2 Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBD.. 3 Tính góc giữa SC và ABCD II.. Theo chương trình chuẩn Câu 4a: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số = −1 x tại giao điểm của nó vớ
Trang 11
Đề số 11
ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học 2013-2014
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
II Phần bắt buộc
Câu 1:
1) Tính các giới hạn sau:
a)
x
x
1 2 lim
→+∞
−
x
3 2
lim
6
→
xlim x2 x 3 x
2) Chứng minh phương trình x3−3x+ =1 0 có 3 nghiệm phân biệt
Câu 2:
1) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y x ( x )
x
x
2 2 1
−
=
− 2) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y=tanx
3) Tính vi phân của ham số y = sinx.cosx
Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA⊥(ABCD) và SA=a 6
1) Chứng minh : BD⊥SC, (SBD) (⊥ SAC)
2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD)
3) Tính góc giữa SC và (ABCD)
II Phần tự chọn
1 Theo chương trình chuẩn
Câu 4a: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số = −1
x tại giao điểm của nó với trục hoành
Câu 5a: Cho hàm số ( ) 3= +60 64− 3 +5
x x Giải phương trình f ′( ) 0x =
Câu 6a: Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a Tính AB EG
2 Theo chương trình nâng cao
Câu 4b: Tính vi phân và đạo hàm cấp hai của hàm số y=sin 2 cos2x x
Câu 5b: Cho = + −
3 2
2
y x Với giá trị nào của x thì y x′( )= − 2
Câu 6b: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a Xác định đường vuông góc chung và
tính khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau BD′ và B′C
-Hết -
Họ và tên thí sinh: SBD :
Trang 22
Đề số 11
ĐÁP ÁN ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học 2011-2012
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
Câu 1:
1) a)
x x
2 2
2
1 2
−
−
b)
11
x x
2
2
2
x
x
x x2
3 1
1 lim
2
→−∞
−
− − + +
2) Xét hàm số f x( )=x3−3x+ ⇒ f(x) liên tục trên R 1
• f(–2) = –1, f(0) = 1 ⇒ phuơng trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c1∈ −( 2;0)
• f(0) = 1, f(1) = –1 ⇒ phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c2∈( )0;1
• f(1) = –1, f(2) = 3 ⇒ phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c3∈( )1;2
• Phương trình đã cho là phương trình bậc ba, mà c c c1 2 3, , phân biệt nên phương trình đã cho có đúng ba nghiệm thực
Câu 2:
2
b) y=x+sinx ⇒y' 1 cos= + x
c)
2
2) y=tanx⇒y' 1 tan= + 2x⇒y" 2 tan 1 tan= x( + 2x)
3) y = sinx cosx y 1sin 2x dy cos2xdx
2
Câu 3:
a) Chứng minh : BD⊥SC SBD,( ) (⊥ SAC)
• ABCD là hình vuông nên BD ⊥ AC, BD⊥ SA (SA ⊥ (ABCD)) ⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥SC
• (SBD) chứa BD ⊥ (SAC) nên (SBD) ⊥ (SAC)
b) Tính d(A,(SBD))
• Trong ∆SAO hạ AH ⊥ SO, AH ⊥ BD (BD⊥ (SAC)) nên AH ⊥ (SBD)
Trang 33
2
= , SA = a 6( )gt và ∆SAO vuông tại A
nên
AH2 SA2 AO2 a2 a2 a2
2
c) Tính góc giữa SC và (ABCD)
• Dế thấy do SA ⊥ (ABCD) nên hình chiếu của SC trên (ABCD) là AC ⇒ góc giữa SC và (ABCD) là
SCA Vậy ta có:
AC a
0 6
2
Câu 4a: y x
x
1
= − ⇒ y
x2
1 1
′ = +
• Các giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là A(−1;0 , 1;0) ( )B
• Tại A(–1; 0) tiếp tuyến có hệ số góc k1=2 nên PTTT: y = 2x +2
• Tại B(1; 0) tiếp tuyến cũng có hệ số góc k2 = nên PTTT: y = 2x – 2 2
Câu 5a: f x x
x x3
60 64 ( ) 3= + − + ⇒ 5 f x
x2 x4
60 128 ( ) 3
PT
x
2
2
4 3 8
60 128
8 3
= ±
= ±
Câu 6a:
Đặt AB=e AD1, =e AE2, =e3
AB EG e1 EF EH e e1 1 e2 e e1 1 e e1 2 a2
⇒ = + = + = + =
Cách khác:
AB EG =EF EG = EF EG .cos EF EG, =a a 2.cos450 =a2
Câu 4b: y = sin2x.cos2x
• y = 1sin 4x y' 2 cos 4x y" 8sin 4x
2
x
′ = − ⇔ + − = − ⇔ + = ⇔ = −
O
S
H
A
B
C D
E
H
Trang 44
Câu 6b:
Gọi M là trung điểm của B′C, G là trọng tâm của ∆AB′C
Vì D′.AB′C là hình chóp đều, có các cạnh bên có độ dài
a 2 , nên BD’ là đường cao của chóp này ⇒ BD′ ⊥ (AB′C)
⇒ BD′ ⊥ GM
Mặt khác ∆AB′C đều nên GM ⊥ B′C
⇒ GM là đoạn vuông góc chung của BD’ và B’C
======================================
C D
C’
D’
O G
M