Tìm trên đồ thị C những điểm có tổng khoảng cách đến hai đường tiệm cận nhỏ nhất.. Gọi E là trung điểm của cạnh AD.. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.CDE... 1 điểm Tam giác
Trang 1ĐỀ SỐ 8
Đ ề t h i t h ử Đ ạ i h ọ c l ầ n V I I I n ă m 2 0 1 2 –
T r ư ờ n g T H P T c h u y ê n Đ H S P H à N ộ i
Câu 1 (2 điểm) Cho hàm số: y = 2x 1
x 1
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Tìm trên đồ thị (C) những điểm có tổng khoảng cách đến hai đường tiệm cận nhỏ nhất
Câu 2 (1 điểm) Giải phương trình:
Câu 3 (1 điểm) Giải phương trình: 2(x2 + 2) = 5 x31
Câu 4 (1 điểm) Tính tích phân: I =
2 4
x 1 sin 2x dx 4
1 sin 2x
Câu 5 (1 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có SA = a là chiều cao của hình chóp, đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B có AB = BC = a và AD = 2a Gọi E là trung điểm của cạnh AD Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.CDE
Câu 6 (1 điểm)
Tìm các giá trị nguyên của m để hệ phương trình sau có nghiệm:
2
x 12x 40 y(y 2x 12) 4m(m 1)
Câu 7 (1 điểm)
Trong mặt phẳng Oxy, hãy lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết các đỉnh B (0; 1), C (−2; 1) và trực tâm của tam giác là H (1; −2)
Câu 8 (1 điểm)
Trong không gian Oxyz cho hai điểm A (4; 2; 2), B (0; 0; 7) và đường thẳng d có phương
trình:
Tìm tọa độ điểm C trên d để tam giác ABC cân tại A
Câu 9 (1 điểm) Tìm tất cả các số phức z sao cho: z2
= z 3
Trang 2ĐỀ SỐ 8
Đ ề t h i t h ử Đ ạ i h ọ c l ầ n V I I I n ă m 2 0 1 2 –
T r ư ờ n g T H P T c h u y ê n Đ H S P H à N ộ i
Câu 1 (2 điểm)
1 (1 điểm) Học sinh tự giải
2 (1 điểm)
Gọi M là điểm thuộc (C) thì M ( 0
0
3
, trong đó x0 1 Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là MH1 = x01và đến tiệm cận ngang là
2
0
3
MH
(0,5 điểm)
Tổng khoảng cách giữa hai đường tiệm cận là d = 0
0
3
Theo bất đẳng thức Côsi: 0
0
3
0
3
0
0
(thỏa mãn x0 1) Suy ra có hai điểm M ( 3 1; 21 3)và M (2 3 1; 2 3)
(0,5 điểm)
Câu 2 (1 điểm)
1 2sin x.cos 2x sin x 2 3 cos x.( cos 2x ) 2
2
Vậy nghiệm của phương trình là: x 2k , (k Z)
(0,5 điểm)
Câu 3 (1 điểm)
Điều kiện x 1
Pt 2(x2 2) 5 (x 1)(x 2 x 1)
Đặt u = x 1 0và v = x2 x 1 0
Phương trình trở thành: 2(u2
+ v2) = 5uv (2u v)(u 2v) 0
Trang 3(0,5 điểm)
− Nếu 2u – v = 0 2
2
(thỏa mãn đk x 1)
Vậy nghiệm của phương trình là x = 5 37
2
(0,5 điểm)
Câu 4 (1 điểm)
Ta có
2
2
(sin x cos x)
cos (x )
4
Đặt t = x dx dt
4
, với x
4
thì t = 0; với x
2
thì t =
4
2
1
cos t
2 2
2
4
0
0
(0,5 điểm)
Câu 5 (1 điểm)
Tam giác CDE vuông cân tại E nên trục của
đường tròn đi qua ba điểm C, D, E là đường
thẳng d đi qua trung điểm I của đoạn CD và
song song với SA Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của SE và SC Theo giả thiết suy ra
SAE
vuông cân tại A nên (ABNM)
là mặt phẳng trung trực của đoạn SE
Vậy tâm O của mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp S.CDE là giao điểm của d
và mp (ABNM)
Gọi K là trung điểm của AB thì KN // AM nên KN // (SAE)
Do đó IK // (SAE) nên KN và d đồng phẳng, khi đó O là giao điểm của KN với d
(0,5 điểm)
Do OKIMAE450 nên OIKvuông cân
Ta có IK 1(BC AD) 3a, CD a 2
S
O
D
B
A
K
N
M
E
I
C
Trang 4Suy ra OC2 OI2 IC2 9a 2a
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CDE là r
= OC = a 11
2 Do đó VS.CDE 11 a3 11
6
Câu 6 (1 điểm)
Hệ pt
2
(0,5 điểm)
Suy ra
2
Do mZ nên từ (1) suy ra m 2; 1;0 Thay các giá trị m vào (2) ta được m 2 Với
m 2khi đó hệ trở thành:
2
2
Ta thấy nghiệm của hệ phương trình x y 4 2 2
là (x; y) = (4 2; 2)cũng là nghiệm của hệ (3)
Vậy với giá trị nguyên của m 2 thì hệ pt đã cho có nghiệm
(0,5 điểm)
Câu 7 (1 điểm)
Kẻ các đường cao BE, CF ta có tứ giác AEHF nội tiếp
nên BAC EHF 180 0 Gọi H’ là điểm đối xứng với H
qua đường thẳng BC thì BHCBH 'C
Suy ra H’ thuộc đường tròn ngoại tiếp ABC
(0,5 điểm) Giả sử H’ (x; y) thì HH 'BCvà BHBH '
Từ đó ta có hệ 2(x 1)2 02 2 2 H '(1; 4)
Gọi I (x ; y) là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC, ta có IB = IC = IH’ nên ta có hệ phương trình:
x (y 1) (x 2) (y 1)
x (y 1) (x 1) (y 4)
A
H
H’
E
F
Trang 5Giải hệ trên ta được I( 1; 3) và bán kính đường tròn là r = IB = 5
Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là (x + 1)2
+ (y – 3)2 = 5 Lưu ý: Có thể xác định điểm A bằng cách BH AC, CH AB Từ đó viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC (0,5 điểm)
Câu 8 (1 điểm)
Giả sử Cd thỏa mãn bài toán, khi đó C (3 2t; 6 2t; 1 t )
ABC
cân tại A AB2 AC2 (1 2t)2 (4 2t)2 (t 1)2 45 t 1
Với t = 1, ta tìm được C (1; 8; 2)1
Với t = –3 ta tìm được C (9;0; 2)2
Vậy trên đường thẳng d có hai điểm C (1;8; 2), C (9; 0;1 2 2)thỏa mãn yêu cầu bài toán
Câu 9 (1 điểm)
Giả sử z = x + yi 2 2 2
y 0
Suy ra z2 z3 y2 y6 y 0 z 0
Nếu y = 0 z x z3 x3
