SỞ GD&ĐT NGHỆ AN ĐỀ KIỂM TRA KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ÔN THI THPT QUỐC GIA TRƯỜNG THPT QUỲNH LƯU1 LẦN 1 - NĂM 2015.. Kháo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số C 2.. Viết phương trình tiếp t
Trang 1SỞ GD&ĐT NGHỆ AN ĐỀ KIỂM TRA KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ÔN THI THPT QUỐC GIA
TRƯỜNG THPT QUỲNH LƯU1 LẦN 1 - NĂM 2015
MÔN TOÁN
( Thời gian làm bài 180 phút không kể giao đề )
Câu 1 (2 điểm ) Cho hàm số y = 2 1 ( )
2
x C x
+
−
1 Kháo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C )
2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C ) biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng -5
Câu 2 ( 0.5 điểm )Giải bất phương trình : log3(x – 3 ) + log3(x – 5 ) < 1
Câu 3 (1 điểm ) Tính tích phân : I =
2
1
1
x x− dx
∫
Câu 4 ( 1 điểm ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A,D, SA vuông góc
với đáy SA = AD= a ,AB = 2a
1 Tính thể tích khối chóp S.ABC
2 Tính khoảng cách giữa AB và SC
Câu 5 (1 điểm ) Trong không gian O.xyz cho A(1;2;3) , B(-3; -3;2 )
1 Viết phương trình mặt cầu đường kính AB
2 Tìm điểm M nằm trên trục hoành sao cho M cách đều hai điểm A, B
Câu 6 (1 điểm ) Giải phương trình : 2sin2x - cos2x = 7sinx + 2cosx – 4
Câu 7 (0.5 điểm ) Gọi T là tập hợp các số tự nhiên gồm 4 chữ số phân biệt được chọn từ các số
1,2,3,4,5,6,7 Chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập T Tính xác suất để số được chọn lớn hơn 2015
Câu 8 ( 1điểm ) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC vuông tại A B,C là hai điểm đối
xứng nhau qua gốc tọa độ Đường phân giác trong góc B của tam giác có phương trình
x + 2y - 5= 0 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác biết đường thẳng AC đi qua K(6;2)
Câu 9 ( 1 điểm ) Giải hệ phương trình
( )
2
2
Câu 10 (1 điểm ) Cho a,b,c thuôc đoạn [1;2] Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = ( )
2
a b
c ab bc ca
+
Hết
Họ và tên thí sinh ……… số báo danh………
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KIỂM TRA KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ÔN THI THPT QUỐC GIA LẦN 1
Trang 2CÂU NỘI DUNG ĐIỂM Câu 1
y = 2x x+21 ( )C
−
1 TXĐ : D = R \ { }2
y’ = ( )2
5 2
x
−
− < 0 với mọi x thuộc D Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞ ;2 ) và (2 ; +∞) , hàm số không
có cực trị
0.25
2
−
→ = − ∞
2
lim
+
→ = + ∞ nên đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị
→−∞ = →+∞ = nên đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị 0.25 Bảng biến thiên
x -∞ 2 + ∞
y’ - -
+∞ 2
2
-∞
0.25
Đồ thị cắt trục tung tại (0 ; 1
2
− ) , cắt trục hoành tại ( 1
2
−
; 0) điểm I(2;2)
là tâm đối xứng của đồ thị
y
2
O 2 x
0.25
2
Gọi M(x0;y0) là tiếp điểm , k là hệ số góc của tiếp tuyến phương trình
tiếp tuyến tại M có dạng : y = k(x- x0) + y0 , y’( )2
5 2
x
−
−
0.25
Hệ số góc k = -5 ⇔y’(x0) = -5 ⇔(x0 – 2)2 = 1 ⇔x0 = 3 hoặc x0 = 1 0.25
Với x0 = 3 thì M(3;7) phương trình tiếp tuyến là y = -5x + 22 0.25
Trang 3Với x0 = 1 thì M(1;-3) phương trình tiếp tuyến là y = -5x + 2 0.25 Câu 2 Giải bất phương trình : log3(x – 3 ) + log3(x – 5 ) < 1 (*)
ĐK: x > 5
(*) ⇔log3(x – 3 )(x - 5) < 1 ⇔(x – 3 )( x - 5) < 3 0.25
⇔x2 – 8x +12 < 0 ⇔2 < x < 6
Kết hợp ĐK thì 5 < x < 6 là nghiệm của bất phương trình 0.25 Câu 3
Tính tích phân : I =
2
1
1
x x− dx
∫
Đặt x− 1= t thì x = t2 + 1 , dx = 2tdt
Đổi cận : x = 1 thì t = 0 ; x = 2 thì t = 1 0.25
I = 21( 2 ) 2
0
1
t + t dt
0
t +t dt
= 2 ( 5 3
5 3
t +t ) 1
0 = 16 15
0.5 Câu 4
