Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA.. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.. Chứng minh rằng: BEC và ADC đồng dạng.. Tính độ dài đoạn BE theo m AB.. Gọi M là trung điểm của đ
Trang 1PHÒNG GD & ĐT HOÀ AN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP
HUYỆN
NĂM HỌC 2011-2012
Môn : TOÁN LỚP : 8
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1: (4 điểm)
Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử:
1 8(x2 3x 5) 2 7(x2 3x 5) 15
2 x11 x7 1
Câu 2: (4 điểm)
Giải phương trình:
1
3
81 16 8x 64
2 22 2 1 22 2 2 7
Câu 3: (2 điểm)
Tìm số dư trong phép chia của đa thức x 2 x 4 x 6 x 8 2010 cho đa
thức x2 10x 21
Câu 4: (6 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (HBC) Trên tia
HC lấy điểm D sao cho HD = HA Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E
1 Chứng minh rằng: BEC và ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE
theo m AB
2 Gọi M là trung điểm của đoạn BE Chứng minh rằng hai tam giác
BHM và BEC đồng dạng Tính số đo của góc AHM
3 Tia AM cắt BC tại G Chứng minh: GB HD
BC AH HC
Câu 5 : (4 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD Vẽ BH vuông góc với AC (H AC) Gọi M là
trung điểm của AH , K là trung điểm của CD Chứng minh rằng : BM MK
*** Hết ***
Trang 2
PHÒNG GD & ĐT HOÀ AN HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2011 – 2012
Môn : TOÁN LỚP : 8
Thời gian làm bài: 150 phút
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM:
1.1
8(x 3x 5) 7(x 3x 5) 15 Đặt t= x 2 +3x+5, ta có :
8(x 3x 5) 7(x 3x 5) 15 = 8t2+7t -15
= 8t2 -8t +15t-15 = 8t(t-1)+15(t-1) = (t-1)(8t+15) Thay t=x2+3x+5 vào đa thức ta có :
8(x 3x 5) 7(x 3x 5) 15
= (x2+3x+5-1)[8(x2+3x+5)+15]
=(x2+3x+4)[8(x2+3x+5)+15]
=(x2 +3x+4)(8x2+24x+55)
1đ
1đ
1.2
x x = (x11 + x10 + x9) + ( –x10 - x9 – x8 ) + (x8 +x7 +x6) + ( –x6 –x5 - x4) + (x+ x4 + x3) + (–x3–x2 –x ) + (x2+x+1)
= x9(x2+x+1) – x8(x2+x+1) + x6(x2+x+1)
- x4 (x2+x+1) + x3 (x2+x+1) + (x2+x+1)
=(x2+x+1)(x9-x8+x6-x4+x3+1) 2đ
81 16 8x 64
3
5 3 9 81
.
16 8 64 8
5 3 9
16 8 8
9 5
8 16 3 8 23 6
x x x
x
x
0,5
0,5
0,5
0,5
Trang 3Bài Câu Nội dung Điểm
ĐKXĐ : x R vì :
x2 +2x+2 = (x2+2x+1)+1 = (x+1)2+1>0 với mọi xR
x2 +2x+3 = (x2+2x+1)+2 = (x+1)2+2>0 với mọi xR Đặt t= x2+2x+3=> x2 +2x+2 = t-1 , ĐK : t2
Phương trình trở thành :
2
6 ( 2) 6( 1)( 1) 7 ( 1)
6 12 6 12 6 7 7
5 17 6 0
2 ( 3)( ) 0
5
3
t
(nhận), 2
5
t (loại)
Với t= 3 , ta có x2+2x+3 =3 x=0 , x = -2 Vậy nghiệm của phương trình là : x=0 , x = -2
0,5
0,5 0,5
0,5
Ta có:
10 16 10 24 2010
Đặt t x 2 10x 21 , biểu thức P(x) được viết lại:
( ) 5 3 2010 2 1995
Do đó khi chia t2 2 1995t cho t ta có số dư là 1995
1 0,5 0,5
Trang 41
2 1
G M
E
D H
A
4.1
CDE và CAB có :
Góc C chung
90 0
=>CDE CAB => CD CE
CA CB =>
CE CB
+ Hai tam giác ADC và BEC có:
Góc C chung
CE CB (cmt)
Do đó ADC BEC (c.g.c)
Suy ra: BEC ADC 135 0 (vì tam giác AHD vuông cân tại H
theo giả thiết).
Nên AEB 45 0 do đó tam giác ABE vuông cân tại A Suy ra:
Vẽ hình đúng 0,5
0,5
0,5
0,5 0,5
0,5 4.2
BC BC AC (do BEC ADC)
mà AD AH 2 (tam giác AHD vuông vân tại H)
(do ABH CBA )
Do đó BHM BEC(c.g.c)
0,5
0,5
0,5 4.3 Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc
BAC.
Suy ra: GB AB
GC AC ,
mà AB ED
AC DC (ABC DEC)
Ta lại có ED AH// => ED AH
Mà HD =HC => ED AH HD
0,5
0,5
GC HC GC GB HC HD BC HC AH
0,5
S S
S S
S
S
Trang 55 5
O
K
M
H
I
D
A
C
Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng BH
Ta có M, O lần lượt là trung điểm của AH , BH nên :
MO là đường trung bình của HAB
Vậy MO = 1
2AB , MO // AB
Mà AB = CD , AB//CD , KC = 1
2CD ,
Do đó MO = KC , MO // KC , suy ra tứ giác MOCK là hình bình hành
Từ đó có : CO // MK
Ta có : MO // KC , KC CB MO CB Tam giác MBC có MO CB , BH MC nên O là trực tâm của tam giác MBC => CO BM
Ta có : CO BM và CO // MK nên BM MK
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5 0,5 0,5 0,5
(Học sinh làm cách khác đúng vẫn được trọn điểm )