hai điểm phân biệt B và C cố định trên đường tròn (O) tâm O, điểm A di động trên đường tròn (O) Chứng minh rằng khi A di động trên đường tròn (O) thì trực tâm của tam giác ABC di động trên một đường tròn

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 11

§3 PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC

I- ĐỊNH NGHĨA:

Cho đường thẳng d Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nĩ, biến mỗi điểm M khơng thuộc

d thành M' sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM' được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d hay phép đối xứng trục

Đường thẳng d được gọi là trục của phép đối xứng

trục hoặc đơn giản là trục đối xứng

Phép đối xứng trục d thường được kí hiệu là Đd

Nếu hình H' là ảnh của hình H qua phép đối xứng trục d thì ta cịn nĩi H đối xứng với H' qua d, hay H và H'

đối xứng với nhau qua d

* Nhận xét:

 Cho đường thẳng d Với mỗi điểm M, gọi M0 là hình chiếu vuơng gĩc của M trên đường thẳng d Khi đĩ: M' = Đd(M)  M0M '   M0M 

  M' = Đd(M)  M = Đd(M')

Ví dụ 1: Cho hình thoi ABCD Tìm ảnh của các điểm A, B, C, D qua phép đối xứng trục AC

Giải:

Ví dụ 2: Dựng ảnh của các hình sau đây qua phép đối xứng trục Đd:

II- BIỂU THỨC TỌA ĐỘ

M' M

d

a

d

M

N

d

A

B

C

d

I

Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 11

1) Chọn hệ tọa độ Oxy sao cho trục Ox

trùng với đường thẳng d Với mỗi điểm

M(x; y), gọi M' = Đd(M) = (x'; y') thì:













y y

x x

' '

Biểu thức tọa độ của phép ĐOy

2) Chọn hệ tọa độ Oxy sao cho trục Oy

trùng với đường thẳng d Với mỗi điểm

M(x; y), gọi M' = Đd(M) = (x'; y') thì:













y y

x x

' '

Biểu thức tọa độ của phép ĐOy

 Tìm ảnh của các điểm A(1; 2), B(5; 0) qua phép đối xứng trục Ox và Oy

Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(1; 5), đường thẳng d cĩ phương trình x - 2y + 4 = 0 và đường trịn (C) cĩ phương trình x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0 Tìm ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng trục Ox

Giải:

III- TÍNH CHẤT: Tính chất 1: Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì Tính chất 2: Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính IV- TRỤC ĐỐI XỨNG CỦA MỘT HÌNH: Định nghĩa: Đường thẳng d được gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép đối xứng qua d biến H thành chính nĩ Khi đĩ ta nĩi H là hình cĩ trục đối xứng Ví dụ: Dựng trục đối xứng (nếu cĩ) của các hình sau đây:  Ghi chú:

(x'; y')

(x; y)

M 0

x O

y

d

M' M

M 0

x O

y d

M

D

E F A

E

B

C D

A

A B

C

D

A

D

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 11

BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1 Bài tập cơ bản: Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(1; -2) và B(3; 1) Tìm ảnh của A, B và đường thẳng AB qua phép đối xứng trục Ox

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3x - y + 2 = 0 Viết phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép đối xứng trục Oy

Bài 3: Cho tứ giác ABCD Hai đường thẳng AC và BD cắt nhau tại E Xác định ảnh của tam giác ABE qua phép đối xứng qua đường thẳng CD Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(3; -5), đường thẳng d có phương trình 3x + 2y - 6 = 0 và đường tròn (C) có phương trình x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0 Tìm ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng trục Oy Bài 5: Trong các chữ cái sau đây, chữ nào có trục đối xứng? V I E T N A M W T O 2 Bài tập nâng cao: Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(1; 5), đường thẳng d có phương trình x - 2y + 4 = 0 Tìm ảnh của M qua Đd Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình x - 5y + 7 = 0 và đường thẳng d' có phương trình 5x - y - 13 = 0 Tìm phép đối xứng qua trục biến d thành d' Bài 3: Chứng minh rằng đồ thị hàm số chẵn luôn có trục đối xứng Bài 4: Cho hai đường tròn (C) và (C') có bán kính khác nhau và đường thẳng d Hãy dựng hình vuông ABCD có hai đỉnh A, C lần lượt nằm trên (C) và (C') còn hai đỉnh kia nằm trên d CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 11

§4 PHÉP QUAY I- ĐỊNH NGHĨA:

Cho điểm O và góc lượng giác  Phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành M' sao cho OM' = OM và góc lượng giác (OM; OM') bằng  được gọi là phép quay tâm O góc 

Điểm O được gọi là tâm quay còn được gọi là góc

quay của phép quay đó

Phép quay tâm O góc thường được kí hiệu là Q(O, )

* Nhận xét:

1) Chiều dương của phép quay là chiều dương của

đường tròn lượng giác nghĩa là chiều ngược với chiều quay của

kim đồng hồ

Chiều quay dương Chiều quay âm 2) Với k là số nguyên ta luôn có:

 Phép quay Q(O; 2k) là phép đồng nhất

 Phép quay Q(O; (2k + 1)) là phép đối xứng tâm O

Chứng minh AB = A'B'

II- TÍNH CHẤT:

Tính chất 1: Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

Tính chất 2: Phép quay biến đường thẳng thành

đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng

nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường

tròn thành đường tròn có cùng bán kính

* Nhận xét: Phép quay góc với 0 < < , biến

đường thẳng d thành đường thẳng d' sao cho góc giữa

d và d' bằng (nếu 0 < 

2



), hoặc bằng  - (nếu

2



  

Ví dụ1: Cho tam giác ABC và điểm O nằm khác phía với điểm C so với đường thẳng AB Xác định ảnh của tam giác ABC qua phép quay tâm O góc quay 600

Giải:

α

M'

α

M'

α

M'

M'

R

R

C'

A' B'

I' O

I

B

A

C O

d

d'

α

α

I

H

H' O

A

C

B

O

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 11

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(3; 4) Hãy tìm tọa độ điểm A' là ảnh của A qua phép quay tâm O góc 900

Giải:

 Ghi chuù:

BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1 Bài tập cơ bản: Bài 1: Cho hình vuông ABCD tâm O a) Tìm ảnh của điểm C qua phép quay tâm A góc 900 b) Tìm ảnh của đường thẳng BC qua phép quay tâm O góc 900 Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(2; 0) và đường thẳng d có phương trình x + y - 2 = 0 Tìm ảnh của A và d qua phép quay tâm O góc 900

Bài 3: Cho hình vuông ABCD tâm O M là trung điểm của AB, N là trung điểm của OA Tìm ảnh của tam giác AMN qua phép quay tâm O góc 900 Bài 4: Cho lục giác đều ABCDEF, O là tâm đối xứng của nó, I là trung điểm của AB a) Tìm ảnh của tam giác AIF qua phép quay tâm O góc 1200 b) Tìm ảnh của tam giác AOF qua phép quay tâm E góc 600 2 Bài tập nâng cao: Bài 1: Cho ba điểm thẳng hàng A, B, C, điểm B nằm giữa hai điểm A và C Dựng về một phía của đường thẳng AC các tam giác đều ABE và BCF a) Chứng minh rằng AF = EC và góc giữa hai đường thẳng AF và EC bằng 600 b) Gọi M và N lần lượt là trung điểm AF và EC Chứng minh BMN đều Bài 2: Cho hai đường thẳng a, b và điểm C không nằm trên chúng Hãy tìm trên a và b lần lượt hai điểm A và B sao cho ABC là tam giác đều CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI