Có 4 hành khách từ sân ga lên tàu, mỗi người độc lập với nhau chọn ngẫu nhiên một toa.. Tính xác suất để một toa có 3 hành khách, một toa có 1 hành khách và hai toa không có hành khách..
Trang 1SỞ GD & ĐT NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT Nam Đàn 1
ĐỀ THI THỬ KÌ THI THPT QUỐC GIA
LẦN 3 - NĂM 2015
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề )
Câu 1(2,0 điểm) Cho hàm số y=x3−3x2 +1 (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C).
b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x3 −3x2 −2m=0 có 3 nghiệm phân biệt
Câu 2( 1,0 điểm ) a) Giải phương trình: log2(x−1) log3x=2log4(x−1)
b) Giải phương trình: 2sin2x−sin2x+cosx−sinx=0
Câu 3(1,0 điểm ) a) z1, z2 là hai nghiệm của phương trình 2z2 −3z+5=0 trên tập số phức Tính z12 + z2 2 b) Một đoàn tàu có 4 toa đỗ ở sân ga Có 4 hành khách từ sân ga lên tàu, mỗi người độc lập với nhau chọn ngẫu nhiên một toa Tính xác suất để một toa có 3 hành khách, một toa có 1 hành khách và hai toa
không có hành khách
Câu 4(1,0 điểm ) Tính tích phân: dx
x x
x x
I
e
+ +
=
3
1
2 ln 1
ln 2
Câu 5(1,0 điểm ) Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng lần lượt có phương trình:
−
=
=
+
=
1
2
1
:
z
t
y
t x
d và mặt phẳng (P): 2x+ y−2z−1=0.
a) Viết phương trình đường thẳng đi qua M(1;2;1), song song với (P) và vuông góc với đường thẳng d.
b) Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng d, bán kính bằng 3 và tiếp xúc với mp(P).
Câu 6( 1,0 điểm ) Cho hình chóp S ABC có tam giác ABC vuông tại A , AB AC a= = , I là trung điểm của
SC , hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC là trung điểm H của BC , mặt phẳng ) (SAB tạo với đáy )
1 góc bằng 60o Tính thể tích khối chóp S ABC và tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (SAB theo ) a
Câu 7( 1,0 điểm ) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC cân đỉnh A, D là trung điểm cạnh AC K( )1 , E;0
;4
3
1
lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và trọng tâm tam giác ABD P(−1;6), Q(−9;2) lần
lượt thuộc đường thẳng AC, BD Tìm tọa độ điểm A, B, C biết D có hoành độ dương.
Câu 8( 1,0 điểm ) Giải hệ phương trình: ( )
+ +
= +
−
−
−
+ + + +
= +
− +
1 2 6
6 1
3
1 3 2
3 3
3 2
3 2
y x
x x
y y
x x x x
Câu 9(1,0 điểm ) Cho x, ,y, z là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3
P
x xy xyz x y z
………Chưa……Hết………
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Trang 2Câu Nội dung Điểm
1 a.(1,0 điểm)
TXĐ: D R=
x x
y' =3 2 −6 , y' =0⇔ x=0 hoặc x=2
0.25
Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞;0) và (2;+∞) , nghịch biến trên khoảng
( )0;2
Hàm số đạt cực đại tại x=0, y CĐ =1, đạt cực tiểu tại x=2, y CĐ =−3
−∞
=
−∞
→
x
y
lim , limx→+∞y =+∞
0.25
* Bảng biến thiên
0,25
Đồ thị
b.(1,0 điểm)
( )* 1 2 1 3 0
2
3 − x − m= ⇔ x − x + = m+
x
0.25
Từ (*) suy ra số nghiệm của pt đã cho bằng số giao điểm của hai đồ thị hàm số
1 2 1
3 2
Vẽ hai đồ thị hàm số y= x3 −3x2 +1và y=2m+1 cùng trên cùng một hệ trục tọa
độ
Dựa vào đồ thị 2 hàm số ⇒ điều kiện để pt có 3 nghiệm phân biệt là
0 2
1 1 2
3< + < ⇔− < <
0.25
Vậy giá trị cần tìm là −2<m<0
0,25
2 (1,0 điểm)
a,(0,5điểm)
Đk: x>1
0.25
⇔ x hoặc log3x−1=0 ⇔ x=2 hoặc x=3
x –∞ 0 2 +∞
y' + 0 - 0 +
y + ∞
Trang 3Đối chiếu điều kiện suy ra nghiệm của pt là x=2 và x=3
b,(0,5điểm)
(sin cos )(2sin 1) 0 0
sin cos 2 sin sin
0 cos
⇔ x x hoặc 2sinx−1=0
1 tan =
2
1 sinx=
π
π k
x= +
⇔
+
=
+
=
π π
π π
2 6 5
2 6
k x
k x
.
