Tính tọa độ các giao điểm của hai đồ thì trên.. Tính độ dài các cạnh của hình chữ nhật, biết chiều dài hơn chiều rộng 1 m và độ dài mỗi đường chéo của hình chữ nhật là 5 m.. Vẽ các tiếp
Trang 1K× THI TUYÓN SINH líp 10 THPT
N¨M häc 2011 - 2012 M¤N THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút không kể thời gian giao đề
Câu 1 (2 điểm):
a Tính giá trij của các biểu thức: A = 25 + 9; B = 2
( 5 1) − − 5
b Rút gọn biểu thức: P = x y 2 xy : 1
+ + + − Với x > 0, y > 0 và x ≠ y.
Tính giá trị của biểu thức P tại x = 2012 và y = 2011
Câu 2 ((2điểm):
Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ, đồ thị của các hàm số y = x2 và y = 3x – 2
Tính tọa độ các giao điểm của hai đồ thì trên
Câu 3 (2 điểm):
a Tính độ dài các cạnh của hình chữ nhật, biết chiều dài hơn chiều rộng 1 m và độ dài mỗi đường chéo của hình chữ nhật là 5 m
b Tìm m để phương trinh x - 2 x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt
Câu 4 (2 điểm)
Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài đường tròn Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B,C là những tiếp điểm)
a Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp Nêu cách vẽ các tiếp tuyến AB, AC
b BD là đường kính của đường tròn (O; R) Chứng minh: CD//AO
c Cho AO = 2R, tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Câu 5 (2 điểm)
Tìm số tự nhiên n biết: n + S(n) = 2011, trong đó S(n) là tổng các chữ số của n
HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1 (2 điểm):
a Tính giá trij của các biểu thức: A = 25 + 9 = 5 + 3 = 8 ;
( 5 1) − − 5 = ( 5 1) − − 5 = 5 1 − − 5 = − 1
Trang 2b Rút gọn biểu thức: P = x y 2 xy : 1
+ + + − Với x>0, y>0 và x≠y.
P =
2
tại x = 2012 và y = 2011 => P = 1
Câu 2 ((2điểm):
Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ, đồ thị của các hàm số y = x2 và y = 3x – 2
Tính tọa độ các giao điểm của hai đồ thì trên
a) Vẽ đồ thị trên cùng một hệ trục
Vẽ y = 3x-2
Cho x = 0 => y =-2 ; Cho x = 1=> y = 1
HS tự vẽ
Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = x2 và y = 3x – 2 là nghiệm của phương trình:
x2 = 3x - 2 x2 - 3x + 2 = 0
ta có a + b + c = 0 => x1 = 1 => y1 = 1
x2 = 2 => y2 = 4
Vậy tọa độ các giao điểm của hai đồ thì trên là (1; 1) và (2; 4)
Câu 3 (2 điểm):
a Gọi chiều dài là x (m) (ĐK: x > 1), chiều rộng sẽ là x – 1 (m)
Vì độ dài mỗi đường chéo của hình chữ nhật là 5 m Áp dụng Pytago ta có:
x2 + (x - 1)2 = 52 x2 + x2 - 2x +1 – 25 = 0
2x2 – 2x – 24 = 0 x2 - x – 12 = 0
Suy ra: x1 = 4 (TM)
x2 = - 3 (loại)
Vậy chiều dài là 4m, chiều rộng là 3m
Trang 3B
D C
b Tìm m để phương trinh x - 2 x + m = 0 (1) có hai nghiệm phân biệt
Đặt x = t (ĐK: t ≥ 0)
(1) t2 – 2t + m = 0 (2)
Để pt (1) có 2 nghiệm phân biệt thì pt (2) phải có hai nghiệm dương
pt (2) có hai nghiệm dương
'
1 2
1 2
1 m 0
x x 2 0 0 m 1
x x m 0
∆ = − ≥
+ = > ⇔ < ≤
= >
Vậy với 0 m 1 < ≤ pt (1) có 2 nghiệm phân biệt
Câu 4 (2 điểm)
a Ta có ABO 90 · = 0 (T/c là tia tiếp tuyến)
ACO 90 = (T/c tia tiếp tuyến) I H O
=> ABO ACO 180 · + · = 0
Vậy ABOC nội tiếp đường tròn đường kính AO
- Vẽ đường tròn đường kính OA, đường tròn này
cắt (O) tại B và C
- Nối AB ; AC ta có hai tiếp tuyến cần vẽ
b Gọi H là giao điểm của BC và OA
Xét ∆ABC có AB = AC => ∆ABC cân tại A
Do đó AH đồng thời vừa là đường phân giác, đường cao, đường trung trực của ∆ABC => HB = HC Xét ∆BCD có HB = HC (CM trên)
OB = OC (=R)
OH là đường trung bình của ∆BCD
CD//OH hay CD//AO
c ∆ ABC là tam giác cân =>OH = R/2 gọi I là giao điểm của OA và (O ; R) do OA = 2R nên I là trung
điểm của OA, mà AI/AH = 2/3 nên I là trọng tâm của tam giác ABC và cũng là tâm đường tròn nội tiếp của ∆ ABC, vậy bán kính đường tròn nội tiếp r = IH = R/2
Trang 4Câu 5 (2 điểm)
Tìm số tự nhiên n biết: n + S(n) = 2011, trong đó S(n) là tổng các chữ số của n Nếu n có 1, 2, 3 chữ số thì n + S(n) < 1000 + 9 + 9 + 9 < 2011
nếu n có 5 chữ số trở lên thì n + S(n) > 10000 > 2011
Vậy n có 4 chữ số : n abcd = do n < 2011 nên a = 1 hoặc a = 2
TH1: a = 2 ta có nếu b 0 ≠ hoặc c 0 ≠ thì n + S(n) > 2011 VL
Nên b = 0 và c = 0 khi đó : 200d 2 d 2011 + + = Vô lý vì VT chẵn còn VP lẻ
TH2: a = 1, nếu b < 9 thì n + S(n) < 1900 + 1+ 3.9 < 2011
Nên b = 9, khi đó : (1900 + 10c + d) + 1 + 9 + c + d = 2011
Hay 11c + 2d = 101 do d 9 ≤ nên 101 = 11c + 2d ≥ 11c + 18
83
c
11
⇒ ≥ nên c = 8 hoặc c = 9
nếu c = 8 thì 11.8 + 2d = 101 ⇒d = 13/2 vô lý
vậy c = 9 ⇒d = 1
thử lại : 1991 + 1 + 9 + 9 + 1 = 2011 thoả mãn Vậy n = 2011