Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết đỉnh B có tung độ dương.. Câu 8.1,0 điểm Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng D và mặt phẳng a lần lượt Tìm toạ độ giao điểm
Trang 1SỞ GD VÀ ĐT GIA LAI KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015
NGUYỄN BỈNH KHIÊM Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số: 3 2
1
x y
x
-= -a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C biết tiếp tuyến song song với đường thẳng :D y = - x + 1
Câu 2.(1,0 điểm)
a) Giải phương trình: (sinx cosx) + 2 = + 1 cosx
b) Cho số phức z = +1 3i Tìm số nghịch đảo của số phức: w = z2 + z z
Câu 3.(0,5 điểm) Giải phương trình: 1 2 2
2
log (x + 5)+ 2 log (x + 5)=0
Câu 4.(1,0 điểm) Giải hệ phương trình: ( )
( )
2
Câu 5.(1,0 điểm) Tính tích phân: 1 2
I =ò x x+e dx
Câu 6.(1,0 điểm) Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt đáy (ABC), tam giác ABC vuông cân
tại B, SA= a, SB hợp với đáy một góc 300 Tính thể tích của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa
AB và SC
Câu 7.(1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng 144 Gọi điểm
(2;1)
M là trung điểm của đoạn AB; đường phân giác trong góc A có phương trình AD x y: + + =3 0
Đường thẳng AC tạo với đường thẳng AD góc ϕ mà cos 4
5
ϕ = Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết đỉnh B có tung độ dương.
Câu 8.(1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng D và mặt phẳng ( )a lần lượt
Tìm toạ độ giao điểm A của đường thẳng ∆ với mặt phẳng (Oxy Viết phương trình mặt cầu tâm )
A, tiếp xúc với mặt phẳng (α).
Câu 9.(0,5 điểm) Tìm hệ số của x7trong khai triển nhị thức Niu-tơn của
n
x
−2 2 , biết rằng n là số
nguyên dương thỏa mãn 4C n3+1+2C n2 = A n3
Câu 10.(1,0 điểm) Cho các số thực dương x, y thỏa mãn x4 y4 1 xy 2
xy
+ + = + Tìm giá trị lớn nhất
1 2
P
xy
-+
Hết
-Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị 2:
Trang 2ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
1a
(1,0)
y
- Tập xác định: D = ¡ \ {1}
Đạo hàm: 1 2 0,
( 1)
x
-¢ = < " Î
- Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định (- ¥ ;1) và (1;+ ¥ )
và không đạt cực trị
0,25
Giới hạn và tiệm cận: lim 2 ; lim 2 2
;
Bảng biến thiên
y –2
–
+
–2
Giao điểm với trục hoành: 0 2 3 0 3
2
y = Û - x + = Û x = Giao điểm với trục tung: cho x =0Þ y = - 3
0,25
Đồ thị hàm số như hình vẽ bên đây:
0,25
1b
(1,0)
( ) :
1
x
x
=
-Gọi M x y( 0; 0) Î ( )C là tiếp điểm, phương trình tiếp tuyến tại M có dạng
( )
y =f x¢ x - x + y
Vì Tiếp tuyến song song với đường thẳng D:y = - x + 1 nên có hệ số góc f x¢( )0 = - 1
0,25
0 2
0
1
x
x
0,25
Với x0 =2Þ y0 = - 1 pttt là: y + 1 = - 1(x - 2) Û y = - x + 1 ( loại) 0,25
Trang 3 Với x0 = 0Þ y0 = - 3 pttt là: y + 3 = - 1(x- 0) Û y = - x - 3 0,25
2a
(0,5)
Ta có: (s inx cosx) + 2 = + 1 cosx ⇔ + 1 2 sin xcosx = + 1 cosx
⇔
cosx 0
1
s inx=
2
= +
= +
2
6 5
6
Vậy phương trình có 3 họ nghiệm
0,25
2b
(0,5)
Với z = +1 3i , ta có
w = z2 + z z =(1+ 3 )i 2 + (1+ 3 )(1 3 )i - i = +1 6i+ 9i2 + 12 - 9i2 = +2 6i 0,25
i
w
3
(0,5)
2
2
log (x + 5) + 2 log (x + 5) = 0 (*)
Điều kiện:
2 5 0
x
x
ìï + >
-íï + >
ïïî
2 log (x + 5) + 2 log (x + 5) = 0 Û log ( - x + 5) + 2 log (x + 5) = 0
(nhan)
(x + 5) =x + 5 x + 10x + 25=x + 5 10x = - 20 x = - 2
4
(1,0)
( ) ( )
2
1 2 1 4 2 6 3 (1)
1 2 4 8 4 4 (2)
Điều kiện: 2x y+ ≥0
1 4 2x y 2x y 1 6x 3y 0
0,25
Trang 4Do điều kiên 2x y+ ≥0 nên 1 2 2( ) 1 0
x y
Suy ra 4x+2y− = ⇔1 0 4x+2y=1 thế vào phương trình (2) ta được
(x+1 2) x2− + +x 4 2 4x( x+2y) = ⇔4 (x+1 2) x2 − + +x 4 2x− =4 0
Đặt f x( ) (= x+1 2) x2 − + +x 4 2x−4
0,25
Suy ra hàm số đồng biến trên R mà 1 0
2
f = ÷
nên
1 2
x= là nghiệm duy nhất
x= ⇒ = −y (thảo đk)
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ; ) 1; 1
x y = −
0,25
5
(1,0)
1 3 0
1
x
2 1 0
x
B = ò xe dx
2
dt
t =x Þ dt = x dx Þ xdx =
Đổi cận: x 0 1
0,25
Vậy,
1 1
.