0.25 0.25
4
(1,0 điểm)
∫ +∫ +
=
ln 2
dx x
x
x xdx
I
1 2 1
1
3 3
−
=
=
= ∫ xdx x e
0.25
3
1 2
1 ln
ln
e
dx x x
x I
Đặt
=
−
=
⇒ +
=
tdt dx x
t x x
t
2 1
1 ln
1 ln
2
Đổi cận
=
⇒
=
=
⇒
=
2
1 1
3 t e x
t x
0.25
3
1 2 1 2
2
1 3 2
1 2 2
1
2
=
−
=
−
t
t
Vậy
3
5
6 +
=e
(1,0 điểm)
a,(0,5điểm) Ta có:
4
31 3
0
31< ⇒ z1,2 = ±i
−
=
Trang 4Khi đó: z12 + z2 2 =5.
0.25
b,(0,5điểm) Mỗi hành khách có 4 cách chọn 1 toa để lên tàu nên số cách 4 hành
khách chọn toa để lên tàu là : 44 =256(cách).
( )Ω =256
0.25
Gọi biến cố A” 4 hành khách từ sân ga lên tàu sao cho một toa có ba hành
khách, 1 toa có một hành khách và 2 toa không có hành khách”
+ Chọn 3 hành khách từ 4 hành khách và xếp 3 hành khách vừa chọn lên 1 trong 4 toa
tàu có C34.4=16(cách)
+ Xếp hành khách còn lại lên 1 trong 3 toa tàu còn lại có 3(cách)
( )=16.3=48
Vậy ( ) ( ) ( )
16
3 256
48 =
= Ω
=
n
A n A
0.25
5 (1,0 điểm)
a,(0,5điểm) Vì //( ) ⇒ =[ ], =(4;−2;3)
⊥
⊥
⇒
⊥
∆
∆
∆
∆
∆
d P d
u u
n u d
P
0,25
Vậy PT đường thẳng đi qua M(1;2;1) là
+
=
−
=
+
=
∆
t z
t y
t x
3 1
2 2
4 1
b,(0,5điểm) Vì tâm mặt cầu là I∈d nên I(1+t;2t;−1)
Vì mặt cầu có tâm I , bán kính bằng 3 và tiếp xúc với mp(P) nên
0.25
Trang 5d(I,(P))=3 ( ) ( )
−
=
=
⇔
−
= +
= +
⇔
= +
⇔
= +
+
−
−
− + +
⇔
3 2
3 9
3 4
9 3 4 9 3 4 3 4
1 4
1 1 2 2 1
2
t
t t
t t
t t
2
3 1 3
2
5 : 1
; 3
; 2
5 2
−
⇒
⇒
t
3 1 6
2 : 1
; 6
; 2
−
t
2
3 1 3
2
5
3 1 6
2 : x+ + y+ + z+ =
0.25
6 (1,0 điểm)
j
A
S
H K M
Gọi K là trung điểm của AB
Vì SH ⊥(ABC) nên SH ⊥ AB(2)
Từ (1) và (2) suy ra ⇒ AB⊥SK
Do đó góc giữa (SAB)với đáy bằng góc giữa SK và HK và bằng ∠SKH =600
Ta có
2
3 tan SKH a HK
0.25
a
Vì IH / /SB nên IH / /(SAB) Do đó d I SAB( ,( ) ) =d H SAB( ,( ) )
Từ H kẻ HM ⊥SK tại M ⇒HM ⊥(SAB) ⇒d H SAB( ,( ) ) =HM 0.25
Ta có 1 2 1 2 12 162
3
4
a HM
,
4
a
7 (1,0 điểm)
G là trọng tâm tam giác ABC, M là trung điểm của cạnh AB
KD EG CD
EG MD
ME
MC
3
1
Mà ABC là tam giác cân nên KG⊥MD⇒
G là trực tâm tam giác EKD nên KE ⊥GD⇒KE ⊥BD.
