KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11MÔN TOÁN Thời gian: 150 phút không kể thời gian giao đề Bài 1 4 điểm.. Cho tam giác nhọn ABC, trên cạnh BC lấy các điểm E, F sao cho góc BAE CAF·
Trang 1KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11
MÔN TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (4 điểm)
Giải phương trình: 2 2
2 2sin 2 tan x cot 2 x x
+
Bài 2 (4 điểm).
Cho dãy số ( ) un xác định bởi
1
* 1
4 1
4 4 1 2 9
u
=
Tìm công thức số hạng tổng quát uncủa dãy số.
Bài 3 (4 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC, trên cạnh BC lấy các điểm E, F sao cho góc BAE CAF· =· , gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của F trên các đường thẳng AB và AC, kéo dài
AE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D Chứng minh rằng tứ giác AMDN và tam giác ABC có diện tích bằng nhau
Bài 4 (4 điểm)
Cho tập hợp A = { 1;2;3; ;18 } Có bao nhiêu cách chọn ra 5 số trong tập A sao cho hiệu của hai số bất kì trong 5 số đó không nhỏ hơn 2
Bài 5 (4 điểm).
Cho các số dương a b c , , thoả mãn a b c + + = 3 Chứng minh rằng:
12 12 12
3
Hết
-Họ và tên : Số báo danh :
Trang 2ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 CẤP TỈNH
MÔN TOÁN
Bài 1 Giải phương trình: 2 2
2 2sin 2 tan x cot 2 x x
+
cos 0
tan cot 2 0
x x
≠
Ta có :
2
2sin cos2 1 tan cot 2
sin 2 sin 2
+
Do đó phương trình đã cho tương đương với :
( 2 + 2 ) sin 2 x = 2 sin 2 + x
⇔ ( sin 2 x − 1 2 sin 2 ) ( x − 2 ) = 0
sin 2 1
2 sin 2
2
x x
sin 2 1
1 sin 2
2
x x
=
⇔
=
( Thỏa điều kiện (1) )
Giải các phương trình trên ta được :
; ; 5 ( )
x = + π k π x = π + k π x = π + k π k Z ∈
1đ
1 đ
1 đ
1 đ
Bài 2 Cho dãy số ( ) un xác định bởi
1
* 1
4 1
4 4 1 2 9
u
=
Tìm công thức số hạng tổng quát uncủa dãy số.
Lời giải: Đặt xn = 1 2 + un ∀ ∈ n N*
Ta có xn ≥ 0 và xn2 = + 1 2 , un ∀ ∈ n N* hay
2
n n
x
Thay vào giả thiết, ta được:
1 đ
Trang 3( ) ( )
1
4 4
n
x
+
1
3 xn+ = + xn 4 ∀ ∈ n N ( Do xn ≥ 0 , ∀ ∈ n N*)
1
3n 3n 4.3 ,n
+
1 4.3 ,n
1 1 4 3n 3n 3 ,
n
Hay 1 1 6 2.3 ,n 1 *
n
Theo cách đặt ta có: 1 3 1 9 3 2.3n
n
3
1 đ
1 đ
1 đ
Bài 3 Cho tam giác nhọn ABC, trên cạnh BC lấy các điểm E, F sao cho góc
BAE CAF= , gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của F trên các đường thẳng AB và AC, kéo dài AE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D Chứng minh rằng tứ giác AMDN và tam giác ABC có diện tích bằng nhau
Lời giải:
ĐặtBAE CAF · = · = α , EAF · = β .Tacó
ABC
4
AF
AB CD AC BD R
0,5đ
1,5 đ
N M
D
O A
Trang 4(R-là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) (1)
Diện tích tứ giác ADMN là
.sin sin( )
AMDN
=1 cos ( ) sin cos sin ( )
1 sin 2 ( )
AF
R
α β
Vì tứ giác ABDC nội tiếp trong đường tròn nên theo định lí Ptoleme ta có : AB.CD + AC.BD = AD.BC (3)
Từ (1), (2), (3) ta có điều phải chứng minh
1,5 đ
0,5 đ
Bài 4
Cho tập hợp A = { 1;2;3; ;18 } Có bao nhiêu cách chọn ra 5 số trong tập A
sao cho hiệu của hai số bất kì trong 5 số đó không nhỏ hơn 2
Lời giải: Ta cần tìm số phần tử của tập T sau:
T = (a ,a , ,a ) : a < < < a a ; 1 a ≤ ≤ 18; a − a ≥ 2
Xét tập hợp H = { (b ,b , ,b ) : b1 2 5 1 < b2 < < b ; 1 b5 ≤ ≤i 14 }
Xét ánh xạ f cho tương ứng mỗi bộ (a ,a , ,a )1 2 5 với bộ (b ,b , ,b )1 2 5 xác
định như sau:
b = a ,b = − a 1,b = − a 2,b = − a 3,b = − a 4
Dễ thấy khi đó f là một song ánh, suy ra T = H
Mặt khác mỗi bộ (b ,b , ,b )1 2 5 trong H là một tổ hợp chập 5 của 14 phần tử
Do đó H = C145 = 2002 Vậy T = 2002
1 đ
1,5 đ
1,5 đ
Trang 5Bài 5 Cho các số dương a b c , , thoả mãn a b c + + = 3 Chứng minh rằng:
12 12 12
3
Lời giải: Bất đẳng thức trên tương đương với:
3
Bây giờ ta dùng bất đẳng thức AM – GM cho các mẫu thức:
( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
3
3 2
ab bc ca
3 3
a b c
Đặt BAE CAF· =· =α, EAF· =β
Ta có 1 sin( ) 1 sin
ABC
4
AF
AB CD AC BD R
(R-là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) (1)
Diện tích tứ giác ADMN là
AMDN
1
AF
R
α β
N M
D
O A
Trang 6Vì tứ giác AMDN nội tiếp trong đường tròn nên theo định lí Ptoleme ta có AB.CD + AC.BD = AD.BC (3)
Từ (1), (2), (3) ta có điều phải chứng minh