Bài tập mũ - logarit hay

Các qui tắc tính logarit 4... Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho: a Cho log 14 a2 =... · Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến của fx và gx để kết luận x 0 là ng

1 Định nghĩa luỹ thừa

a a = - = 1)

,(m Z n N*

(

limr n r nỴQ nỴN*

=

a a>0 a a =lima r n

2 Tính chất của luỹ thừa

· Với mọi a > 0, b > 0 ta có:

a

a a a

a a b

a b a b

a b

a b

a b

a

b

a b

a b

a ab a

a a

a

a a

a

ø

ưçè

Chú ý: + Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0

+ Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương

3 Định nghĩa và tính chất của căn thức

· Căn bậc n của a là số b sao cho b n = a

· Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì n a <n b

Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì n a<n b

Chú ý:

+ Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n Kí hiệu n a

+ Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau

4 Công thức lãi kép

Gọi A là số tiền gửi, r là lãi suất mỗi kì, N là số kì

Số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) là: C A= (1 )+r N

CHƯƠNG II HÀM SỐ LUỸ THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT

I LUỸ THỪA

Bài 1 Thực hiện các phép tính sau::

2

a b c b c a

a b c bc

a b c

-

-

4 và 0,125 g) ( ) 3 ( ) 5

1 Định nghĩa

· Với a > 0, a ¹ 1, b > 0 ta có: log a b= Ûa a a =b

Chú ý: log a b có nghĩa khi ì >í >ỵa b 0,0 a¹1

· Logarit thập phân: lgb=logb=log10b

· Logarit tự nhiên (logarit Nepe): lnb=loge b (với lim 1 1 2,718281

· log 1 0a = ; loga a = ; 1 loga a b = ; b aloga b =b b( > 0)

· Cho a > 0, a ¹ 1, b, c > 0 Khi đó:

+ Nếu a > 1 thì log a b>loga cÛ > b c

+ Nếu 0 < a < 1 thì log a b>loga cÛ < b c

3 Các qui tắc tính logarit

4 Đổi cơ số

Với a, b, c > 0 và a, b ¹ 1, ta có:

Bài 2 Cho a > 0, a ¹ 1 Chứng minh: log (a a+ >1) log (a+1 a+ 2)

Bài 3 So sánh các cặp số sau:

a) log 4 và log3 41

1 log

2 và 3g) log 107 vàlog 1311 h) log 32 vàlog 43 i) log 109 vàlog 1110

Bài 4 Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho:

a) Cho log 14 a2 = Tính log 32 theo a 49

b) Cho log 3 a15 = Tính log 15 theo a 25

c) Cho lg3 0,477= Tính lg 9000 ; lg 0,000027 ;

81

1log 100 d) Cho log 2 a7 = Tính 1

2

log 28 theo a

Bài 5 Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho:

a) Cho log 7 a25 = ; log 5 b2 = Tính 3 5

49log

8 theo a, b

b) Cho log 3 a30 = ; log 5 b30 = Tính log 1350 theo a, b 30

c) Cho log 7 a14 = ; log 5 b14 = Tính log 28 theo a, b 35

d) Cho log 3 a2 = ; log 5 b3 = ; log 2 c7 = Tính log14063 theo a, b, c

Bài 6 Chứng minh các đẳng thức sau (với giả thiết các biểu thức đã cho có nghĩa):

a) bloga c =cloga b b) log ( ) log log

1 loga a

ax

a

b x bx

f) logb c+ a+logc b- a=2 logc b+ a.logc b- a, với a2+b2 =c2

log N +log N + +log N = log N

loga b logb c loga c

Chú ý: Hàm số

1

n

y x= không đồng nhất với hàm số y=n x n N( Ỵ *)

b) Hàm số mũ y a= x (a > 0, a ¹ 1)

· Tập xác định: D = R

· Tập giá trị: T = (0; +¥)

· Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến

· Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang

· Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến

· Nhận trục tung làm tiệm cận đứng

2 Giới hạn đặc biệt

·

1 0

1

x x

với x nếu n chẵn

x với x nếu n lẻ

Bài 1 Tính các giới hạn sau:

a) lim

1

x x

x x

x x

2

x x

x x

lim

x x

x x

x x

x x

3

x x

e x

e e x

®

- k)

x x y

x

+

-=

+d) y=3sin(2x+ 1) e) y=cot 13 +x2 f) 1 332

x y

x

-=+

x x y

Bài 4 Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y=ln 2( x2+ + x 3) b) y=log cos2( x) c) y e= x.ln cos( x) d) y=(2x-1 ln 3) ( x2+x) e) ( 3 )

