Từ A kẻ các tiếp tuyến AB và AC đến đường tròn O B và C là các tiếp điểm.. Các đường thẳng MB và MC cắt lại đường tròn O ,tương ứng, tại E và F.. Gọi D là giao điểm của đường thẳng EF v
Trang 1ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM HỌC 2002-2003
MÔN: TOÁN (Bảng A)
Ngày thi : 12/3/2003
Bài 1 : Cho hàm số f xác định trên tập hợp số thực R, lấy giá trị trên R và
thoả mãn điều kiện :
f(cotgx) = sin2x + cos2x với mọi x thuộc khoảng (0; )
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số :
g(x) = f(x).f(1-x) trên đoạn [-1;1]
Bài 2 : Trong mặt phẳng , cho hai đường tròn cố định (O ) và (O ) tiếp xúc
với nhau tại điểm M , và bán kính của đường tròn (O ) lớn hơn bán kính của đường tròn (O ) Xét điểm A nằm trên đường tròn (O ) sao cho 3 điểm O ,O ,A không thẳng hàng Từ A kẻ các tiếp tuyến AB và AC đến đường tròn (O ) (B và C là các tiếp điểm) Các đường thẳng MB và MC cắt lại đường tròn (O ),tương ứng, tại E và F Gọi D là giao điểm của đường thẳng EF và tiếp tuyến tại A của đường tròn (O ) Chứng minh rằng điểm D di động trên một đường thẳng cố định , khi A di động trên đường tròn (O ) sao cho
ba điểm O ,O ,A không thẳng hàng
( (O) kí hiệu đường tròn tâm O)
Bài 3 : Với mỗi số nguyên n>1 , kí hiệu s là số các hoàn vị (a ,a ,….,a )
của n số nguyên dương đầu tiên , mà mỗi hoán vị (a ,a ,…., a ) đều có tính chất 1 |a - k| 2 với mọi k = 1,2,3,…,n
Chứng minh rằng : 1,75.s < s < 2.s với mọi số nguyên n >6
Trang 2
-ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM HỌC 2002-2003
MÔN: TOÁN (Bảng A)
Ngày thi : 13/3/2003
Bài 4 : Hãy tìm số nguyên dương n lớn nhất sao cho hệ phương trình :
(x+1) + y = (x+2) + y2
2 = … = (x+k) + y = … = (x+n) + y
có nghiệm nguyên (x,y ,y ,….,y )
Bài 5 : Cho hai đa thức :
P(x) = 4x - 2x - 15x + 9
1/ Chứng minh rằng mỗi đa thức đã cho đều có ba nghiệm thực phân biệt 2/ Kí hiệu α và β tương ứng là nghiệm lớn nhất của P(x) và Q(x) Chứng minh rằng: α + 3β = 4
Bài 6 : Cho tập hợp F gồm tất cả các hàm số f : R R thoả mãn điều kiện:
f(3x) f(f(2x)) + x với mọi số thực dương x
Hãy tìm số thực α lớn nhất sao cho với mọi hàm số f thuộc tập hợp F
ta đều có :
f(x) α với mọi số thực dương x
( R kí hiệu tập hợp các số thực dương)