Đề số 4
ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học 2013-2014
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
Bài 1 Tính các giới hạn sau:
x
lim ( 5− +2 −3)
x x
1
lim
1 +
→−
+
x x
2
2 lim
7 3
→
− + −
4)
x
x
x
3 0
( 3) 27
lim
→
5)
lim 2.4 2
Bài 2 Cho hàm số: f x xx khi x
ax khi x
= −
Xác định a để hàm số liên tục tại điểm x = 1
Bài 3 Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm âm: x3+1000x+0,1 0=
Bài 4 Tìm đạo hàm các hàm số sau:
y
x
2
=
y
x
=
y
sin cos sin cos
+
=
− 4) y=sin(cos )x
Bài 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = 2a
1) Chứng minh (SAC) (⊥ SBD); (SCD) (⊥ SAD)
2) Tính góc giữa SD và (ABCD); SB và (SAD) ; SB và (SAC)
3) Tính d(A, (SCD)); d(B,(SAC))
Bài 6 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x= 3−3x2+ : 2
1) Tại điểm M ( –1; –2)
2) Vuông góc với đường thẳng d: y 1x 2
9
= − +
Bài 7 Cho hàm số: y x x
2
= Chứng minh rằng: 2 y y′′− =1 y′2
––––––––––––––––––––Hết–––––––––––––––––––
Họ và tên thí sinh : SBD :
Trang 2Đề số 4
ĐÁP ÁN ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học 2011-2012
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
Bài 1:
1)
2)
x
x x
1
lim
1 +
→−
+ + Ta có:
x x
x x
1 1
lim ( 1) 0 lim (3 1) 2 0
+
+
→−
→−
+ = − <
> − ⇒ + >
⇒
x
x x
1
lim
1 +
→−
+
= −∞
+
x x
x
2
7 3
− + −
4)
2
5)
2
2 2
− +
+
Bài 2:
x khi x
ax khi x
= −
Ta có: • f(1) 3= a •
lim ( ) lim 3 3
•
x
f x
−
Hàm số liên tục tại x = 1 ⇔
(1) lim ( ) lim ( )
Bài 3: Xét hàm số f x( )=x3+1000x+0,1 ⇒ f liên tục trên R
f
( 1) 1001 0,1 0
− = − + < ⇒ PT f x( ) 0= có ít nhất một nghiệm c ( 1; 0)∈ −
Bài 4:
2
2 2
x
2 2
4
π
+
+
4) y=sin(cos )x ⇒y'= −sin cos(cos )x x
Trang 3Bài 5:
1) • BD ⊥ AC, BD ⊥ SA ⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ (SBD) ⊥ (SAC)
• CD ⊥ AD, CD ⊥ SA ⇒ CD ⊥ (SAD) ⇒ (DCS) ⊥ (SAD) 2) • Tìm góc giữa SD và mặt phẳng (ABCD)
SA ⊥ (ABCD) ⇒ (SD ABCD,( ) =) SDA
SDA SA a
2
• Tìm góc giữa SB và mặt phẳng (SAD)
AB ⊥ (ABCD) ⇒ (SB SAD,( ) =) BSA
BSA AB a
1 tan
• Tìm góc giữa SB và mặt phẳng (SAC)
BO ⊥(SAC) ⇒ ( SB SAC,( ) =) BSO
a
2
SO 3 2
2
OS
1 tan
3
3) • Tính khoảng cách từ A đến (SCD)
Trong ∆SAD, vẽ đường cao AH Ta có: AH ⊥ SD, AH ⊥ CD ⇒ AH ⊥ (SCD) ⇒ d(A,(SCD)) = AH
AH
AH2 SA2 AD2 a2 a2
5 4
d A SCD( ,( )) 2 5
5
=
• Tính khoảng cách từ B đến (SAC)
BO ⊥ (SAC) ⇒ d(B,(SAC)) = BO = a 2
2
Bài 6: C y x( ) : = 3−3x2+ ⇒ 2 y′ =3x2−6x
1) Tại điểm M(–1; –2) ta có: y ( 1)′ − = ⇒ PTTT: y9 =9x+ 7
2) Tiếp tuyến vuông góc với d: y 1x 2
9
= − + ⇒ Tiếp tuyến có hệ số góc k=9 Gọi x y( ; ) là toạ độ của tiếp điểm 0 0
x
0
1
3 −6 =9⇔ −2 − =3 0⇔ = −=3
• Với x0 = − ⇒1 y0 = − ⇒ PTTT: y2 =9x+ 7
• Với x0 = ⇒3 y0 = ⇒ PTTT: y2 =9x−25
2
2
=============================
S
C D
O H