1 2

x

+

=+ i) y=ln(x+ 1+x2)

Bài 5 Chứng minh hàm số đã cho thoả mãn hệ thức được chỉ ra:

x

y x e= - xy¢ = -x y b) y=(x+1)e x; y y e¢ - = x

c) y e= 4x +2e-x; y¢¢¢-13y¢ -12y= 0 d) y a e= -x +b e -2x; y¢¢+ ¢ +3y 2y= 0g) y e= -x.sin ;x y¢¢+2y¢+2y= 0 h) y e= -x.cos ;x y( )4 +4y= 0

i) y e= sinx; y¢cosx y- sinx y- ¢¢ = 0 k) y e= 2x.sin 5 ;x y¢¢ - ¢ +4y 29y= 0

1 Phương trình mũ cơ bản

Với a > 0, a ¹ 1: x 0log

a

b

a = Û í =b ì >ỵx b

2 Một số phương pháp giải phương trình mũ

a) Đưa về cùng cơ số

· Đoán nhận x 0 là một nghiệm của (1)

· Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến của f(x) và g(x) để kết luận x 0 là nghiệm duy nhất:

éêf x f x( ) đồng biến và ( ) nghịch biến (hoặc đồng biến nhưng nghiêm ngặt) ( ) đơn điệu và ( ) hằng sốg x g x c

=ë

· Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) thì ( ) f u = f v( )Û =u v

e) Đưa về phương trình các phương trình đặc biệt

· Phương trình tích A.B = 0 Û é =ê =ëB A 00 · Phương trình A2+B2= Û í =0 ì =ỵA B 00

f) Phương pháp đối lập

-

g) (7 4 3+ ) (x+ +2 3)x =6 h)4cos2x+4cos2x = 3 i) 32 5x+ -36.3x+1+ = 9 0 k) 32x2+ +2 1x -28.3x x2+ + = l)9 0 4x2+2-9.2x2+2+ = 8 0 m) 3.52 1x- -2.5x-1=0,2

Bài 3 Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 1):

a) 25x -2(3-x).5x+2x- = 7 0 b) 3.25x-2+(3x-10).5x-2+ - = 3 x 0 c) 3.4x+(3x-10).2x+ - = 3 x 0 d) 9x+2(x-2).3x+2x- = 5 0

e) 3.25x- 2 +(3x-10).5x- 2+ - = 3 x 0 f) 4x2+3 x +31+ x =2.3 x x2+2x+ 6 g) 4 + – 8 2 +12 – 2x (x ) x x = 0 h) (x+4 9) x-(x+5 3) x+ = 1 0

1 1

1

=+

i) 4sinx -21 sin+ xcos( ) 2xy + y = 0 k) 22(x x2+ )+21-x2 -22(x x2+ ) 1.2-x2 - = 1 0

Bài 8 Giải các phương trình sau (phương pháp đối lập):

a) 2x = cos ,x4 với x ³ 0 b) 3x2- +6 10x = -x2+6x- c) 6 3sin x = cosx

Bài 12 Tìm m để các phương trình sau:

a) 16m x+2.81x =5.36x có 2 nghiệm dương phân biệt

b) 16x-m.8x+(2m-1).4x =m.2x có 3 nghiệm phân biệt

c) 4x2-2x2+2+ =6 m có 3 nghiệm phân biệt

d) 9x2 -4.3x2 + =8 m có 3 nghiệm phân biệt

1 Phương trình logarit cơ bản

Với a > 0, a ¹ 1: loga x b= Û =x a b

2 Một số phương pháp giải phương trình logarit

a) Đưa về cùng cơ số

Với a > 0, a ¹ 1: loga f x( ) log ( )= a g x Û íìf x f x( )( ) 0 (=>g x( )hoặc g x( ) 0)>

ỵ

b) Mũ hoá

Với a > 0, a ¹ 1: log ( ) log ( )a f x b

c) Đặt ẩn phụ

d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

e) Đưa về phương trình đặc biệt

f) Phương pháp đối lập

Chú ý:

· Khi giải phương trình logarit cần chú ý điều kiện để biểu thức có nghĩa

· Với a, b, c > 0 và a, b, c ¹ 1: alogb c =clogb a

Bài 1 Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá):

a) log2éëx x( -1)ùû=1 b) log2x+log (2 x- = 1) 1

c) log (2 x- -2) 6.log1/8 3x- = 5 2 d) log (2 x- +3) log (2 x- = 1) 3

e) log (4 x+ -3) log (4 x- = -1) 2 log 84 f) lg(x- +2) lg(x- = -3) 1 lg 5 g) 2 log (8 2) log (8 3) 2

