Đề thi toán quốc gia lần 1

Viết phương trình mặt cầu S tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng P.. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABC là trung điểm H của cạnh AB.. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giá

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

THANH HÓA

TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 2

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN 1

NĂM HỌC 2014 - 2015 Môn: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số 1 (1)

1

x y x





 và đường thẳng d: y x m. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)

b) Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B đồng thời các tiếp tuyến

của (C) tại A và B song song với nhau

Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình: sin 2x2sinx 1 cos 2x (x)

Câu 3 (1,0 điểm) Tính tích phân

1

1 ( ) ln

e

x

 

Câu 4 (1,0 điểm)

a) Một hộp đựng 3 viên bi xanh, 4 viên bi đỏ và 5 viên bi vàng Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi Tính xác suất để 3 viên được chọn có cả ba màu

b) Giải phương trình: 2

log x4log (3 ) 7x  0 trên tập hợp số thực.

Câu 5 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ): 2P x y 2z 1 0

và điểm A(3;0; 2) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (P) Tìm tọa

độ tiếp điểm của (S) và (P)

Câu 6 (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông tại A và AB2a,AC2a 3 Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của cạnh AB Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 0

30 Tính theo a thể tích của khối chóp S ABC và khoảng cách từ trung điểm M của cạnh BC đến mặt phẳng (SAC)

Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I(3;5)và ngoại tiếp đường tròn tâm K(1; 4) Đường tròn tiếp xúc với cạnh BC và các cạnh

AB, AC kéo dài (đường tròn bàng tiếp cạnh BC) có tâm là F(11; 14) Viết phương trình đường thẳng BC và đường cao qua đỉnh A của tam giác ABC

Câu 8 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:

2





Câu 9 (1,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 12 22 22

c a b Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức

P

Hết

Thí sinh không được sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh:………, Số báo danh:………

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

THANH HÓA

TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 2

ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN 1

NĂM HỌC 2014 - 2015 Môn: TOÁN

Đáp án gồm 5 trang

ĐÁP ÁN-THANG ĐIỂM

Câu Đáp án Điểm

1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 1 (1)

1

x y x





 Tập xác định: D\ 1

 Sự biến thiên:

- Chiều biến thiên: ' 2 2 0

x

 hàm số nghịch biến trên từng khoảng xá định và không có cực trị

0,25

- Giới hạn và tiệm cận: lim lim 1

    ; tiệm cận ngang là: y=1

      tiệm cận đứng là: x= -1

0,25

- Bảng biến thiên: x  1 

y’  

y  1

0,25

 Đồ thị

Nhận xét: Đồ thị  C nhận điểm uốn I1;1 làm tâm đối xứng

0,25

b)Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B đồng thời các tiếp

PT hoành độ giao điểm của ĐT hs  1 với đường thẳng d:

2

1 1

1

x x

x m

x

 





0,25

ĐT (C) cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi PT (2) có 2 nghiệm phân biệt

khác -1

2

m g



0,25

Khi đó x x A, B là nghiệm của phương trình (2) Do tiếp tuyên tại A và B song với nhau nên ta có:

( )

'( ) '( )

2

x x l





Theo định lý Viet ta có: x Ax B m 2 Do đó m    2 2 m 0

0,25

0.25

2 Giải phương trình: sin 2x2sinx 1 cos 2x (x) 1,0

2

sin 2x2sinx 1 cos 2xsin 2x2sinx 1 cos 2x 0 2sin cosx x2sinx2sin x0 0,25

s inx+cosx= -1

2

 





 Vậy nghiệm của phương trình là : 2 ;  

2

x   k  xk k



0,25

3

Tính tích phân

1

1 ( ) ln

e

x

1

e x

x

 Tính 2

1

ln

e

I x xdx , đặt

2 2

1

2

e

dx du

v









0,5

4 a) Một hộp đựng 3 viên bi xanh, 4 viên bi đỏ và 5 viên bi vàng Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi

Tính xác suất để 3 viên được chọn có cả ba màu

b) Giải phương trình: 2

log x4log (3 ) 7x  0 trên tập hợp số thực.

