Tài liệu là kho tàng phong phú đặc biệt tại địa chỉ 123.doc các bạn có thể tự chọn cho mình sao cho phù hợp với nhu cầu phục vụ . Trong những năm tháng học tập ở hà nội may mắn được các anh chị đã từng đi làm chia sẻ một một chút tài liệu tôi xin đươc chia sẻ với các bạn . trong quá trình upload vẫn còn chưa chỉnh sửa hết nhưng khi các bạn tải về vẫn có thể chỉnh sửa lại theo ý muốn của mình tùy theo mục đích và yêu cầu sử dụng. Xin được chia sẻ lên trang 123.doc và các bạn thường xuyên chọn 123.doc là địa chỉ tin cậy trong việc tải cũng như sử dụng tài liệu tại đây.
Trang 1CHUYÊN ĐỀ CÁC BÀI TOÁN VỀ XÁC ĐỊNH ĐA THỨC
Trong các đề thi học sinh giỏi, đề thi vào các iớp chuyên toán,có bài toánxác định đa thức hoặc tính các giá trị của đa thức.Việc tìm tòi lời giải bài toánxác định đa thức tường gây lung túng cho sinh.Nguyên nhân chính là học sinhđược trang bị đầy đủ các kiến cần thiết nhưng rời rạc ở các khối lớp và thườngthiếu bài tập áp dụng Qua đây nhằm củng cố kiến thức về đa thức tongchương trình toán từ lớp 7 đến lớp 9 rèn kỹ năng giải một số dạng toán trên từđơn giản đến phức tạp mà kiến thức của nó không vượt quá trình độ THCS
A/ MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN ĐỂ GIẢI LOẠI TOÁN NÀY
Trang 2Vì x1−x2≠0
nên( 2+ + 2)+ ( − )+ = ( )
c2+c x3( 1+x2+x4) =0
(8)Trừ theo từng vế của (7) và (8) được:
c x3( 3−x4)= ⇒0 c0=0
vì x3≠x4
x3 – x4 ≠ 0Thay c3 = 0 vào (8) được c2 = 0 Từ đó và (6) được c1 = 0
Thay vào (1) được a0 = b0 suy ra đpcm
II- MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Xác định đa thức bậc n (n = 2,3, ) khi biết ( n + 1) có giá trị của đa
Trang 3f(0) = 1 ⇒
d = 1 f(1) = 0 ⇒
a + b + c = -1 (1) f(2) = 5 ⇒
4a + 2b + c = 2 (2) f(3) = 22 ⇒
=++
=++
73
9
22
4
1
c b a
c b a
c b a
Giải ra ta được: a = 1; b = 0; c = -2
Vậy đa thức cần tìm là: f(x) = x3 - 2x + 1
Ví dụ 3 Cho hàm số: y= f x( ) =ax2+ +bx c
cho biết f(0)=2010, f(1)=2011, 1)=2012,
* Chú ý: Để xác định được đa thức bậc n thì cần biết n + 1 giá trị của đa
thức, còn nếu chỉ biết n giá trị thì đa thức tìm được có hệ số phụ thuộc một tham số
* Bài tập áp dụng:
Câu 1 Tìm đa thức bậc 2 biết: f(0) = 4; f(1) = 0; f(-1) = 6
Câu 2 Tìm đa thức bậc 4 biết: f(0) = - 1; f(1) = 2; f(2) = 31;
f(2) = 47
Câu 3: Cho đa thức: f x( ) =a x 2+bx c+
, Xác dịnh a, b, c biết: f( )− =2 0, 2( ) =0
và a là số lớn hơn c ba đơn vị
Trang 4Câu 5: Xác định đa thức: P x( ) =a x 3+bx2+cx d+
, biết:
( )0 2017, 1( ) 2, ( )1 6, ( )2 6033
Dạng 2: Xác định đa thức dư khi biết một số phép tính khác
Ví dụ 3 Đa thức f(x) nếu chia cho x –1 được số dư bằng 4, nếu chia cho x-3 được số dư bằng 14
Tìm đa thức dư của phép chia f(x) cho (x – 1)(x –3)
Lời giải Cách 1: Gọi thương của phép chia f(x) cho x – 1 và cho x – 3 theo theo thứ tự
Ta có: f(x) = (x – 1)(x – 3).C(x) +ax + b với mọi x (3)
Thay x =1 vào (1) và (3) ta được : f(1) = a + b
Thay x =3 vào (2) và (3) ta được : f(3) =14; f(3) = 3a + b
=+
⇒
1
514
3
4
b
a b
a
b a
Vậy đa thức dư của phép chia f(x) cho (x – 1)(x – 3) là 5x – 1
