Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số 2.. Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của C.. Hãy tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.. Viết phương trình mặt phẳng P chứa
Trang 1ĐỀ SỐ 11
Đề thi thử Đại học lần III năm 2012 – Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội
Câu I (2 điểm)
Cho hàm số: 2 1
1
x y x
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của (C) Với giá trị nào của m, đường thẳng y =
−x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác IAB đều
Câu II (2 điểm)
1 Giải phương trình 2
(cos s inx.tan )
x x
2 Tìm các giá trị của tham số a để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt:
log x a log x a 1 0
Câu III (1 điểm) Tính tích phân
2 6
0
2sin
4 os2
x
c x
Câu IV (1 điểm)
Tứ diện ABCD có cạnh AB = 6, cạnh CD = 8 và các cạnh còn lại bằng 74 Hãy tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
Câu V (1 điểm) Cho các số dương a, b, c, m, n, p thỏa mãn:
a + m = b + n = c + p = k
Chứng minh rằng: an + bp + cm < k2
Câu VI (2 điểm)
1 Cho điểm M(0; 2) và hyperbol (H):
1
x x Lập phương trình đường thẳng (d) đi
qua điểm M cắt (H) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho 5
3
2 Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S): x2y2z26x2y2z140 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oz cắt mặt cầu theo một đường tròn có bán kính r = 4
Câu VII (1 điểm)
Giải hệ bất phương trình
2 1
2
3
log 2 x 0
4
x 4 1 x
9
Trang 2ĐỀ SỐ 11
Đề thi thử Đại học lần III năm 2012 – Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội
Câu I
1 HS tự giải
2 Tìm m…
Đường thẳng y = −x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình sau có hai nghiệm phân biệt
1
2 1
, :
1
x x
x
5
(*) 1
m
m
m m
(0,25 điểm)
Ta có I(1; 2), x1 + x2 = m – 1 và x1x2 = m – 1 Gọi A(x1; y1), B(x2; y2) và H là trung điểm của
AB Khi đó yi = −xi + m (i = 1, 2) và H
Tam giác IAB đều
3
(**) 4
2
(0,25 điểm)
IB x x x x m Do x1 + x2 = m – 1 nên đẳng thức này đúng
với mọi m thỏa mãn (*) (0,25 điểm)
3
2
Các giá trị này của m đều thỏa mãn (*) Đáp số m 3 6 (0,25 điểm)
Câu II
1 Giải phương trình…
ĐK: cosx 0, cos 0
2
x
Phương trình đã cho 2
s inx.sin
cos
os 2
x
x
c
(0,5
điểm)
Trang 3t anx 0
t anx 3
3
x k
So sánh với điều kiện, nghiệm của phương trình là 2 , ,
3
x k x k k Z
(0,5 điểm)
2 Tìm giá trị của tham số a…
Điều kiện 8
3
log x 0 x 1 PT log3x22a log3x2 a 1 0
3
log x 0 Phương trình đã cho trở thành t2
+ 2at + a + 1 = 0 (1) Nhận xét: với mỗi t 0, phương trình 2
3
log x = 1
nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có đúng một nghiệm không âm (0,5 điểm)
− Nếu a + 1 = 0 thì a = −1 PT (1) trở thành 2 0
2
t
t t
t
(loại)
− Nếu a −1, khi đó t = 0 không là nghiệm của (1) Để phương trình có đúng một nghiệm
dương thì:
+ Trường hợp 1 PT (1) có 2 nghiệm trái dấu a + 1 < 0 a < −1 (0,5 điểm)
+ Trường hợp 2 Phương trình (1) có nghiệm kép dương
2
2
0
2
1 0
a
a
Đáp số: a < −1; 1 5
2
Câu III
Tính tích phân
2
cos s inx
1 sin 2 2
x x
(0,5 điểm)
6 0
ln cos s inx ln
(0,5 điểm)
Câu IV
Tính diện tích mặt cầu
Theo giả thiết DA = DB = CA = CB = 74 , tam giác ACB cân nên tâm I của đường tròn
ngoại tiếp tam giác ACB thuộc đường cao CE Ta có tam giác CAB = tam giác DAB do đó
Trang 4EC = ED CED cân đường cao EF của tam giác CED là đường vuông góc chung của
AB và CD đồng thời là trung trực của AB, CD Vậy tâm O hình cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD nằm trên EF (0,5 điểm)
Ta có EF2 = ED2 – DF2 mà ED2 = 74 – 9 = 65 EF2 = 65 – 16 = 49 EF = 7
R R = 7 ta được R = 5 Do đó diện tích mặt cầu là 2
S R t(đvdt) (0,5 điểm)
Câu V Chứng minh rằng…
Ta có:
k3 = (a + m)(b + n)(c + p) = abc + mnp + abp + can + anp + bcm + bmp + cmn
Mặt khác k(an + bp + cm) = an(c + p) + bp(a + m) + cm(b + n) = abp + can + anp + bcm + cmn
Vậy k3
= abc + mnp + k(an + bp + cm) > k(an + bp + cm) k2 > an + bp + cm (đpcm)
Câu VI
1 Viết phương trình đường thẳng…
Nhận xét: đường thẳng đi qua M(0; 2) song song với trục Oy không cắt (H)
Khi đó (d): y = kx + 2 Tọa độ giao điểm của (d) với (H) là nghiệm của hệ phương trình:
2
y kx
Để d H A B, 1 có hai nghiệm phân biệt
2
2
1 1
(2) 2
20 16 0
2
k k
k
(1 điểm)
Khi đó (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 là hoành độ của A và B, thỏa mãn
16
20 ,
x x
k
x x
k
MA MB x x , khi đó ta có:
2
k k
(thỏa mãn (2))
Vậy có hai đường thẳn thỏa mãn bài toán: (d1): y = x + 2, (d2) y = −x + 2
(0,5 điểm)
2 Viết phương trình mặt phẳng…
Mặt cầu (S) có tâm là I(−3; 1; 1) và bán kính R = 5
Trang 5Gọi H(a; b; c) là hình chiếu của I lên mặt phẳng (P) Mặt phẳng (P) chứa trục Oz nên có vecto pháp tuyến n k OH, trong đó k(0; 0; 1) và OH(a; b; c) Suy ra n= (−b; a; 0) với a2 + b2
0 Suy ra phương trình mặt phẳng (P) có dạng: −bx + ay = 0 (0,5 điểm)
Mặt phẳng (P) cắt (S) theo đường tròn có bán kính r = 4
3
Như vậy khoảng cách từ I đến (P) bằng
3
b a
2
0
4
a
a ab
a b
Vậy có hai mặt phẳng (P) lần lượt có phương trình là x = 0, 4x – 3y = 0
(0,5 điểm)
Câu VII Giải hệ bất phương trình…
1
2
log 2x 0 2 x 1 x 1
Xét hàm số 6 23
f x x x với x 1 Đặt t = x2
, 0 t 1thì f(x) trở thành g(t) = t3
+ 4(1 – t)3 = g’(t) = 3t2 – 12(1 – t)2
g’(t) = 0 t2 = 4(1 – t)2 2 2
0;1 2
3 3
t
t t
(0,5 điểm)
0 4, 1 1
g g g
min( ) m inf
t x Suy ra bất phương
trình 6 4(1 2 3) 4
9
x x nghiệm đúng x 1;1
Tóm lại: Tập nghiệm của hệ bất phương trình là S = [−1; 1]