1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 3 2 1 Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a..
Trang 1KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC KỲ I
Năm học : 2012 – 2013 Môn thi : TOÁN - Lớp 12
Thời gian : 120 phút (không kể thời gian phát đề)
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH: (7,0 điểm)
Câu I: (3,0 điểm) Cho hàm số 1
2
x y x
-=
- có đồ thị (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng ( ): 4 1
2
Câu II: (2,0 điểm)
1) Thực hiện phép tính :
log 3
A
2) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x( )e2x 4.e x3 trên đoạn 0;ln 4
Câu III: (2,0 điểm) Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh đáy bằng a, cạnh bên
bằng 3
2
1) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a.
2) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD theo a.
II PHẦN RIÊNG – PHẦN TỰ CHON: (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm 1 trong 2 phần (phần 1 hoặc phần 2)
1 Theo chương trình chuẩn:
Câu IV.a (1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1 4 1 2
yf x x x (C) tại điểm M x y o, o , biết rằng f/ /( ) 2x o và x o 0
Câu V.a (2,0 điểm)
1) Giải phương trình:4x 1 5.2x 2 16 0
2) Giải bất phương trình: 12 112x23x 12 11
2 Theo chương trình nâng cao:
Câu IV.b (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y x.ln x trên [1 ; e2]
Câu V b (2,0 điểm)
1) Cho b log a
2012
1 1
2012 và c log b
2012
1 1
2012 với 3 số dương a,b,c và khác 2012
Chứng minh rằng : a log c
2012
1 1
2012 2) Chứng minh rằng đường thẳng (d): y = 2x + m luôn cắt đồ thị (C): y = x
x 2
1tại 2 điểm phân biệt A
Trang 2Năm học : 2012 – 2013 Môn thi : TOÁN - Lớp 12
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ ĐỀ XUẤT Phần Chung:
I
Đạo hàm
( )2
1
0 2
y x
-¢= <
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (- ¥ ;2 , 2;) ( +¥ ) 0,25
Giới hạn, tiệm cận
®+¥ = ®- ¥ = Đồ thị có tiệm cận ngang y=1.
- lim2 ; lim2
-® = +¥ ® =- ¥ Đồ thị có tiệm cận đứng x=2.
0,25
Bảng biến thiên
- ¥ ||
+¥
1
0,5
Đồ thị
0,5
Trang 3 Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng ( ): 4 1
2
là nghiệm của phương trình: 1
2
x x
-1 4 2
x
=- + (1)
1
2
(2) (vì x 2 không là nghiệm của pt (2)) 2
8x 15x 0
x 0 hoặc 15
8
x
0,5
Với x 0 ta có 1
2
Với 15
8
x ta có y=- 7
Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là: 0;1
2
và 15; 7
8
0,5
II
2
log 3
A
2
2012 2log 3 2012
2 3
3 2
2012 2012
2 ( ) x 4 x 3
f x e e trên đoạn 0;ln 4 ; f x'( ) 2 e2x 4.e x 0,25
'( ) 0 2 x 4 x 0 ln 2 0;ln 4
0;ln 4
0;ln 4
III
SO là đường cao của hình chóp (tính chất của hình chóp đều) 0,25
2
a SO
Thể tích khối chóp S.ABCD
3 2
3 ABCD 3 2 6
Gọi H là trung điểm của SA Kẻ đường trung trực của cạnh SA trong mặt
phẳng (SAO) cắt đường thẳng SO tại I
- Mặt khác I Î SO nên w cách đều 4 điểm A, B, C, D, tức là
0,25
Trang 4 Từ (1) và (2) suy ra I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD 0,25
Bán kính mặt cầu:
- Hai tam giác vuông SHI và SOA đồng dạng (vì có chung gócS$) nên ta có :
1 3
3 2 2 3
2
a
a
Vậy, bán kính mặt cầu 3
4
a
0,25
0,25
H
D
S
w
Phần Riêng:
IVa
1,00
TXĐ: D R 1 4 1 2
yf x x x f x' x3 x f; '' x 3x2 1 0,25
4
1 ' 1 0
o
Phương trình tiếp tuyến: 0 1 7 7
4 4
4x 5.2x 16 0 4 20.2x 16 0
2x 1;2x 4
0; 2
Ta có 12 11 12 111 nên 12 11 1
12 11
12 112x23x 12 111 2x2 3x1 0,5
I
Trang 52 1
2
IVb
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y x.ln x trên [1 ; e2] 1,00
ln x
y '
x
e
x 1/e2 1 e2
y' 0 +
y 2e
0
0,25
Vậy
] [ ,e
e Maxy
2
1 2 khi x = e2 và
[ ,e ]
Miny
2
Vb
1) Chứng minh rằng : a log c
1 1
Ta có
log a
2012
1
0,25
a
1
2012
1
x
2
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d): x
x
2
1 = 2x + m ( x 1) 0,25
x (m )x m)
2 2 0 (1)
(1) có m2 4 0, m
(d) luôn cắt (C) tại A và B phân biệt
0,25
Khi đó
AB2 (x x )2 (y y )2 [(x x )2 x x ] (m2 )