0,25
Suy ra BD :
− + − −
=
− − − +
=
>
+
⇒
= +
+
6
21
; 1 ,
6
15
; 1
0 , 6
21
; 0
21
Trang 6Vì DP⊥DK nên ( )( ) ( )3;4
37 117
3 0
6
21 6
15 1
t
t t
t t
−
=
=
⇔
=
− −
− + + +
−
−
−
AC đi qua D và P ⇒ AC:x+2y−11=0
AK qua K và vuông góc với DE nên KA:x−1=0⇒ A( )1;5 Kết hợp D là trung
BC qua C và vuông góc với AK nên BC:y−3=0⇒B(−3;3)
8.
(1,0 điểm) ( ) ( )
( )
+ +
= +
−
−
−
+ + + +
= +
− +
2 1
2 6
6 1
3
1 1 3 2
3 3
3 2
3 2
y x
x x
y y
x x x x
Đk:
( )* 3
3 3 1
3 3
0 6 6
0 1
0 3
0 3 3
2
2
−
≥
−
≤
≤
+
≥
⇒
≥ +
−
≥
−
≥ +
≥ +
−
y x x
x x x y
x x x
Đặt a=3 y+2 ≥−1⇒ y+3=a3 +1 Khi đó , phương trình ( )1 trở thành
a a
x
x− + + − = + + Xét hàm số f( )t = t3 +1+t, t≥−1.
t
t t
+
1 2
3
3
2 '
là hàm đồng biến trên R Khi đó
( )3 ⇔ f(x−1)= f( )a ⇔ x−1=a
0,5
( )
( )
=
=
=
⇔
=
=
≥
=
⇔
= +
−
≥
=
⇔
=
−
=
−
⇔
−
=
−
⇔
−
− +
−
= +
−
≥
−
−
⇔
−
−
= +
−
⇔
= +
−
−
−
⇔
4 5 5 1
4 5 5 0 1
0 25 25 4
0
1 2
1 5
0 1 1
5 1 2
3
3 1 6
1 9 6 6
*
* 0 1
3
1 3 6 6 6
6 1
3 2
2
2 2
2 2
x x x
x x x x
x x
x
x x x
x x
x x
x x x x
x x
x x
x x x
x x x
x x
Đối chiếu với (**) và ( )* thấy x=5 thỏa mãn ⇒a=4⇒ y=62.
Vậy hệ có nghiệm là ( ) (x;y = 5;62)
0,5
9 (1,0 điểm)
2 8 2 8 32
x+ xy+ xyz = +x x y+ x y z
0,5
≤ x+2x8+8y+2x+824y+32z =3224(x y z+ + =) 43(x y z+ + )
Trang 7( ) 2
t x y z t
P f t
t t
t t
Lập bảng biến thiên của hàm f(t) ta được min
3 2
P = − tại t=1
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
16 21 1
4
21
21
x
x y z
z
=
+ + =
0,25