1,0

Số cách chọn 3 viên bi có đủ 3 màu là 3.4.5=60 Do đó xác suất cần tính là 60 3

220 11

b) Điều kiện x>0

Với điều kiện trên PT đã cho tương đương với 2

3

3

5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ): 2P x y 2z 1 0và điểm

(3;0; 2)

A  Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (P) Tìm tọa độ

tiếp điểm của (S) và (P)

1,0

Phương trình mặt cầu (S): 2 2 2

Gọi H là tiếp điểm của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P), suy ra AH ( )P do đó vectơ pháp tuyến

của (P) cũng là vectơ chỉ phương của AH Phương trình đường thẳng AH là:

3 2

2 2

 



 



   



0.25

( )

6 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông tại A và AB2a,AC2a 3 Hình chiếu

vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của cạnh AB Góc giữa hai mặt

phẳng (SBC) và (ABC) bằng 300 Tính theo a thể tích của khối chóp S ABC và khoảng

cách từ trung điểm M của cạnh BC đến mặt phẳng (SAC)

1,0

Diện tích ABC là:

2

dt ABC  AB AC a

Trong mpABC kẻ HKBC tại K

Từ giả thiết ta có: 𝑆𝐾𝐻 = 300

0,25

Có BC AB2AC2 4a

sinABC = AC

2 Trong tam giác SHK có:

SH = HKtanSKH = a

2

Thể tích của khối chóp là: 1   3 3

a

V  SH dt ABC  (đvtt)

0,25

Do M là trung điểm của cạnh BC nên MH song song với AC, do đó MH song song với mặt

phẳng (SAC), suy ra khoảng cách từ M đến mặt (SAC) bằng khoảng cách từ H đến mặt (SAC)

Trong mp SABkẻ HDSA tại D Ta có: ACSABACDHDH SAC

0,25

5

a HD

DH  HA HS   Vậy 𝑑 𝑀; 𝑆𝐴𝐶 = 𝑑 𝐻; 𝑆𝐴𝐶 = 𝐻𝐷 = 𝑎 55 0,25

B

S

H

K M D

7 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I(3;5)và ngoại tiếp đường tròn tâm K(1; 4) Đường tròn tiếp xúc với cạnh BC và các cạnh AB, AC

kéo dài (đường tròn bàng tiếp cạnh BC) có tâm là F(11; 14) Viết phương trình đường thẳng

BC và đường cao qua đỉnh A của tam giác ABC

1,0

 Ta có F là giao điểm của đường phân giác trong góc A với các đường phân giác ngoài của

các góc B và C, suy ra 𝐶𝐹⟘𝐶𝐾, 𝐵𝐹⟘𝐵𝐾, do đó tứ giác BKCF nội tiếp đường tròn đường kính

FK

0,25

 Gọi D là giao điểm của AK với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Ta có:

𝐷𝐾𝐶 =𝐵𝐴𝐶

2 +𝐴𝐶𝐵2 = 𝐷𝐶𝐾 , suy ra tam giác DCK cân tại D, do đó DK= DC = DB nên D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BKC hay D là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BKCF, do vậy

D là trung điểm của FK, suy ra D(6; 9)

0,25

 Tính được ID=5, phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:

(x − 3)2 + (y − 5)2 = 25 (C1)

𝐷𝐾 = 50, phương trình đường tròn ngoại tiếp tứ giác BKCF là:

(x − 6)2+ (y − 9)2 = 50 (C2)

Tọa độ B, C là nghiệm của hệ

(x − 3)2 + (y − 5)2 = 25

(x − 6)2 + (y − 9)2 = 50 ⇔ x2 + y2 − 6x − 10y + 9 = 0

x2 + y2 − 12x − 18y + 67 = 0 ⇒

⇒6𝑥 + 8𝑦−58=0 ⇔3𝑥+4𝑦−29=0(1)

Tọa độ B, C thỏa mãn phương trình (1), mà (1) là phương trình của một đường thẳng, mặt khác

C1 , (C2) cắt nhau do đó phương trình (1) là phương trình đường thẳng BC Vậy BC có phương

trình là: 3𝑥 + 4𝑦 − 29 = 0(1)

( có thể giải hệ ta được B(-1; 8), C(7; 2) và viết được phương trình BC)

0,25

 Phương trình FK: x-y+3=0

A, D là giao của FK với (C1) , suy ra A(-1; 2),

do đó phương trình đường cao AH là:

4x -3y+10=0

0,25

8

 

2







( ,x y) 1,0

Đk: yxy 9 0

Ta có: y2 1 y2  y   y y y2 1 0, nhân 2 vế PT (1) với 2

y y  

C B

I

A

K

D

F

Xét hàm số:   2

1

t t

t t



biến trên  (3) f x(  1) f(    y) x 1 y

0,25

Pt  2 trở thành: x2 8 x2 3 2015x2014  3

0,25

Đặt:

2015

T

x

(4)    x 1 0 x 1(thỏa mãn)

Vậy hệ pt đã cho có nghiệm: 1; 2 

0,25

9

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 12 22 22

c  a b Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức

P

1,0

Ta có:

(1) 2

c  a b a b  , và

1

P

Đặt :

1

0,25

Mặt khác

1

0,25

x y

x y

0,25

t t



3

3

x y

x y

 





0,25

………Hết………