3

x- - x- = h) lg 5x- +4 lg x+ = +1 2 lg 0,18 i) log (3 x2- =6) log (3 x- + 2) 1 k) log (2 x+ +3) log (2 x- =1) 1/ log 25

l) log4x+log (104 -x) 2= m) log (5 x- -1) log (1/5 x+2) 0=

n) log (2 x- +1) log (2 x+ =3) log 10 12 - o) log (9 x+ -8) log (3 x+26) 2 0+ =

Bài 2 Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá):

a) log3x+log 3x+log1/3x= 6 b) 1 lg(+ x2-2x+ -1) lg(x2+ =1) 2 lg(1-x)

c) log4x+log1/16x+log8x= 5 d) 2 lg(4+ x2-4x+ -1) lg(x2+19) 2 lg(1 2 )= - x

e) log2x+log4x+log8x= 11 f) log (1/2 x- +1) log (1/2 x+ = +1) 1 log1/ 2(7- x)

g) log log2 2x=log log3 3x h) log log2 3x=log log3 2x

i) log log2 3x+log log3 2x=log log3 3x k) log log log2 3 4x=log log log4 3 2x

Bài 3 Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá):

g) log (12 2 ) 52 - x = - x h) log (26 3 ) 25 - x = i) log (52 x+ 1-25 ) 2x = k) log (3.24 x+ 1- = 5) x

g) log (2x x2-5x+6) 2= h) logx+3(x2-x) 1=

i) log (2x x2-7x+12) 2= k) log (2x x2-3x-4) 2= l) log (2x x2-5x+6) 2= m) log (x x - = 2 2) 1

n) log3 5x + (9x2+8x+2) 2= o) log2 4x + (x2+ = 1) 1

p) log 15 2

1 2

x - x = - q) log (3 2 ) 1x2 - x = r) logx2+ 3x(x+ = 3) 1 s) log (2x x2-5x+4) 2=

Bài 5 Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ):

a) log23x+ log23x+ - = 1 5 0 b) log22 x+3log2x+log1/2x= 2 c) log 2 log4 7 0

5

x

x - = k) 3 log2x-log 42 x= 0 l) 3 log3x-log 33 x- = 1 0 m) 3 3

p) log (222 - -x) 8log (21/4 -x) 5= q) log25x+4 log 525 x- = 5 0

r) log 5 log 5 9 log2 5

Bài 6 Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ):

3 3

log x+ -(x 12) log x+ - = 11 x 0 b) 6.9log2x+6.x2=13.xlog 62

e) 2

(x+2) log (x+ +1) 4(x+1) log (x+ -1) 16 0= f) log (2x2 + +x) log 2-x x= 2 g) log (23 x+ + -1) (x 5)log (3 x+ -1) 2x+ = h) 6 0 4 log3x- -1 log3 x = 4

i) log (2 x2+3x+ +2) log (2 x2+7x+12) 3 log 3= + 2

Bài 7 Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ):

a) log7x=log (3 x+ 2) b) log (2 x- +3) log (3 x- =2) 2

c) log3(x+ +1 log 2) 5( x+ = 1) 2 d) ( log 6 )

log x+3 x =log x

e) 4log 7( )x+3 =x f)log 12( + x)=log3x

g) xlog 9 2 =x2.3log 2x-xlog 3 2

h) log3 7x+ (9 12+ x+4 ) logx2 + 2 3x+ (6x2+23x+21) 4=

log x- x -1 log x+ x - =1 log x- x - 1

Bài 8 Giải các phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu):

a)x x+ log 3 2 =xlog 5 2 (x> 0) b) x +2 3log 2x =5log 2x

c) log (5 x+ = - 3) 3 x d) log (32 -x)= x

e) log (2 x2- - + =x 6) x log (2 x+ + 2) 4 f) x +2.3log 2x =3

g) 4(x-2) log (éë 2 x- +3) log (3 x-2)ùû=15(x+1)

Bài 9 Giải các phương trình sau (đưa về phương trình tích):

a) log2x+2.log7x= +2 log log2x 7x b) log log2x 3x+ =3 3.log3x+log2x

2 log x =log logx 2x+ - 1 1

Bài 10 Giải các phương trình sau (phương pháp đối lập):

