Phương trình Logarit có giải chi tiết

GIẢI PT MŨ BẰNG PP LOGARIT HÓA VÀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ Logarit hóa: Bài 1... Giải phương trình : log5x.log3xlog5 xlog3x Lời giải:... Phương trình đã cho tương đương với... Đặt tlog 2

GIẢI PT MŨ BẰNG PP LOGARIT HÓA VÀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ

Logarit hóa:

Bài 1 Giải phương trình: 2

2 3 2

x

x x



Lời giải:

2

2

3

2

3

3( 2)

2

2 3log 2 0 (VN)











x x

x x x

x

x

Bài 2 Giải phương trình: 2x24.5x2 1

Lời giải:

2

2

2

2

2

4 ( 2) log 5 0



x x

x x

Bài 3 Giải phương trình: 2 2 2 3

2

x  x 

Lời giải:

2

2

2

1 log 3

x

  

Bài 4 Giải phương trình:

2 1

4x3x 3x 2 x

Lời giải:

1 1

2 1

1 2

3

2



x x

x x

x x

x

Bài 5 Giải phương trình: log 0,5 (sin2 5sin cos 2) 1

4

9

x x x 

Lời giải:

2

0,5

log (sin 5sin cos 2)

2

1 4

9 log (sin 5sin cos 2) log 3

2

1 arctan 5







  





x x x

Tính đơn điệu:

Bài 1 Giải phương trình: 2x 10 3 x

Lời giải:

Ta có: 2x 10 3 x2x3x10 (*)

Vì hàm số y2x3x là hàm đồng biến trên R nên (*) có nghiệm duy nhất là x = 2

Lời giải:

3 3

x

  đồng biến trên R, còn hàm

5 2 6

3 3

x

nghịch biến trên R Do đó:

3 3

x

3 3

x

Bài 3 Giải phương trình: 9x2x2 3 x2x 5 0

Lời giải:

9x2 x2 3x2x  5 0 3x1 3x2x   5 0 3x 2x   5 0 x 1

(Vì hàm số y3x2x5 là hàm đồng biến trên R nên phương trình trên có nghiệm duy nhất là x = 1.)

Bài 4 Giải phương trình: 4x7x 9x2

Lời giải:

( ) 4x 7x 9 2 '( ) 4 ln 4 7 ln 7 9x x ''( ) 4 ln 4 7 ln 7x x 0

đồng biến, do đó phương trình f’(x) = 0 nếu có nghiệm sẽ có nghiệm duy nhất x = a

Do f’(0)<0; f’(1)>0 nên f’(x) = 0 có nghiệm duy nhất x = a thuộc [0;1] và f”(x) đối dấu từ âm sang dương khi qua giá trị a Từ đó suy ra đường thẳng y = 0 cắt đường cong y = f(x) tại nhiều nhất 2 điểm, mà dễ thấy 2 đường này cắt nhau tại (0; 0) và (1; 0) do đó phương trình đã cho có 2 nghiệm x 0;1

Bài 5. Giải phương trình: 2008sin2x2008cos2xcos 2x

Lời giải:

2008 x2008 x cos xsin x2008 xsin x2008 xcos x

Xét   2008u

f u  u Ta có   2008 lnu 1 0

f u  u  Suy ra f u  đồng biến Khi đó phương trình

k

CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN GIẢI PT LOGARIT (PHẦN 1)

log x x 4 log x x  3 0

Lời giải:

2

2

x

x x

 



  



Bài 2 2(log9x)2 log3x.log ( 23 x 1 1)

Lời giải:

ĐK: x > 0

2

3

2

4

x

Bài 3 log2 xlog3xlog5xlog2x.log3x.log5x

Lời giải:

ĐK: x > 0

2

5 2

log 5 log 5 1 2

log 3 3

2

log 5.log log 5.log log log 3.log log log

log

3 log 3

x

x









Bài 4 log23 x log3x 3 1

x

Lời giải:

Điều kiện:

0 1 3

x x









3

3

log 3 log 3

1

1 log

x

x

x

Đặt tlog3x(*): 2

1

1

1

x t

t

t

 











Bài 5 log3xlog4xlog5x

Lời giải:

ĐK: x > 0

3

log log 3.log log 3log

log (1 log 3 log 3) 0

x

Bài 6 Giải phương trình : log5x.log3xlog5 xlog3x

Lời giải:

Điều kiện : x>0

5

5

3

5

log

log 3 1

log 5

( )

x

tm





Bài 7 Giải phương trình: log (252 x3  1) 2 log (52 x31)