t
6
(1,0)
SA ((A BC)) SA A B
A B A BC
ìï ^
íï Ì
chiếu của SB lên (ABC)
do đó ·SBA =300
Tam giác SAB vuông tại A nên
·
· 0
cot
cot cot 30 3
A B SBA
SA
=
Þ
0,25
Trang 5 1 1 3 2
A BC
a
Vậy, thể tích khối chóp S.ABC là: 1 1 3 2 3
V = SA S = × ×a = (đvtt)
0,25
Trong mp(ABC) Kẻ AI//BC và kẻ CI //AB suy ra ABCI là hình vuông cạnh a 3
Trong mp(SAI) kẻ AH vuông góc với SI
A H SI
A H SIC
A H CI CI SA I
ìï ^
ïî
Nên d A B SC( , ) =d A SIC( ;( )) =A H
0,25
Tam giác SAI vuông tại A nên
2 3
A H
Vậy khoảng cách của AB và SC bằng 3
2
a
Học sinh có thể sử dụng phương pháp tọa độ để tìm khoảng cách
0,25
7
(1,0)
Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua AD ⇒M'∈AC
+ Ta có pt MM x y' : − − =1 0
+ Gọi I =MM'∩AD⇒ = − −I ( 1; 2)
+ Do I là trung điểm MM'⇒M' ( 4; 5)= − −
* Đường thẳng AD có vtpt là nr=(1;1)
0,25
Giả sử đường thẳng AC có vtpt là
2 2
1 ( ; ), 0
nur= a b a +b ≠ + Theo giả thiết suy ra:
1
7
r ur
r ur
r ur
0,25
Với a=7b, chọn b= ⇒ = ⇒1 a 7 pt AC: 7x y+ +33 0=
- Điểm M(2;1) là trung điểm của AB⇒ =B ( )9;0 (loại)
Trang 6+ Với b=7a, chọn a= ⇒ = ⇒1 b 7 pt AC x: +7y+39 0=
- Điểm M(2;1) là trung điểm của AB⇒ =B ( )1;8 (thỏa mãn đk) 0,25
48
10 2 và pt : 7 15 0 ( '; )
5 2
SV = d M AB AB= = = SV ⇒d C AB = d M AB Lại vì M’ nằm giữa A, C nên uuurAC=3uuuuurAM'⇒ = −C ( 18; 3)−
Vậy A=(3; 6− ), B=( )1;8 , C= −( 18; 3)− là các điểm cần tìm
0,25
Thay ptts (1) của D vào phương trình z = 0 ta được: - 3+ 3t =0Û t =1
Suy ra giao điểm của đường thẳng D và mp(Oxy) là: (4;3;0) A 0,25 Mặt cầu tâm A, tiếp xúc với ( ) a có bán kính R =d A( ,( ))a =L =2 6 0,5
nên có phương trình: (x - 4)2 + (y - 3)2 + z2 =24 0,25
9
(0,5)
Tìm hệ số của x7trong khai triển nhị thức Niu-tơn của
n
x
−2 2
, biết rằng n là số nguyên
dương thỏa mãn 4C n3+1+2C n2 = A n3
6
) 1 ((
) 1 ( 4 2
+ C A n n n n n n n n n
11
) 2 ( 3 3 ) 1 (
2
=
⇔
−
= + +
⇔
n
n n
(Thỏa điều kiện)
0,25
11 0
3 22 11
11 0
11 2 11
11
=
−
=
− = −
−
=
−
k
k k k k
k k
x x
C x
x
Số hạng chứa x là số hạng ứng với k thỏa mãn 7 22−3k =7⇔k =5
10
(1,0)
Cho các số thực dương x, y thỏa mãn x4 y4 1 xy 2
xy
+ + = + Tìm giá trị lớn nhất của
P
xy
-+
Trang 7Ta có xy 2 2x y2 2 1
xy
+ ³ + đặt t =xy > 0 ta được
1
2
t
0,25
Với x > 0,y > 0 và xy £ ta có 1 1 2 1 2 2
1
+
2
1
0
x y xy
+ + + đúng do x > 0,y > 0 và xy £ 1
Khi đó 4 3 4 3 (2)
P
£
0,25
Xét hàm số f t( ) 14 1 32
-+ + trên 1;1
2
é ù
ê ú
ê ú
ë û
( )
2
2
é ù
Suy ra ( ) 1 7, 1;1 (3)
f t f æöç ÷ t é ù
ê ú
÷= "
£ ç ÷ççè ø÷ Î ê úë û
0,25
Từ (2) và (3) ta có 7
6
P £ Dấu đẳng thức xảy ra khi 1
2
2
x =y Û x =y =
Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 7
6 đạt được khi
1 2
x =y =
0,25
*Lưu ý
Học sinh có lời giải khác với đáp án chấm thi nếu có lập luận đúng dựa vào SGK hiện hành và có kết quả chính xác đến ý nào thì cho điểm tối đa ở ý đó; chỉ cho điểm đến phần học sinh làm đúng từ trên xuống
dưới và phần làm bài sau không cho điểm Điểm toàn bài làm tròn số.
