Đề thi thử đại học chuyên ĐHSP năm 2012 môn toán (1)

Chứng minh rằng các tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1 tại A và B song song với nhau.. Hãy tính độ dài các cạnh còn lại của tứ diện, biết rằng các cạnh đó đều có độ dài bằng nhau.

ĐỀ SỐ 10

Đề thi thử Đại học lần IV năm 2012 – Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội

Câu 1 (2 điểm) Cho hàm số 3 2

3

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với m = 0

2 Tìm các giá trị của m, để đường thẳng (d) đi qua điểm I (−1; 2) với hệ số góc bằng (−m) cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A, B, I Chứng minh rằng các tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại A và B song song với nhau

Câu 2 (2 điểm)

1 Giải phương trình: 12 12 8cot cot

2 Giải hệ phương trình: 7 2 4







Câu 3 (1 điểm) Tính tích phân

 

1

2

dx I





Câu 4 (1 điểm)

Cho hình chóp S.ABCD có thể tích bằng 18 (đvtt), cạnh SD = 6 Hãy tính độ dài các cạnh

còn lại của tứ diện, biết rằng các cạnh đó đều có độ dài bằng nhau

Câu 5 (1 điểm)

Cho ba số thực x, y, z thay đổi thỏa mãn 2 2 20

1

  







Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3 3 3

Px y z

Câu 6 (2 điểm)

1 Trong mặt phẳng Oxy cho 3 đường thẳng d1:x  y 2 0, d2: 2x  y 3 0,

3: 3 5 0

d x  y Tìm độ dài các đỉnh hình vuông ABCD, biết rằng A C, d B1, d D2, d3

2 Trong không gian Oxyz cho mặt cầu

2 2 2

( ) :S x y z 4x6y2z280 và hai đường thẳng

1

5 2

13 2

  



  



   





Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với 2 đường thẳng

1, 2

d d

Câu 7 (1 điểm)

Cho số phức z thỏa mãn 1 18

2

z z

z



 

 Hãy tính

4 2





ĐỀ SỐ 10

Đề thi thử Đại học lần IV năm 2012 – Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội

Câu 1 (2 điểm)

1 (1 điểm) Học sinh tự giải

2 (1 điểm)

Đường thẳng : y m x(  1) 2

Xét pt: x33x2mx m  mx m 2    2 

 cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt pt sau có 2 nghiệm phân biệt khác

(−1): x22x2m 2 0 (*)

(**)

m

m m



Gọi x x là hai nghiệm của (*) và 1, 2 A x y 1, 1 ,B x y2, 2 là 2 giao điểm

Hệ số góc của hai tiếp tuyến tại A và B là

k y x  x  x  m x  x m

Mặt khác x là nghiệm của (*) nên 1

(0,5 điểm)

Bây giờ ta sẽ chứng minh hai tiếp tuyến không thể trùng nhau

Đặt k 6 5m Phương trình hai tiếp tuyến là: ykx kx iy i

Nếu hai tiếp tuyến trùng nhau, tức là

kx kx y kx kx y  x R k x 2x1 y1 y2 0

x2 x1k m 0 k m 0

2

Điều này mâu thuẫn với (**)

Vậy với 3

2

m thì hai tiếp tuyến tại A và B song song với nhau

Lưu ý: có thể giải cách khác bằng việc chứng minh điểm I là tâm đối xứng của đồ thị hàm số

đã cho

(0,5 điểm)

Câu 2 (2 điểm)

1 (1 điểm)

Điều kiện:

sin 2 0







x

Khi đó pt  2 2  2 2

3 sin xcos x 8sin xcos x

(0,5 điểm)

3cos 2x 2sin 2x 3cos 2x 2(1 cos 2 )x

So sánh với điều kiện, nghiệm của phương trình là ( )

3

x  k k Z

(0,5 điểm)

2 (1 điểm)

Điểu kiện:

x

 





  



Ta có 7x y 2x  y 4 7x y 2x y 4

5 16

8

x

(0,5 điểm)

Thay vào pt thứ hai được:

 

x



    (các giá trị vừa tính được của x và y đều thỏa mãn điều

kiện)

Vậy hệ phương trình có nghiệm 56, 13

(0,5 điểm)

Câu 3 (1 điểm)

Ta có

1 1

3

dx I



 2

1

x

x



  Với x = 0 thì t 2, x = 1 thì t 5

(0,5 điểm)

Khi đó:

5

(0,5 điểm)

Câu 4 (1 điểm)

vuông tại S

= DA

SI AC ACBDIC SBD

(0,5 điểm)

SBCD

V  CI SB SD x CD ID

36

4

SABCD SBCD

Ta có phương trình:

Vậy độ dài các cạnh còn lại của tứ diện là x3 2

(0,5 điểm)

Câu 5 (1 điểm)

Từ

 2

2

x y z   xy  xyz   z  xy xyz 

3

2

P z z  

 

1

(0,5 điểm)

( ) 3

2

f z  z  z với 2; 2

3 3

Bảng biến thiên:

3

6

6

2 3

f(z)

z x  y thỏa mãn đề bài và ( ) 1

6

f z 

Vậy max P = 1

6

(0,5 điểm)

Câu VI (2 điểm)

1 (1 điểm)

Đặt A a( ; 2a C c), ( ; 2c B b b), ( ; 2 3), ( ;3D d d5) Gọi I là tâm hình vuông thì

;

Ta có BD(db d;3 2b8)

Do

1

Id BDd BDu    d b d b 

Từ đó có hệ phương trình:

2

3

b d



(0,5 điểm)

Vậy

1 3 ( 2; 1), (3; 4) & ;

2 2

2

2 2

3

a

a

 



Hai nghiệm trên là hoành độ của A và C

Tóm lại ( 2;4), ( 2; 1), (3; 1), (3;4)A B  C  D hoặc

A(3; 1), ( 2; 1), ( 2; 4), (3; 4) B   C  D

(0,5 điểm)

2 (1 điểm)

Gọi các vectơ chỉ phương của d1&d2 lần lượt là

1 (2; 3; 2) & 2 (3; 2;1)

Mặt phẳng (P) song song với d1&d2 nên có vectơ pháp tuyến là

1, 2

n u u = 3

2

 

 

2

1 ;

2 1

2

3 ;

2 3

3 2







  = (1; 4; 5)

Phương trình mặt phẳng (P): x4y5z D 0 (0,5 điểm)

Tâm của (S) là I (2; −3; 1) và bán kính R 42

Do (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên khoảng cách từ I đến (P) bằng bán kính R, suy ra

37

1 16 25

D D

D





Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn bài toán: ( ) :P1 x4y5z470 và 2

( ) :P x4y5z370 (0,5 điểm)

Câu 7 (1 điểm)

2

z

z





2 4

 





z i (thỏa mãn z2)







i