Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y x3x 1 , trục hoành và đường thẳng x xung quanh trục 1 Ox.. Chứng minh rằng đường thẳng
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 – LẦN 3
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số 1 4 2
4
y x x a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số đã cho
b) Tìm m để phương trình x48x2 m có 4 nghiệm thực phân biệt
Câu 2 (1,0 điểm)
a) Biết rằng số thực ;
2
và thỏa mãn
7
9
Tính giá trị của biểu thức
b) Cho số phức z 1 3 i Tính môđun của số phức w z2 16
z
Câu 4 (1,0 điểm) Giải bất phương trình 2 3 2
3 x 1 2x 1 2 x x
Câu 5 (1,0 điểm) Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng được giới hạn bởi đồ
thị hàm số y x3x 1 , trục hoành và đường thẳng x xung quanh trục 1 Ox
Câu 6 (1,0 điểm) Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, 0
120 ,
BCD 7
2
a
AA Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và '
BD Tính theo a thể tích khối hộp ABCD A B C D ' ' ' ' và khoảng cách từ D đến mặt phẳng ' (ABB A' ')
Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm 8; 0
3
G
và có đường tròn ngoại tiếp là (C) tâm I Biết rằng các điểm M(0; 1) và N(4; 1) lần lượt là điểm
đối xứng của I qua các đường thẳng AB và AC, đường thẳng BC đi qua điểm K(2; 1). Viết
phương trình đường tròn (C)
Câu 8 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 3; 1), B(4; 1; 0) và mặt phẳng ( ) : 2P x y 2z 9 0. Chứng minh rằng đường thẳng AB song song với (P) Tìm tọa độ
điểm A' đối xứng với A qua (P)
Câu 9 (0,5 điểm) Khai triển và rút gọn biểu thức 2 9
P x x x x thu
P x a a xa x a x Tính a7
Câu 10 (1,0 điểm) Giả sử , , x y z là các số thực dương thỏa mãn xz2y và x2 y2z2 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 3 13 13
xy yz
- Hết -
Ghi chú: 1 BTC sẽ trả bài vào các ngày 23, 24/5/2015 Để nhận được bài thi, thí sinh phải nộp lại
phiếu dự thi cho BTC
2 Thi thử THPT Quốc gia lần cuối của năm 2015 sẽ được tổ chức vào chiều ngày 13 và ngày 14/6/2015 Đăng ký dự thi tại Văn phòng Trường THPT Chuyên từ ngày 23/5/2015
3 Kỳ thi Tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chuyên, Trường Đại học Vinh được tổ chức trong hai ngày 06 và 07 năm 2015 Phát hành và nhận hồ sơ đăng ký dự thi từ ngày 10/5 đến hết ngày
Trang 2TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 – LẦN 3
Môn: TOÁN; Thời gian làm bài: 180 phút
a) (1,0 điểm)
1o Tập xác định: D
2o Sự biến thiên:
* Giới hạn tại vô cực: Ta có lim
* Chiều biến thiên: Ta có y'x34 ;x
Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng 2; 0 , 2; ; nghịch biến trên mỗi
khoảng ; 2 , 0; 2
* Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x0, y CĐ 3, hàm số đạt cực tiểu tại x 2,
1
CT
y
0,5
* Bảng biến thiên:
3o Đồ thị: Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng
0,5
b) (1,0 điểm)
Phương trình đã cho tương đương với 1 4 2 2 1 4 2 2 3 3
Đồ thị hàm số 3
4
m
y là đường thẳng d song song hoặc trùng với trục hoành
Số nghiệm của phương trình đã cho chính là số giao điểm của d với đồ thị (C)
0,5
Câu 1
(2,0
điểm)
