Hệ phương trình, bất phương trình và lời giải chi tiết của thầy Đặng Việt Hùng

Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 20

Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95

gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!

VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

Ví dụ 1

[ĐVH]: Giải

hệ phương trình 2 y y

+

2 y 2x

) 4xy 2+x 4 8 =x3 4 3x3

x2 + 2 y = x + y2 + 2x + 2

Lời giải

4xy 2x 4 0 3

Điều kiện: x2 + 2 y 0 y2 +2x +2 0

(

(2) +y 1

) +y2 +2x+ 2 +x2 2 y+

(x= 1) 0 1

0

1

+

=

+

=

2 y 2x 1

2 y 2x 1

y +1+ y2 + 2x + 2

x2 + 2 y + x +1

0 (2 y 2x 1)

y +1+

y2 + 2x + 2

x2 + 2 y + x +1

2 y 2= x 1 0 (Do y x 3 4 )

+

Thay vào (2) ta được 2x 2x2 4+ 8 x3 =4 3x3

Áp dụng BĐT Côsi cho các số dương ta có:

3x3 = 2 4+

(x3 4 + x 2+

(x2 2 ) 8 x3 4 2x 2x2 4

2

4

4

2

=

Dấu bằng xảy ra khi 2 = x3

x

x

5 2

2

Vậy hệ có nghiệm duy nhất 2;

5

Ví dụ 2 [ĐVH]: Giải bất

(x ℝ).

Lời giải.

Điều kiện 5 x 5 Bất phương trình đã cho tương đương với

(

4

x2 16

(x 4)(x 4)

x 4

3 25 x2 +x3 +x2+ x 4

+

(x+4)

(x2 1

)

3+ 25 x2

+

+(x 4)+x

2 1

)+ (x

x2

0

(1)

3+ 25 x2

3+ 25

+4

) x2 1

• Nếu x+4< 0⇒ x 4 3 25

< 0⇒ x2 +1 x 4 > x2 3 25 x2

0⇒

(x+4) x2 +1 x 4

3 25

<

+

+

+

x2

0

Khi đó (1) vô nghiệm

4

x 4

> x2

• Nếu 4 <x

25

(x+4) x2 +1

4⇒ x2 +1

3+ x 25 x+4 > 0

x2

0 , (1) nghiệm

đúng

x 4

x2 1

x 4 3x2+ x 7

• Nếu x 4 0⇒ x+4 > 0; x2 +1

+

=

>

3+ 25 x2

0, x 4

Tổng hợp các trường hợp ta thu được nghiệm 4 x 5

Đặng Việt Hùng – Moon.vn

Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT,

Facebook: Lyhung95

T ham gia các khóa Luyện thi trực tuyến

môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm

số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!

2x y+ 2 y

2x

x

phương trình x

3x2

2= 2 x+ 4 y 2x 1

Lời giải

1

x

2 Điều kiện: x + y 0 2x y 0

(1) +x y 2x= y

=

x

2 y = 0

(

- Nếu x + y + 2x y=

2x x + y + 2x y 2x x + y + 2x y= 2x 2x + x 2 + x y

)(2x= y) 0

vô nghiệm do x > 0

2

- Nếu 2 y = x thay vào (2) ta được 3x2 x+ 2= 2 x 2x 2x+ 1

) x+ +2x 1 x+ 2= x 1 0

x+ 2x 2x 1

x 2x 1+1

)2 (x+ 1)

2 =x 1

)2 0 (3)

2

( 2x 1 1 2 0

Ta có (x 1)2 0 với x 1 Nên (3) ( x 1)2 0

1

2

x = 0

2x 1= 1

=x 1 = x =1 y

x =1 2

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y)= 1; 1

y

x y

y

=

+ +

Ví dụ 4

[ĐVH]: Giải hệ phương trình x 2 + 2x2 +1 2y2 +1

2x + 1 = 5 x2 + y2 +3

2

Lời giải.