Trang 5⇒
f(x) = (x – 1)(x – 3)
152
)()(x −B x + x−
A
Ta thấy 5x – 1 có bậc bé hơn bậc số chia vậy số dư cần tìm là 5x – 1
Ví dụ 4 Đa thức f(x) khi chia cho x + 1 dư 4 khi chia x2 + 1 dư 2x + 3 Tìm đathức dư khi chia f(x) cho (x + 1).(x2 + 1)
Lời giải
Theo định lý Bơ du ta có f(-1) = 4 (1)
Do bậc của đa thức chia(x + 1)(x2 +1) là 3
Nên đa thức dư có dạng ax2 + bx + c
⇒
f(x) = (x + 1)(x2 + 1) q(x) +ax2 + bx +c = [(x +1) q(x) + a](x2 +1) + bx + c – a (2)
mà f(x) chia cho x2 + 1 dư 2x + 3 (3)
Tách đa thức bị chia thành những đa thức chia hết cho đa thức chia
Ta thấy xn – 1 chia hết cho x – 1 với mọi số tự nhiên n nên x2n – 1 chia hết cho x2
Trang 6* Bài tập áp dụng:
Câu 1 Tìm đa thức P(x) biết rằng P(x) chia cho (x + 3) dư 1, chia cho (x – 3) dư
8 Chia cho (x + 3)(x – 3) thì được thương 3x và còn dư
Câu 2 Tìm đa thức dư của phép chia: x99 + x55 + x11 + x +7 cho x2 + 1
Dạng 3: Xác định đa thức khi biết điều kiện của các hệ số
Ví dụ 6 Tìm các đa thức f(x) có tất cả các hệ số là số nguyênkhông âm nhỏ hơn 8 và thoả mãn: f(8) = 2003
Lời giải
Xét đa thức
f(x) = anxn + an –1xn-1 + + a1x + a0 với a0, a1 an-1, an đều là các sốnguyên không âm và nhỏ hơn 8
Do f(8) = 2003 nên an.8n + an-1.8n-1 + +a1.8 + a0 = 2003
Ở đây a0, a1, , an-1, an là các chữ số của 2003 được viết trong hệ ghi số
cơ số 8 Thực hiện việc chia 2003 cho 8 được dư a0 = 3 lại lấy thương chia cho
8, liên tiếp như vậy ta được đa thức cần tìm là: f(x) = 3x3 + 7x2 + 2x + 3
* Bài tập áp dụng:
Câu 1 Tìm đa thức f(x) các hệ số đều là số nguyên không âm nhỏ hơn 5 và
f(5) = 352
Dạng 4: Xác định đa thức f(x) thoả mãn 1 hệ thức đối với f(x)
Ví dụ 7 Tìm đa thức P(x) bậc 4 thỏa mãi các điều kiện sau:
Với x = 1 thì P(1) = P(0) + 6 = 6 Suy ra: a + b = 6 (1)
Với x = 2 thì P(2) = P(1) + 30 = 36 Suy ra:
32a b
Trang 7lý Bơ du; hệ số bất định khi xác định đa thức bậc n mà đã biết n + 1 giá trị của
nó Song có nhiều bài toán không thể tìm được đa thức bằng cách trực tiếp màphải dùng phương pháp dùng đa thức phụ để xác định đa thức hoặc tính giá trịriêng của đa thức
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 8 Cho đa thức f(x) bậc 4 với hệ số bậc cao nhất là 1 và thoả mãn f(1) =
10, f(2) = 20, f(3) = 30. Tính:
f(12) + f(-8) +15 10
Phân tích bài toán:
- Đa thức bậc 4 mà mới biết ba giá trị của đa thức nên phải dùng đa thức phụg(x) = f(x) + h(x)
- Bậc của f(x) là 4 nên bậc của g(x) là 4 và bậc của h(x) nhỏ hơn số giá trị củaf(x)
Thuật toán tìm đa thức phụ.
Trang 8Do bậc f(x) là bậc 4 nên bậc của g(x) là 4 và g(x) chia hết cho x – 1; x – 2; x – 3suy ra:
Ví dụ 9 Cho đa thức f(x) bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1 và thoả mãn: f(1) =3; f(3) = 11; f(5) = 27 Tính giá trị của f(-2) + 7.f(6)
Phân tích bài toán:
- Đa thức bậc 4 mà mới biết ba giá trị của đa thức nên phải dùng đa thức phụg(x) = f(x) + h(x)
- Bậc của f(x) là 4 nên bậc của g(x) là 4 và bậc của h(x) nhỏ hơn số giá trị củaf(x)
Trang 9Chứng minh rằng f(2001) – f(1998) là hợp số.