Lời giải:

Điều kiện:

3 3

x





     



 



PTlog (25x  1) log 4 log (5 x 1)

3

3

log (25 1) log 4 5 1

x









2

1 log ( 1) log ( 4) log (3 )

Lời giải:

Điều kiện:

1

x

x

  







Phương trình tương đương:

2

2

2 2

12 0

11

x

x x

x

     

  









Bài 9 Giải phương trình:

32

x

Lời giải:

Điều kiện: 2

5

x x

 





Phương trình tương đương:

2

2 3

2

2

2

3 log 32 log

2

2

2

1 1

5 5

25

8 8

64

x x x x

x x

x x x

x x

x







  





Bài 10*. Giải phương trình :

3

2 3

x

Lời giải:

Điều kiện : x0

Phương trình tương đương:

3

1

log x 2 log x.log x 6 log x 0

2

2

6 log

log 3

x

log x.[1 - 2log x 6 log 2] 0

2

( )

tm



Bài 11*. Giải phương trình: log3x7(4x212x 9) log2x3(6x223x21)4

Lời giải:

Điều kiện :

2

x x

  

  





2

2

3 7

1

2

x



  







   



log x x 1 log x x  1 log x x 1

Lời giải:

Điều kiện :

2

2 2

1 0

x





Phương trình tương đương:

log 20.log x x 1 log x x  1 log x x  1 0

20

2 2



20

20

2

log 4 2

log 4 2

1 0

x





log 4

1

5

x

tx a

















20

log 4 2

log 4

( )

tm

t





log x x 1 log x x  1 log x x 1

Giải

Đk:

2

2

2

1 0

x

  







x x  x x   nên ta có:

Sử dụng phép đổi biến cơ số ta có:

Khi đó phương trình được viết dưới dạng:

2 15

2

log 1 0 1 log 15.log 15.log 1 1 2



 



Giải (1):

1  x x   1 1 x     1 1 x x 1

Giải (2):

15

2

2

log 3 2

Ta có:

15

15

log 3 2

log 3 log 3 log 3

2

2

x









Vậy phương trình có nghiệm là 1 log 3 15 log 3 15 

2

Bài 14* Giải phương trình: 3log (1/4 2)2 3 log (41/4 )3 log (1/4 6)3

Giải

Đk : 6  x 4;x 2

Phương trình đã cho tương đương với

   

3

2

3

2

Nếu 6   x 2 phương trình (*) tương đương với:

 

2

2

2

2

x

x

x

 

 

  

 

  



Nếu 2  x 6 khi đó phương trình (*) tương đương với

2

2

2

x

x





 

2 8

x







Vậy phương trình có nghiệm là x2;x 1 33

CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN GIẢI PT LOGARIT (PHẦN 2)

Bài 1 Giải phương trình: log 9 2 3 log  9 1 

x

Lời giải:

 

9

log 2

2

3 9

3 2

1

2 2

2

2

3 1

3 log

9

x x

x

x

x

x

x

x x

x

x x

x



























Bài 2 Giải phương trình: log 4( 2 2) 3

(x2) x 4(x2)

Lời giải:

TXĐ: x > 2

2 2

log ( 2)).log ( 2) 2 3log ( 2)

2

t



Bài 3 Giải phương trình: 3 log 5

5 x 25x

Lời giải:

TXĐ: x > 0

1

2

Bài 4 Giải phương trình: x6.3log 3x 35

Lời giải:

TXĐ: x > 0, x khác 1

3

1

log

x

x

3 2

3 3

1 log

3 2

log

3

x

x

x x





Bài 5 3log xxlog 36 (*)

Lời giải:

TXĐ x > 0

2

Bài 6 log 3 2 log 5 2

(*)

xx x

Lời giải:

TXĐ x > 0, đặt tlog2 x x 2t

Bài 7 log (33 x1) log (33 x1 3) 6

Lời giải:

1

log (3 1) log (3 3) 6 log (3 1) 1 log (3 1) 6

28

27

x

2

logx x 14log x x 40log x x0

Lời giải:

 Điều kiện: 0; 2; 1; 1

x x x x

Dễ thấy x = 1 là một nghiệm của phương trình đã cho

 Với x1 Đặt tlog 2x và biến đổi phương trình về dạng

Bài 9 log 5 log 255 5 3

x

x

Lời giải:

Điều kiện: 0

5

x x





 



