Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C biết tiếp tuyến tạo với đường tiệm cần của C một tam giác vuông cân.. Tính khoảng cách giữa h
Trang 1ĐỀ SỐ 9
Đề thi thử Đại học lần V năm 2012 – Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội
Câu 1 (2 điểm)
Cho hàm số: 2 1
1
x y x
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến tạo với đường tiệm cần của (C) một tam giác vuông cân
Câu 2 (2 điểm)
1 Giải phương trình: 1 sin cos 2 cos
x
2 Giải phương trình:
3x 7x 3 x 2 3x 5x 1 x 3x4
Câu 3 (1 điểm)
Tính tích phân
6 2
sin 3 cos
o
x
x
Câu 4 (1 điểm)
Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có các cạnh bên là các hình vuông cạnh bằng a Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh BC, A'C', B'C' Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DE và A'F theo a
Câu 5 (1 điểm)
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn
1
abc
a b c
a b c
a b c
Câu 6 (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với đường cao AH có phương trình
3x4y100 và đường phân giác trong BE có phương trình x y 1 0 Điểm M (0; 2) thuộc đường thẳng AB và cách đỉnh C một khoảng bằng 2 Tính diện tích tam giác ABC
2 Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng và đường thẳng lần lượt có phương trình
Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (P) một góc bằng
0
30
Câu 7 (1 điểm)
Trang 2ĐỀ SỐ 9
Đề thi thử Đại học lần V năm 2012 – Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội
Câu 1 (2 điểm)
1 (1 điểm): Học sinh tự giải
2 (1 điểm)
Phương trình các đường tiệm cận là x1 và y 2, chúng lần lượt vuông góc với các trục
Ox và Oy Do đó tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận một tam giác vuông cân khi và chỉ khi nó
(0,25 điểm)
Vì
3
1
x , nên mọi tiếp tuyến của (C) có hệ số góc âm Suy ra tiếp tuyến chỉ có thể vuông góc với đường thẳng yx
Vậy hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình:
3
1
Với x 1 3 y 2 3 Khi đó PT tiếp tuyến là y x 3 2 3
Với x 1 3 y 2 3 Khi đó PT tiếp tuyến là y x 3 2 3
(0,5 điểm)
Câu 2 (2 điểm)
1 (1 điểm)
2
(0,5 điểm)
1 cos
x
x
x
k Z x
(0,5 điểm)
2 (1 điểm)
Trang 3Điều kiện:
2 2 2 2
2 0
x
PT x x x x x x x
(0,5 điểm)
x
Do
0
Với x2 thay vào điều kiện ta thấy thỏa mãn
Vậy nghiệm của phương trình là x2 (0,5 điểm)
Câu 3 (1 điểm)
Đặt
2
sin 3
3cos 3 tan cos
dx
dv
x
2 6
x
(0,5 điểm)
0 0
x
3
I
(0,5 điểm)
Câu 4 (1 điểm)
Từ giả thiết suy ra đáy của lăng trụ là tam giác đều cạnh
a
Gọi K là trung điểm của FC' thì EK song song với A'F
và AD, suy ra A, D, K, E đồng phẳng nên khoảng cách
(0,5 điểm)
Trang 4Ta có EK BB C C' ' , do đó nếu gọi H là hình chiếu của F lên DK thì FH ADKE, suy
ra FH là khoảng cách cần tìm
Trong tam giác vuông DFK có: 1 2 12 12 17
17
a FH
, '
17
a
d DE A F
(0,5 điểm)
Câu 5 (1 điểm)
BĐT cần chứng minh tương đương với 3 3 3 3 3 3 3 3 3
a b c a b b c c a
Từ 1 1 1 a b c
a b c và abc1ab bc ca a b c
a 1b 1c 1 0
(0,5 điểm)
Do x2 x 1 0 x R, nên
2 2 2
a a a b b b c c c
a b c a b b c c a
Câu 6 (2 điểm)
1 (1 điểm)
M' thuộc dt BC
Tính được điểm M' (1; 1) Đường thẳng BC đi qua M'
4x3y 1 0
nghiệm hệ pt:
1 0
4;5
x y
B
x y
Đường thẳng AB đi qua B và M nên có phương trình: 3x4y 8 0
Điểm A là giao điểm của AB và AH nên có tọa độ là nghiệm của hệ pt:
3;
x y
A
x y
(0,5 điểm)
Điểm C thuộc BC và MC = 2 nên tọa độ là nghiệm của hệ pt:
Trang 5 2
25 25
C
Thế tọa độ A và C (1; 1) vào phương trình đường thẳng BE ta được hai giá trị trái dấu nên B
và C (1; 1) khác phía đối với BE, do đó BE là phân giác trong của tam giác ABC
Tương tự nếu 31 33;
25 25
thì A và C cùng phía đối với BE nên BE là phân giác ngoài của
tam giác ABC
Tính được BC = 5 và AH = d (A, BC) = 49
20 Do đó 49
8
ABC
S (đvdt)
(0,5 điểm)
2 (1 điểm)
Gọi phương trình mặt phẳng (Q) là Ax + By + Cz + D = 0 với 2 2 2
0
A B C
Do (Q) chứa d nên (Q) chứa điểm M (−1; −1; 3) và vectơ pháp tuyến của (Q) vuông góc với vectơ chỉ phương của đường thẳng d Tức là 2A B C 0 và A B 3C D 0
Mặt khác góc giữa (P) và (Q) bằng 0
30 nên ta có
cos30 = 0
2 6
(0,5 điểm)
Từ đó ta có hệ phương trình:
0
4
A
Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là: y z 4 0
(0,5 điểm)
Câu 7 (1 điểm)
Trang 62
1
1 2
1 2