Bài 11 Tìm m để các phương trình sau có nghiệm duy nhất:

a) log2+ 3éëx2-2(m+1)xùû+log2 3- (2x m+ - =2) 0 b) log 2(x-2)=log2( )mx

f) log2 2+ 7(x m- + +1) log2 2- 7(mx x- 2) 0=

Bài 12 Tìm m để các phương trình sau:

a) log 42( x-m)= +x 1 có 2 nghiệm phân biệt

Khi giải hệ phương trình mũ và logarit, ta cũng dùng các phương pháp giải hệ phương trình đã học như:

· Phương pháp thế

· Phương pháp cộng đại số

· Phương pháp đặt ẩn phụ

=ïỵ

x x

-

í

=ïỵ

1

32

2

y

x

y x

2 2

-

-ï í

-ïỵ

x y

y x

VI HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

Bài 4 Giải các hệ phương trình sau:

a)

6logx y x log y 3

ìï - =

ïỵ e) log 32 4

8

5)log(log

ïỵ i)

í

=ỵ

Bài 5 Giải các hệ phương trình sau:

ỵ

í

ì

=-

=+

1loglog

27

2

3 3

log

x y

xy x y

è øỵ

ỵ n) log2( ) 5 log2( )

lg lg3

x y x y x

÷ø

öçè

æ

=

-

-4)(log)(

log

3

13

2 2

2

y x y

x

y x y

ïî

· Khi giải các bất phương trình mũ ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số mũ

1( ) ( )

– Đặt ẩn phụ

Bài 3 Giải các bất phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu):

a) 2 32 1

x

12

12

21

£-

+-

-x

x x

- +

x x

x x

· Khi giải các bất phương trình logarit ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số logarit

1( ) ( ) 0log ( ) log ( )

– Đưa về cùng cơ số

– Đặt ẩn phụ

Bài 1 Giải các bất phương trình sau (đưa về cùng cơ số):

a) log5(1-2x)<1+log 5(x+1) b) log 1 2 log2( - 9x)< 1

e) log 2.log 2.log 4x 2x 2 x > 1 f) 21 1 2

2log

4

1

2 2

£-

+

>

2 16

1log 2.log 2

-Bài 4 Giải các bất phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu):

a) ( x 1)log+ 20,5x+(2x+5) log0,5x+ ³ 6 0 b) log2(2x +1)+log3(4x +2)£2

2x 3 1

x x x

+

>

+

e) log2x m+ >log2x f) logx m- (x2- >1) logx m- (x2+ - x 2)

Bài 6 Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với:

Bài 8 Tìm m để mọi nghiệm của (1) đều là nghiệm của bất phương trình (2):

+

ïí

logx y (4 ) 0

y x

+

ï

Bài 1 Giải các phương trình sau:

1 3 3

64x -2 +x +12 0= e) 9x2-1-36.3x2-3+ = 3 0 f) 34 8x+ -4.32 5x+ +28 2 log= 2 2

g) 32 1x+ =3x+2+ 1 6.3- x+32( 1)x+ h) ( 5+ 24) (x + 5- 24)x =10 i) 91 log+ 3x -31 log+ 3x-210 0= k) 4lg 1x+ -6lgx-2.3lgx2+2= 0

l) 2sin2x +4.2cos2x = 6 m) 3lg(tan )x -2.3lg(cot ) 1x + = 1

Bài 3 Giải các bất phương trình sau:

+

<

+ c) x2.5x -52+x < 0 d) xlg2x-3lg 1x+ >1000

> + ç ÷è ø-

g) 2x+2-2x+3-2x+4 >5x+1-5x+2 h)

2 2

x x

Bài 4 Giải các bất phương trình sau:

2( 2) 2( 1) 3

Bài 5 Giải các phương trình sau:

2 logx 5 -3logx 5 1 0+ = b) log1/3x-3 log1/3x+ = 2 0

c) log22x+2 log2 x- = 2 0 d) 3 2 log+ x+13 2 log (= 3 x+ 1)

- >

c) log3x -log3x- < 3 0 d) log1/32 3x 1

-x

- ³ - e) log (21/4 ) log1/4 2

x x

+

>

i) log log (3xéë 9 x -9)ùû<1 k) log2 3x+ x2 < 1

l) 2log 2-x(x2+ + 8 15)x < 1 m) 1/3 2

5 log

3

x x

+ + >

Bài 8 Giải các hệ phương trình sau:

2 2

lg 220

y

x xy

ì

- =ï

32

x y

y x

y x

í

=ïỵ