Phân tích bài toán:
- Đa thức bậc 3 mà mới biết hai giá trị của đa thức nên phải dùng đa thức phụg(x) = f(x) + h(x)
- Bậc của f(x) là 3 nên bậc của g(x) là 3 và bậc của h(x) nhỏ hơn số giá trị củaf(x)
Vì 3(2k + 1) là hợp số Vậy f(2001) – f(1998) là hợp số
Ví dụ 11 Tìm đa thức bậc 3 biết rằng khi cho f(x) chia cho x – 1, x – 2, x – 3đều dư 6 và
f(-1) = -18
Phân tích bài toán:
- Đa thức cho f(x) chia cho x – 1, x – 2, x –3 đều dư 6, theo định lý Bơ du ta cóf(1) = f(2) = f(3) = 6 Tìm đa thức phụ g(x) = f(x) + h(x) với h(x) có bậc là 2
- Bậc của f(x) là 3, có ba giá trị của đa thức nên hệ số của f(x) phụ thuộc vào
Trang 10+++
=
+
=
224
c b a
25x2 + x+
* Bài tập áp dụng:
Trang 11Câu 1: Đa thức f(x) khi chia cho x + 1 dư 4 khi chia cho x2 + 1 dư 2x + 3 Tìm
số dư khi chia f(x) cho (x + 1)(x2 + 1)
Câu 2: Xác định a, b để đa thức: ax3 + 12x2 + bx + 1 là lũy thừa bậc 3 của một
đa thức khác
Câu 3: Tìm các số a, b, c để x3 –ax2 + bx – c = (x – a)(x – b)(x – c)
Câu 4: Tìm đa thức dư của phép chia x30 + x4 + x2015 + 1cho x21
Câu 5: Tìm giá trị của a để đa thức f(x) = x4 + 5x3 – 2x2 + ax + 40 chia hết cho
đa thức x2 – 3x + 2 khi đó giá trị nhỏ nhất của thương là bao nhiêu?
Câu 6: Tìm đa thừc(x) bậc 2 biết f(0) = 19, f(1) = 5; f(2) =1995
Câu 7: Tìm đa thừc(x) bậc 3 bi ết f(0) =2; f(1)=9; f(2) =19; f(3) =95
III- CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC TRONG CÁC ĐỀ THI
Câu 1 Cho đa thức P x( ) ax= 2 +bx c+ (a∈ Ν*) thỏa mãn P( )9 −P( )6 = 2019
Chứng minh P( )10 −P( )7 là một số lẻ
(Trích đề chuyên Phan Bộ Châu năm 2019-2020)
Câu 2 Xác định các hệ số a và b để đa thức P x( ) =x4−2x3+3x2+ax b+
là bình phương của một đa thức
(Trích đề thi HSG lớp 9 tỉnh Quảng Bình năm 2018-2019)
Câu 3 Cho các đa thức P x( )
là các số nguyên không âm và P 0( ) =0
(Trích đề thi HSG lớp 9 tỉnh Nam Định năm 2018-2019)
Câu 4 Cho các đa thức P x( ) =x3+ax2+bx c; Q x+ ( ) =x2+2016x 2017+
thỏa mãncác điều kiện P x( ) =0 có ba nghiệm thực phân biệt và P Q x( ( ) ) =0
vô nghiệm Chứng minh rằng P 2017( ) >1008 6 (đề 22)
(Trích đề thi HSG lớp 9 tỉnh Bắc Ninh năm 2018-2019)
Câu 5 Cho đa thức
2
P x =ax + +bx c
Biết P x( ) chia cho x + 1 dư 3,P x( )chia cho
x dư 1 vàP x( )chia cho x – 1 dư 5 Tìm các hệ số a, b, c
(Trích đề vào 10 Chuyên Nam Định năm 2015-2016)
Câu 6 Tìm các số thực a, b, sao cho đa thức 4x4−11x3−2ax2+ 5bx – 6 chia hết
cho đa thức x2 – 2x – 3
(Thi học sinh giỏi lớp 9, TP Hà Nội, năm học 2012 – 2013)
Câu 7 Tìm đa thức f(x) biết: f(x) chia cho x+3 dư 1; f(x) chia cho x – 4 dư 8;
Trang 12f(x) chia cho (x + 3)(x – 4) thì được 3x và còn dư.
