Tìm M trên cung AB của P sao cho diện tích ∆MAB lớn nhất.. Phân giác AD, trung tuyến AM.. Hỏi đờng chéo lớn nhất có giá trị bé nhất là bao nhiêu.. Gọi P là trung điểm của AM1, Q là trung
Trang 1Sở giáo dục - đào tạo thanh hóa
Đề thi học sinh giỏi lớp 9 THCS Trờng THPT bc lê viết tạo
****************************
Bài 1:
a) Chứng minh rằng:
3 3 3
3 3
9
4 9
2 9
1 1
2 − = − +
b) Tính giá trị biểu thức
1 3
2 5 + 3 − 2 + −
Bài 2: Cho a≠ −b, a ≠ −c, b≠ −c chứng minh rằng
b a
b a a c
a c c b
c b b c a c
b a a
b c b
a c c
a
b
a
c
b
+
− + +
− + +
−
= + +
− +
+ +
− +
+
+
−
) )(
( ) )(
( ) )(
(
2 2 2
2 2
2
Bài 3: Cho phơng trình: x2 − 2mx+ 2m− 1 = 0
Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm sao cho nghiệm này bằng bình
ph-ơng nghiệm kia
Bài 4: Giải phơng trình: 8+ x + 5− x =5
Bài 5: Chứng minh nếu a > 2 thì hệ sau vô nghiệm:
= +
=
−
1
2 2 2
5
y x
a y x
Bài 6: Cho Parabol (P) 2
4
1
x
y= và đờng thẳng (d): 2
2
1 +
−
B là giao điểm của (P) và (d) Tìm M trên cung AB của (P) sao cho diện tích
∆MAB lớn nhất
Bài 7: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình
4 4 4
8x + y + z =t
Bài 8: Cho tam giác ABC Phân giác AD, trung tuyến AM Lấy đối xứng trung tuyến AM qua AD cắt BC tại N Chứng minh: 22
AC
AB NC
Bài 9: Diện tích của một hình thang bằng 1 Hỏi đờng chéo lớn nhất có giá trị bé nhất là bao nhiêu
Bài 10: Cho đờng tròn ( 0; R) với 2 đờng kính AB và MN Tiếp tuyến với (0) tại A cắt BM và BN tại M1, N1 Gọi P là trung điểm của AM1, Q là trung
điểm của AN1 Đờng kính AB cố định, tìm tập hợp tâm các đờng tròn ngoại tiếp tam giác BPQ khi đờng kính MN thay đổi
Trang 2Đáp án:
Nội dung Bài 1:
a)
b)
Bài 2:
Bài 3:
CMR: (1)
Giải: Đặt (1)
Vậy (1) đợc chứng minh
x
=
=
Ta có: (1)
Tơng Tự : (2)
(3)
từ (1) + (2) + (3) ta có: ĐPCM (1)
Ta có:
Vậy: , phơng trình luôn có 2 nghiệm Theo bài ra, ta có thể giả sử phơng trình (1) có 2 nghiệm x0 và x áp dụng định lí Vi ét ta có:
Thay vào (3) : x0 = -1 m = 0 x0 = 1 m = 1 Đáp số: m = 0 ; m = 1 Điều kiện:
0,25
0,25
0,25 0,25
0,25 0,25 0,25 0,25
1
0,5 0,5
0,25
0,25
Trang 3Bài 4:
Bài 5:
Bài 6:
Phơng trình đã cho tơng đơng với
Bình phơng 2 vế ta đợc
Giả sử hệ có nghiệm ,
> thì hệ đã cho vô nghiệm
(P) cắt (d) tại 2 điểm A (-4;4) và B (2; 1)
Xét (dm)//(d) dm có pt: (dm) tiếp xúc (P)
Pt: có nghiệm kép
có nghiệm kép
Tiếp điểm M0
* là khoảng cách từ M đến AB)
Vậy là điểm cần tìm
Ta có: (0,0,0,0) là 1 nghiệm của phơng trình Ta chứng minh phơng trình không còn nghiệm nguyên khác
Nhận xét: (x,y,z,t) là nghiệm thì (x,y,z,t) cũng là nghiệm Chọn (x,y,z,t) sao cho x > 0 và x bé nhất là nghiệm
Ta có: 8x4 + 4y4 + 2z4 =t4
0,25 0,25
0,5
0,25
0,25
0,5 0,5 0,5 0,25 0,5
0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25
Trang 4Bài 7:
Bài 8:
⇒ t 2 ⇒ đặt t =2t1 ⇒ 4x4 + 2y4 +z4 = 8t14
1
4 1 4 4
1
4 1
4 1
4
⇒ x 2⇒ đặt x= 2x1 ⇒(x1 ,y1 ,z1 ,t1) là nghiệm nguyên của phơng
trình mà x1 < x (mâu thuẫn) ⇒ phơng trình không có nghiệm nguyên
(x,y,z,t) với x≠ 0
Tơng tự ta cũng có kết luận với y,z,t
Vậy pt có nghiệm nguyên duy nhất: (0,0,0,0)
Ta có: S S MC BN b c AM AN
AMC
ABN
.
.
=
=
AN
AM b
c NC
BM S
S
ANC
⇒ . 22
b
c NC
BM MC
⇒
2
2 2
2
AC
AB b
c NC
⇒ ĐPCM
0,25 0,5
0,25 0,5 0,25 0,25
0,25
0,25 0,25 0,25 0,25
0,25
0,25
Trang 5Bài 9:
Gọi 2 đờng chéo của hình thang là m1, m2
giả sử m1 ≠ m2 Hạ đờng cao AH và BH’ ⇒ HC ≥ H’D
⇒ 2HC ≥ HC + H’D = DC + AB
Theo định lý Pitago trong ∆ AHC ta có:
1 2
ΑH HC m AH HC DC AB h S ABCD
1 ≥ ⇒m ≥
m
Vậy min m1 = 2
Dấu “=” xảy ra ⇔
=
=
HC AH
D H
Vậy đờng chéo lớn nhất của hình thang có giá trị bé nhất bằng 2
ΟΡ // BM1 và ΟQ // BN1 nên < PCQ = 900 Giả sử đờng tròn tâm I ngoại tiếp ∆BPQcắt đờng thẳng AB tại B và D
Có ∆ APD ~ ∆ ABQ ⇒ AD.AB = AP.AQ ⇒ AD.AB = OA2 ⇒ AD = 2
R
Vì vậy đờng tròn ngoại tiếp∆BPQ luôn đi qua điểm D cố định Vì
IB = ID nên I nằm trên đờng trung trực của BD
• Phần đảo:
Lấy điểm I nào đó trên đờng trung trực của BD Dựng đờng tròn bán kính IB = ID cắt đờng thẳng t tại P & Q, trên đờng thẳng t lấy các
điểm M1, N1 sao cho P là trung điểm AM1 và Q là trung điểm của
AN1 ∆ APD ~ ∆ ABQ ⇒ AP.AQ = AB.AD = R2 = AO2 Dựng đờng tròn đờng kính PQ cắt AB tại E thì < PEQ = 900 và AE2 = AP AQ =
AO2 ⇒ E ≡O Vì OP, OQ tơng ứng là đờng trung bình
∆ABM1, ∆ABN1 nên < M1BN1= 900 ⇒ MN là đờng kính của đờng
tròn tâm O
Kết luận: Tập hợp tâm các đờng tròn ngoại tiếp ∆BPQ là đờng trung trực của BD
0,5 0,5
0,5 0,25
0,25
0,25
0,5
0,25 0,25 0,25
0,5
Trang 6Bµi 10:
1,5
0,25