Đề số 4
ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học 2013-2014
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
Bài 1 Tính các giới hạn sau:
x→−∞lim ( 5− 3+2 2−3) 2) xlim→−1+3x x 12
+
x x
2
2 lim
7 3
→
− + − 4)
x
x
x
3 0
( 3) 27
lim
→
3 4 1 lim
2.4 2
Bài 2 Cho hàm số:
x khi x
ax khi x
= −
Xác định a để hàm số liên tục tại điểm x = 1.
Bài 3 Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm âm: x3+1000x+0,1 0=
Bài 4 Tìm đạo hàm các hàm số sau:
1) y x x
x
2
2 4
=
y
x
2 1
=
y
sin cos sin cos
+
=
− 4) y=sin(cos )x
Bài 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = 2a.
1) Chứng minh SAC( ) (⊥ SBD); SCD( ) (⊥ SAD)
2) Tính góc giữa SD và (ABCD); SB và (SAD) ; SB và (SAC)
3) Tính d(A, (SCD)); d(B,(SAC))
Bài 6 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x= 3−3x2+2:
1) Tại điểm M ( –1; –2)
2) Vuông góc với đường thẳng d: y 1x 2
9
= − +
Bài 7 Cho hàm số: y x2 2x 2
2
= Chứng minh rằng: 2 y y′′− =1 y′2
––––––––––––––––––––Hết–––––––––––––––––––
Họ và tên thí sinh: SBD :
Trang 2Đề số 4
ĐÁP ÁN ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học 2011-2012
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
Bài 1:
1)
2 3 lim ( 5 2 3) lim 1
2)
x
x x
1
3 2 lim
1
+
→−
+ + Ta có:
x x
x x
1 1
+ +
→−
→−
> − ⇒ + >
⇒
x
x x
1
3 2 lim
1
+
+
x x
2
7 3
− + −
4)
2
5)
2
2 2
− +
+ ÷
Bài 2:
x khi x
ax khi x
= −
Ta có: • f(1) 3= a • xlim ( ) lim 31− f x x 1− ax 3a
•
x
f x
lim ( ) lim lim
−
Hàm số liên tục tại x = 1 ⇔ f(1) lim ( ) lim ( )=x→1− f x =x→1+ f x ⇔ a3 1 a 1
= ⇔ =
Bài 3: Xét hàm số f x( )=x3+1000x+0,1 ⇒ f liên tục trên R
f(0) 0,1 0( 1)− = −= 1001 0,1 0> + < ⇒ −( 1) (0) 0< ⇒ PT f x( ) 0= có ít nhất một nghiệm c ( 1;0)∈ −
Bài 4:
2
3)
4
π
+
4) y=sin(cos )x ⇒ = −y' sin cos(cos )x x
Trang 3Bài 5:
1) • BD ⊥ AC, BD ⊥ SA ⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ (SBD) ⊥ (SAC)
• CD ⊥ AD, CD ⊥ SA ⇒ CD ⊥ (SAD) ⇒ (DCS) ⊥ (SAD) 2) • Tìm góc giữa SD và mặt phẳng (ABCD)
SA ⊥ (ABCD) ⇒ · (SD ABCD,( )) =· SDA
· SDA SA a
2 tan = = =2
• Tìm góc giữa SB và mặt phẳng (SAD)
AB ⊥ (ABCD) ⇒ ·(SB SAD,( )) =· BSA
· BSA AB a
1 tan
2 2
• Tìm góc giữa SB và mặt phẳng (SAC)
BO ⊥(SAC) ⇒ (· SB SAC,( )) =· BSO
a
2
= , SO 3 2 a
2
OS
1 tan
3
3) • Tính khoảng cách từ A đến (SCD)
Trong ∆SAD, vẽ đường cao AH Ta có: AH ⊥ SD, AH ⊥ CD ⇒ AH ⊥ (SCD) ⇒ d(A,(SCD)) = AH
a AH
AH2 SA2 AD2 a2 a2
5 4
5
=
• Tính khoảng cách từ B đến (SAC)
BO ⊥ (SAC) ⇒ d(B,(SAC)) = BO = a 2
2
Bài 6: ( ) :C y x= 3−3x2+2 ⇒ y′ =3x2−6x
1) Tại điểm M(–1; –2) ta có: y ( 1) 9′ − = ⇒ PTTT: y=9x+7
2) Tiếp tuyến vuông góc với d: y 1x 2
9
= − + ⇒ Tiếp tuyến có hệ số góc k 9=
Gọi x y( ; ) là toạ độ của tiếp điểm 0 0
Ta có: y x′( ) 90 = ⇔ x20 x0 x20 x0 x x0
0
1
3 −6 = ⇔9 −2 3 0 = −3
− = ⇔ =
• Với x0 = − ⇒1 y0 = −2 ⇒ PTTT: y=9x+7
• Với x0 = ⇒3 y0 =2 ⇒ PTTT: y=9x−25
Bài 7: y x2 2x 2 y x 1 y 1
2
2 1 2 1 1 1 2 1 ( 1)
2
=============================
S
C D
O H