Câu 8 Tìm một đa thức bậc ba, biết P(x) chia cho (x - 1), (x - 2), (x - 3) đều được dư 6 và
P(- 1) = - 18
Câu 9 Chứng minh rằng đa thức ( ) ( )200 ( )100
f x = x 3− + x 2− −1chia hết cho đa thức g x( ) = x2−5x 6+
Câu 10 Cho đa thức
2
P(x) ax= +bx c+
Biết P x( )
chia cho x + 1 dưa 3, P x( )
chia cho x dư 1 và P x( )
chia cho x – 1 dư 5 Tìm các hệ số a, b, c
Câu 11 Cho đa thức f(x) x= 2− +(a 3 x a) +
Câu 13 Cho đa thức bậc 3 dạng: f x =x( ) 3+ax2+bx c+
chia hết cho (x – 2) và khichia cho (x2 – 1) dư 2x
Câu 14 Cho đa thức f(x) có bậc 2002 thỏa mãn điều kiện:
Câu 15 Cho đa thức: P x( ) =x4+ax3+bx2+cx d+
Trang 13Câu 20 Cho đa thức P x( ) =ax2+bx c+
thỏa mãn điều kiện với số nguyên x bất
kì thì P(x) là số chính phương Chứng minh rằng a, b, c là số nguyên và b
Trang 14Câu 25 Cho hàm số
( ) 100100x x10
f x =
+, CMR : nếu a,b là hai số thỏa mãn : a + b
= 1 thì f a( ) + f b( ) =1
Câu 26 Cho f x( ) =a x 2+ +bx c
có tính chất f(1),f(4),f(9) là các số hữu tỉ, CMR khi đó a,b,c là các số hữu tỉ
Câu 27 Tính tổng các hệ số của đa thức sau khi bỏ dấu ngoặc :
Trừ vế theo vế (2) cho (1) ta có: 6a t= −2019, mà 6a chẵn, 2019 lẻ nên t lẻ,
ta có điều phải chứng minh
Trang 15Tương tự, P(x) chia cho x dư 1 nên P(0) = 1 (2)
P(x) chia cho x – 1 dư 5 nên P(1) = 5 (3)
Từ (1), (2), (3) ta có hệ phương trình:
Trang 16Từ (1) và (2) suy ra : 8a 16= ⇒ =a 2
Thay vào (2) ⇒ 5.b 4 9+ = ⇒ =b 1.
Câu 7 Theo định lý Bézout ta có f(3) 1;f(4) 8= =
Đặt dư f(x) chia cho (x 3 x 4+ ) ( − )là ax + b
Trang 17Cho x = 1 ta được P(1) = d, suy ra d = 6
Nên f(x) chia hết cho (x – 2)(x – 3) = x2 – 5x + 6
Câu 10 Vì P(x) chia cho x + 1 dư 3 nên P(x) – 3 chia hết cho x + 1
⇒ P(x) – 3 = f(x).(x + 1)
Thay x = –1 vào đẳng thức trên ta có:
P(–1) – 3 = f(–1).( –1 + 1) = 0 ⇒ P(–1) = 3 (1)
Tương tự, P(x) chia cho x dư 1 nên P(0) = 1 (2)
P(x) chia cho x – 1 dư 5 nên P(1) = 5 (3)
Từ (1), (2), (3) ta có hệ phương trình:
2 2 2
a.( 1) b.( 1) c 3 a b c 3 a 3
a b c 5 c 1a.1 b.1 c 5
Trang 18Mặt khác: f(x) chia cho (x2 – 1) dư 2x nên g(x) = f(x) – 2x nhận (x2 – 1)
là nghiệm hay x = 1 và x = -1 là nghiệm của g(x) Do đó:
( ) 1
n
− =
với x = 1; 2; 3; ;2001 Suy ra: x = 1; 2;
3; ;2001 là nghiệm của phương trình:
Trang 19a.1 b.1 c 3 a 1a.3 b.3 c 11 b 0a.5 b.5 c 27 c 2
Lời giải.
Trang 20Đặt u= 2+ 7
ta cần xác định các đa thức h(x) và g(x) sao cho
( ) ( )
1 xx
1 xx
Trang 21b) Để Q x P x( ) ( )M
thì
15x 1 0 x
5+ = ⇔ = −