1

1

t

2

log 2 2log 4x  x log x8

Lời giải:

Điều kiện:

0 1

;1 2

x x







   



log 2 2 log 4 log 8

Bài 11 lg2xlg log (4 )x 2 x 2 log2x0

Lời giải:

Điều kiện: x > 0

2

2

(2 log ) 4.2.log (2 log )

lg lg

lg 2

x

x x









Bài 12  3  9

3

4

1 log

x

x

x



Lời giải:

x

x

1 1

4

81

t

t

x











Bài 13*. Giải phương trình: log 2 2 log 6 2 log 4 2 2

4 xx 2.3 x

Lời giải:

Điều kiện: x0

Ta có log 2 2 log 6 2 log 4 2 2 log 2 log 2 log 2

4 xx 2.3 x 4.4 x6 x 18.9 x

Đặt

2 2

2 3

t

t t

t t t

t

  

  

   

 



2

logx x 14log x x 40log x x 0

Lời giải:

Điều kiện:

0

1 1

; ; 2

16 4

x x









Nhận xét x1 là nghiệm Xét x1, đặt tlog 2x ta có phương trình ẩn t như sau:

Bài 15* ĐHKD-2007

1

4.2 3

x



Lời giải:

TXĐ: 4.2x 3 0 , khi đó

4x 15.2x 27 4.2x 3

2

CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT (PHẦN 3)

log x x 1 log x x  1 log x x 1

Giải

t

Phương trình đã cho tương đương:

4 5 20

1 log log log

log log log 4.log

t

20

4

log 4

1

t t





2

2

Bài 2 Giải phương trình:    1 

log 5x1 log 5x  5 1

Giải

Phương trình ban đầu thành:

5

log (5 1) 1 1

1

2

x

x

t

t





Vậy nghiệm pt ban đầu: 5

5

log 6 log 26 2

x x







3

4

1 log

x

x

x



Giải:

Phương trình:  3  9

3

4

1 log

x

x

x

 3 

log 9 1 log

x



3

1

x



Đặt: t = log 3 x

t

2 1

t t

  

 



  t 1hay t4

Do đó, (1) 3 1

3

Bài 4 Giải phương trình: log (2 x23x 2) log (2 x27x12) 3 log 32

Điều kiện : 1

4

x x

 



  



Phương trình tương đương:

Đặt : 2

x  x t

0

5

x

x







Bài 5: Giải phương trình : log2x1(2x2  x 1) logx1(2x1)2 4

Điều kiện: 1, 1

2

x x

Phương trình tương đương:

Đặt : tlog2x1(x1) ta được: 2 1

3

2

t t

t t







Với t1 ta có: log2x1(x    1) 1 x 1 2x  1 x 2(tm)

Với t2 tương tự được :

5 ( ) 4







 



Bài 6 Giải phương trình: 3 log3xlog 33 x 1 0

Điều kiện : x1

Phương trình tương đương:

3 3 3

3 log (log 3 log ) 1 0

Đặt : t log3t 0



Bài 7 Giải phương trình: log (3 x23x13)log2x

Lời giải:

Điều kiện : 3 61

2

x 

Đặt : log2t  t x 2t

Phương trình trở thành :

3

log (4 3.2 13)

t t

t

f t        

      là tổng của các hàm nghịch biến nên f t( ) nghịch biến, mà VP là hàm hằng

Do đó nếu phương trình (*) có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất

Ta có f(3) 1 nên t3 là nghiệm duy nhất của (*)

8

x

 

CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT (PHẦN 4)

lg x    x 6 x lg x 2 4 (*)

Lời giải:

Điều kiện: x3 Khi đó (*) lgx   3 x 4 0

Dễ thấy hàm ylgx  3 x 4 là hàm đồng biến trên TXĐ, do đó (*) có nghiệm duy nhất là x = 4

Bài 2 log 12  xlog3x

Lời giải:

Điều kiện: x0

Đặt

3

2

t

t







t t

t t

 

t t

    là các hàm nghịch biến trên TXĐ nên phương trình có nghiệm duy nhất t=2)

Bài 3  2 

log x   4 x log [8x16] (*)

Lời giải:

Điều kiện: x2

2

4

2

x

x





(Vì hàm ylog (2 x 2) x luôn đồng biến trên TXĐ nên phương trình trên nếu có nghiệm thì có nghiệm

duy nhất và đó là x = 3)

Biên soạn: Nguyễn Thế Lực Nguồn: Bikiptheluc.com