Chứng minh rằng S là hợp số.. Tính tỉ số CP CS.. Bài 4: 3,5 điểm Trong tam giác ABC, M là chân đường vuông góc hạ từ A xuống đường phân giác trong của góc · BCA.. N, L lần lượt là chân đ
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BÌNH ĐỊNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2102-2013
ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 18/3/2013
-Bài 1: (5,0 điểm)
a) Giải phương trình: 2( x2 − 3 x + = 2) 3 x3+ 8
b) Cho a, b, c, d , e, f là các số nguyên dương
Đặt S a b c d e = + + + + + f Q ab bc ca de ef ; = + + − − − fd R abc def ; = +
Biết rằng S là ước của Q và R Chứng minh rằng S là hợp số
Bài 2: (5,0 điểm)
a) Ba góc x y z , , thỏa mãn điều kiện 0 2 à cos cos cos 0
sin sin sin 0
Chứng minh rằng x y z , , lập thành một cấp số cộng.
b) Cho dãy số vô hạn { } un xác định như sau:
1
1 1 2
1
1 , 1,2
u
u+ u u u n
=
Đặt
1
1
n n
k k
S
u
=
= ∑ Tìm lim n
n S
→+∞
Bài 3: (3,5 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang ( AD BC P ) và AD = 2 BC Gọi M, N
lần là trung điểm của SA, SB Mặt phẳng (DMN) cắt SC tại P Tính tỉ số CP
CS .
Bài 4: (3,5 điểm)
Trong tam giác ABC, M là chân đường vuông góc hạ từ A xuống đường phân giác trong của góc · BCA . N, L lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ các đỉnh A, C xuống đường phân giác trong của góc ABC Gọi F là giao điểm của các đường thẳng MN và AC, E là giao điểm của các đường thẳng BF và CL, D là giao điểm của các đường thẳng BL và AC Chứng minh rằng
DE MN P
Bài 5: (3,0 điểm)
Cho hàm số f N : * → N * với f (1) = 22013 thỏa điều kiện ( [ ]2) [ ]2
1+ f n( ) (f n+ =1) f n( ) Chứng minh rằng f n ( ) 1 ≤ với n > 2014
Trang 2
-Hết -SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG
TRƯỜNG THPT TRẦN NGUYÊN HÃN
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
Môn TOÁN Lớp 11 NĂM HỌC 2008-2009
Bài 1: (4,0 điểm)
2 4 2 2
4
x
x
−
+
2 Giải phương trình sau:
2
2005
2 os
2 3 tan 2
y
π
+
(x, y là các ẩn số)
Bài 2: (4,0 điểm)
Cho hàm số f x ( ) = + x4 ax3 + bx2 + + cx d , ( , , , a b c d R ∈ )
Biết f (1) 10 , = f (2) 20 , = f (3) 30 = .
Hãy tính (12) ( 8)
25 10
f + − + f
Bài 3: (3,0 điểm)
Cho dãy số ( ) un được xác định như sau:
1
2 1
1
( 1,2,3,4 ) 1
2009
u
n
=
1 Chứng minh lim
n→+∞= +∞
n
n
→+∞
+
Bài 4: (4,0 điểm)
Cho ba số dương x y z , , thỏa mãn 1 1 1 1
x + y + z = xyz
Tìm giá trị lớn nhất của 2 2 1
y
P
−
Bài 5: (4,0 điểm)
Cho tam giác đều ABC:
1 M là điểm nằm trong tam giác sao cho MA2 = MB2 + MC2 Hãy tính góc · BMC .
2 Một điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABC) sao cho tứ diện SABC đều, gọi I, K là trung điểm của các cạnh AC và SB Trên đường thấng AS và CK ta chọn các điểm P, Q sao cho PQ // BI Tính độ dài PQ biết cạnh của tứ diện có độ dài bằng 1