Điều kiện 2x y+ 1 0 Phương trình thứ nhất tương đương với x+

2x

1 +1 = y+

2y

1 +1 Xét hàm số

f

(t)=t +

2t

1

+1

f

(t)=1

=

=

>

4t (2t2 +1

)2

4t4 +4t2 4+t 1 (2t2 +1

)2

4t4 + (2t 1)2 (2t2 +1

)2

0, t 0

Suy ra hàm số liên tục và đồng biến trên tập số thực Thu được f

(x = f (y =x y (

2

2

Phương trình thứ hai khi đó trở thành 6x2 +4x+8 = 5 2x2 +3

6x+ 4+x =8 5+x 1

) 2x+3

x+1

(

2

2 x+ 2+x 1

) 5+(x 1) 2+x

2+ 3 2

(2+x2 =3

) 0

2+x 1)

2 5+(x 1) 2+x

2+ 3 2

(2+x2 =3

) 0 Với x 1, đặt x+1= u;

2x2 +3 = v

(v > 0) thu được

2

u = 2v

2u2 5uv+ 2v= 0

(u 2v)(2=u v) 0

v = 2u

Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

x 1

u = 2v

x2 +2x+1=8x2 +12

0 (Hệ vô nghiệm).

x 1

v = 2u

x 1

2x2 +3= 4

(x2 +2x+1

)

2x2 +8x+1= 0⇒ x = 4+ 2 14 ⇒ y = +4 2 14

Kết luận hệ phương trình có nghiệm duy nhất x = 4+

2

14

; y = +4

2

14

Ví dụ 5 [ĐVH]: Giải bất phương trình 5x2 8x+ 4> x x2 +x 1

(x ℝ). 5

Lời giải.

Điều kiện x 0 x 8 Bất phương trình đã cho tương đương với

)

)

(

)

(1)

x(5x 8> x3 x2 x 4 x(5x 8) 2 x3 x2 x 6

+

>

+

>

5x2 8x 4 x(5x 8+ 2

5x+2 x(5x 8+

(x 2)+x2+ x 3

) (x +2)+x2 x 3

0

2

Nhận xét x2 + x+3= x+ 1 2 +11 > 0, x

ℝ Xét các trường hợp

)

2

5x 2

5x 2

+) Nếu 5x+2< 0⇒ x

(5x +8+

x

( 5 x +8+)

> 0 , (1) nghiệm đúng 2 +) Nếu

x

5x+2 x(5x 8) 2

5x+2 2x2 3x+ 4 3 2 23

5x+2 0⇒ x2 + x+3

+

x2 +x 3

=

=

+ >

+

0, x ℝ

Do đó

(1 x< 2 0< x 2 , suy ra

2

5

<x 2

5

Kết hợp với điều kiện ta thu được nghiệm x 0 8< x 2

2

Ví dụ 6 [ĐVH]: Giải bất phương trình

( 3x2 12x+ 5+ x2 2x

) x3 1 2x+ 10x 5

Lời giải

3x2 12x+ 5 0

Điều kiện: x2 2x 0

x 2 Trước hết, để ý rằng:

2

x3 1 0

2x2 10x+ 5=

(3x2 12+x

5 (x

2 =2x 3x + 1+2x 5 x2 2x

) 3+x2 12x 5 x2 2x

) Khi đó bất phương trình đã cho trở thành:

)

(

3

2

x

x3 1 3x2 1+2x 5 x2 2x + x3 1 x2 2 + 3x2 12x 5 x+ x2 2+x 1 2

(x3 1 ) (x2 2x

) +3x2 12x 5

x3 2+x2 1+0x+ 6 2

(x2+ 3x 2+

(x3+ x2 x

) 0

(x+ x+ x

) ( x3 x2 x

3 (x2+ 3x+

x2+ 3x

2

) 0 2

) 0 ( ) +

Với điều kiện

x3 + x2 +

0 do đó

The trial version converts only 3 pages Evaluation only.

Converted by PDF Focus Net 5.6.1.28.

(Licensed version doesn't display this notice and converts the whole PDF document!)

Click to get the license for PDF Focus Net.