Trên đường thẳng vuông góc với ABCD lấy điểm S khác H.. Chứng minh rằng: a AC⊥SHK.. b Tính góc gữa CK với mặt phẳng SDH.. Chứng minh A’B’CD là hình vuông.
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH
NĂM HỌC 2013-2014
Môn thi: Toán
(Thời gian làm bài 180 phút không kể thời gian giao đề)
Bài 1(4đ): cho n số : a a a a1, , , , 2 3 4 a n∈[ ]0;1 Chứng minh rằng:
(1+ + + + +a1 a2 a3 a4 +a n)2 ≥4(a12+a22+a32+a42+ +a n2)
Bài 2(4đ): Giải phương trình: 2012 2012 2014 2014 3
2
Bài 3(4đ): Tìm số nguyên dương bé nhất n sao cho trong khai triển (1+x)ncó hai hệ số liên tiếp có tỉ số là 7
15
Bài 4(4đ): Cho hình vuông ABCD, H là trung điểm của AB, K là trung điểm của AD Trên
đường thẳng vuông góc với (ABCD) lấy điểm S khác H Chứng minh rằng:
a) AC⊥(SHK).
b) Tính góc gữa CK với mặt phẳng (SDH)
Bài 5(4đ):
B BA B BC= = ABC = Chứng minh A’B’CD là hình vuông
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
Bài 1
f x =x − + + + + +a a a a +a x+ a + + + +a a a +a
Ta có
n n
= − − − − − − − + + + + + +
Mặt khác a a a a1, , , , 2 3 4 a n∈[ ]0;1 nên
1 1
2 2
3 3
( 1) 0 ( 1) 0
( 1) 0
n n
a a
a a
a a
− ≤
− ≤
− ≤ ⇒ ≤
− ≤
f =a + + + +a a a +a ≥ ⇒ f f ≤
Do đó phương trình f(x)=0 có nghiệm trên [ ]0;1 vậy
∆ = + + + + + + − + + + + + ≥
0,5 0,5 0.5 0.5
0.5
0.5 0.5 0.5 Bài 2
(4đ)
3
2 3
2 os2 0(1) 3
2
3
2
x x
=
+ −
12
0
x=
Ta nhận thấy
2012
2012 2012 2012
3
2
2
≥ ∀ ∈
Vậy pt(2) vô nghiệm
x= +π kπ k Z∈
0.5
0.5
0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5
Trang 31 1
1 1
Bài 3
(4đ)
0 (1 )
n
n k k
n k
=
;
k k
n n
1
k n k n
−
Do n k, ∈¥ đặt 1
7
k
khi đó n=22 1t− đế n là số nguyên dương bé nhất thì t cũng phải là số nguyên dương bé nhất vì k≥ 0nên
1
7
t− ≥ ⇒ ≥ ⇒ =t t (vì t là số nguyên dương bé nhất) vậy
22.1 1 21
Bài 4:
(4đ)
I
S
H
K
a) Cm: AC⊥(SHK)
Vì H, K lần lượt là trung điểm của AB, AD nên HK là đường trung bình
Mặt khác SH ⊥(ABCD)⇒SH ⊥ AC(2)từ (1);(2) ta có AC⊥(SHK)
b) Tính góc gữa CK với mặt phẳng (SDH)
0.5
0.5
0.5 0.5
0.5 0.5 0.5 0.5
Trang 4Bài 5:
(4đ)
D A
Theo giả thiết ta có tứ giác A’B’CD là hình thoi
'
uuuruuur uuur uuur uur uuuruuur uuur uur
Hay A’B’CD là hình vuông
1
1 1 1
Lưu ý: Học sinh có cách làm khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa câu đó.