Từ đồ thị ở câu a) suy ra phương trình đã cho có 4 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi
4
m
m
x
O
y
2
1
3
2
x
'
y
y
2
3
1
–
0
+
1
Trang 3a) (0,5 điểm)
Ta có A cos22 sin22 2cos2sin 4cossin
2
, nên cos0, sin0. Suy ra cos sin 4
3
Khi đó 16
3
A
0,5
b) (0,5 điểm)
Câu 2
(1,0
điểm)
4
i
i
Suy ra w 4
0,5
Câu 3
(0,5
điểm)
*) Điều kiện: x 1
Với điều kiện đó phương trình đã cho trở thành
4
Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của phương trình đã cho là 1 17
4
x
0,5
*) Điều kiện: 1
2
x
Bất phương trình đã cho tương đương với
x x x x
x 12x 12 3x 1 2x 1 2 2 x 1 0
x 1 x 1 2 2x 12x 1 2x 1 0
x 1 x 1 2 2x 1 0,
do 2x1 2x 1 0, với mọi 1
2
x
0,5
Câu 4
(1,0
điểm)
Xét hai trường hợp sau:
+) x Khi đó 1 (1) 1 2 2 1 0 2 6 3 0 3 2 3
3 2 3
x
x
Kết hợp điều kiện ta được nghiệm x 32 3
Khi đó
2 (1) x 1 2 2x 1 0 x 6x 3 032 3 x 3 2 3
Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm 32 3 x1
Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là 32 3 x1 và x 32 3
0,5
Ta có x3x 1 0, x 0 và x3x 1 0 x 0 Do đó thể tích khối tròn xoay
cần tính là
1
0
3x 1
V x dx
2
0,5
Câu 5
(1,0
điểm)
Tính
1
0
3x
x dx
Đặt u x dv; 3x dx Suy ra ; 3
ln 3
x
dudx v
Trang 4Theo công thức tích phân từng phần ta có
x
Thay vào (1) ta được 3 22 1
ln 3 ln 3 2
V
0,5
Gọi O ACBD
Từ giả thiết suy ra A O' (ABCD)
2
2
ABCD
a
S BC CD
120
60
ABC ABC đều
2 2
AC a
' ' ' ' ' 3
ABCD A B C D ABCD
0,5
Câu 6
(1,0
điểm)
Hạ OH (ABB A' ') tại C (1)
Vì DD'/ /(ABB A' ') nên d D ', (ABB A' ')d D , (ABB A' ')
Vì O là trung điểm BD nên d D , (ABB A' ')2d O , (ABB A' ')2OH (2)
Vì ACBD và A O' (ABCD) nên OABA là tứ diện vuông tại đỉnh O Suy ra '
Kết hợp (1), (2) và (3) suy ra ', ( ' ') 2 4 195
65
d D ABB A OH a
Chú ý: Thí sinh có thể hạ OK AB OH, A K' Tính OK suy ra OH
0,5
Gọi H, E là trung điểm MN, BC H(2; 1)
Từ giả thiết suy ra IAMB IANC, là các hình thoi Suy ra AMN IBC, là các tam giác cân bằng nhau
Suy ra AH MN IE, BC AHEI, là hình bình hành
Suy ra G cũng là trọng tâm HEI HG cắt IE tại F là trung điểm IE
0,5
Câu 7
(1,0
điểm)
Vì BC // MN và K(2; 1) BC Suy ra BC y : 1 0
Từ (2; 1), 8; 0
3
H G
và
HF HGF
Từ FEBCpt EF x: 3 E(3; 1).
Vì F là trung điểm IE nên (3; 0), I RIAHE 5
Suy ra ( ) : (C x3)2y2 5 hay x2y26x 4 0
0,5
Ta có AB(2; 2; 1), n P (2; 1; 2).
( )
P
AB n
Câu 8
(1,0
điểm)
Ta có AA'( )P nên u AA'n P (2; 1; 2)
Suy ra phương trình ' : 2 3 1
x y z
AA
VìAA cắt (P) tại ' H ( 2; 1; 3) mà H là trung điểm AA nên suy ra ' A '( 6; 1; 7).
0,5
C
B
M
A
N
E
I
H
F
K
G
A
H
D
O
K
'
B
'
'
C
Trang 5Câu 9
(0,5
điểm)
Ta có a7 là hệ số của x7 có trong P x( ) Các số hạng của P x( ) mà khai triển ra chứa x7
gồm 7 1 2 x7, 8 1 2 x8 và 9 1 2x9
Theo Nhị thức Niu-tơn ta có
0,5
Từ giả thiết ta có xz y
Chú ý rằng, với mọi x y , 0 và mọi a b ta có , 2 2 2
Thật vậy, (1) tương đương với aybx2 0
3
3 3
y
3
y
3
4 4
1 1
3
4 8
1 1
3
4 8
2
3
0,5
Câu 10
(1,0
điểm)
Đặt
2
P t t
Xét hàm số ( ) 1 3 1 1
f t t t với t 2 Ta có '( ) 3 2 1 0
f t t với mọi t 2
Suy ra
[ 2; )
3
2
f t f
Suy ra 3,
2
P dấu đẳng thức xảy ra khi 1
3
x y z
Vậy giá trị lớn nhất của P là 3
2
3
x yz
0,5