H
E
C
B
D
A S
1 Tính thể tích khối chóp S.ABC
SA vuông góc với mp đáy nên SA là đường cao của khối chóp , SA = a
Trong mặt phẳng đáy từ C kẻ CE // DA , E thuộc AB suy ra CE vuông
góc với AB và CE = DA = a là đường cao của tam giác CAB
0.25
Diện tích tam giác là S = 1
2CE.AB = a2
Thể tích khối chóp S.ABC là V = 1
2 Tính khoảng cách giữa AB và SC
Ta có AB//DC nên d(AB,SC) = d(AB, SDC ) Trong mặt phẳng (SAD)từ
A kẻ AH vuông góc với SD (1) , H thuộc SD
Ta có DC vuông góc với AD , DC vuông góc SA nên DC vuông góc với
mp(SAD) suy ra DC vuông góc AH (2)
Từ (1) và (2) suy ra AH vuông góc với (SDC)
AH = d(AB, SDC) = d(AB , SC )
0.25
Trang 4Trong tam giác vuông SAD ta có 2 2
AH =AD + 12 22
SA =a ⇒ AH =
2
Câu 5
1 Gọi I là trung điểm của AB thì I(-1;
1 2
− ;5
2) là tâm mặt cầu Bán kính
Phương trình mặt cầu (x+1)2 +(y +1
2)2 +(z 5
2
− )2 = 21/2 0.25
2 M nằm trên trục hoành nên M(x;0;0) MAuuur(1-x ;2;3) , MBuuur(-3-x;-3;2) 0.25
M cách đều A , B tức là MA2 = MB2
Hay (1-x)2+13 = (-3-x)2+13 ⇔x = 1
Vậy M(1;0;0) thỏa mãn yêu cầu bài toán 0.25 Câu 6 Giải phương trình : 2sin2x - cos2x = 7sinx + 2cosx – 4
⇔4sinxcosx – 2cosx +2sin2x - 1– 7sinx + 4 = 0
⇔2cosx(2sinx -1) + 2sin2x -7sinx +3 = 0
0.25
⇔2cosx(2sinx -1) + (sinx -3)(2sinx – 1) = 0
⇔(2sinx -1) (sinx + 2cosx – 3) =0 0.25
⇔sinx = 1
2 Hoặc sinx + 2cosx – 3 =0
Ta có : sinx + 2cosx – 3 =0 vô nghiệm vì 12 +22 < 32
Phương trình tương đương sinx = 1
6 k
π + π
hoặc x= 5 2
6 k
Câu 7 Số phần tử của tập hợp T là 4
7
A = 840 Gọi abcd là số tự nhiên gồm 4 chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số
1,2,3,4,5,6,7 và lớn hơn 2015
Vì trong các chữ số đã cho không chứa chữ số 0 nên để có số cần tìm thì
a≥2
0.25 Vậy có 6 cách chọn a Sau khi chọn a thì chọn b,c,d có 3
6
A cách chọn Xác suất cần tìm là P =
3 6 4 7
6A
A = 6
Câu 8 Điểm B nằm trên đường thẳng x + 2y – 5 = 0 nên B(5 – 2b ; b)
B ; C đối xứng nhau qua O nên C(2b – 5 ; - b ) và O thuộc BC 0.25 Gọi I là điểm đối xứng của O qua phân giác góc B suy ra I(2;4)
BI
uur
(2b – 3 ; 4 – b ) , CKuuur(11 – 2b ; 2 + b) Tam giác ABC vuông tại A nên BI CKuuuruuur. = 0 ⇔ - 5b2 + 30b – 25 = 0
⇔b= 1 hoặc b= 5
0.25 Với b= 1 thì B(3;1) , C(-3;-1) suy ra A(3;1) nên loại 0.25 Với b= 5 thì B(- 5, 5 ), C(5 ; -5) suy ra A(31 17;
Câu 9
Giải hệ phương trình
( )
2
2
Đk : x ≥ ≥y 0 Nếu x = y thì (2) vô nghiệm nên x > y
(2) ⇔ x y− + 2 - 7x− 7y + 1 – [3(x- y )]2 = 0
⇔ 2 6 6 (1 3 3 ) (1 3 3 ) 0
x y
0.25
Trang 5⇔ (1 3 3 ) 2 (1 3 3 ) 0
− + + −
x > y ≥ 0 nên 2 (1 3 3 )
+ + −
− + + −
> 0 suy ra 1–3x + 3y =0 0.25 Thay y = x – 1
3 vào phương trình (1) ta được 9x2 + 9x(x - 1
3) + 5x – 4(x - 1
3) + 9 1
3
x− = 7
⇔18x2 – 8x + 6x - 8
3 + 9 1
3
x− - 3 = 0
⇔2x(9x – 4 ) + 2
3(9x – 4 ) +3( 9x− 3 - 1 ) = 0 0.25
⇔(9x – 4 ) 2 2 3
x
x
+ +
4
9 vì x > 0 Với x = 4
9 thì y = 1
9 Vậy hệ có nghiệm (x;y) = (4
9; 1
Câu 10
Cho a,b,c thuôc đoạn [1;2] Tìm GTNN của P = ( )
2
a b
c ab bc ca
+
P = ( )
2
a b
c ab bc ca
+ + + + =
( )
2
a b
+ + + +
Ta có 4ab≤(a + b)2 nên P ≥ ( )
2
2 2
4
a b
+
2
2
1 4
a b
c c
+
+ + ÷ + + ÷
0.25
Đặt t = a b
c c+ vì a, b , c thuộc [1;2] nên t thuộc [1;4]
Ta có f(t) =
2 2
4 4
t
t t
+ + , f’(t) = ( )
2 2 2
1 4
t t
t t
+ + + > 0 với mọi t thuộc [1;4]
0.25
Hàm số f(t) đồng biến trên [1;4] nên f(t) đạt GTNN bằng 1
6 khi t = 1 0.25 Dấu bằng xảy ra khi a = b ; a b
c
+
= 1, a,b,c thuộc [1;2] ⇔a =b = 1 và c =2 Vậy MinP = 1
6 khi a =b = 1 và c = 2
0.25
( MỌI CÁCH GIẢI ĐÚNG ĐỀU CHO ĐIỂM THEO THANG ĐIỂM TƯƠNG ỨNG