tài liệu ôn thi kỳ thi THPT môn toán quốc gia 2015 bộ 1.DOC

Chú ý: Giải phương trình trùng phương- các bạn bấm máy tính như giải pt bậc 2 nhưng chỉ lấy nghiệm không âm, sau đó giải để tìm ra x - Lấy thêm một số điểm nếu cần- điều này làm sau khi

TÀI LIỆU ÔN TẬP THI KỲ THI QUỐC GIA NĂM 2015

MÔN: TOÁN (BỘ 1)

I KHUNG CHƯƠNG TRÌNH ÔN TẬP

1 Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan 20 - 25

2 Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình 10 - 20

Chuyên đề 1 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ VÀ BÀI

TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

+Đạo hàm của tích hai hàm số : (u.v)’=u’.v+u.v’ và (k.u)’=k.u’.

Đặc biệt nếu k là hằng số thì: k.u x  ' k.u ' x 

+ Đạo hàm của thương hai hàm số

' 2

+ Tìm các điểm tại đó đạo hàm y’ bằng 0 hoặc không xác định

+ Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số

* Tìm cực trị

+Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)

+ Lập bảng biến thiên (Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên)

b) Các dạng bài tập tương tự cho học sinh tự làm

Bài tập: Tìm đạo hàm của hàm số:

c) 4 2

y5x  4x 1

d) y=(x+2)(x+3)

2 Tiến hành giải quyết nội dung chuyên đề

a) Ví dụ ôn lại kiến thức cơ bản

SƠ ĐỒ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM BẬC BA: y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a  0)

- Giao của đồ thị với trục Oy: x=0 =>y= d => (0; d)

- Giao của đồ thị với trục Ox: 3 2

y 0 ax +bx +cx+d 0 x?

- Các điểm CĐ; CT nếu có

(Chú ý: Nếu nghiệm bấm máy tính được 3 nghiệm thì OK, còn nếu được 1 nghiệm

nguyên thì phải đưa về tích của một hàm bậc nhất và một hàm bậc hai để giải nghiệm Trường hợp cả ba nghiệm đều lẻ thì chỉ ghi ra ở giấy nháp để phục vụ cho việc vẽ đồ thị)

- Lấy thêm một số điểm (nếu cần)- (điều này làm sau khi hình dung hình dạng của đồ thị.

Thiếu bên nào học sinh lấy điểm phía bên đó, không lấy tùy tiện mất thời gian.)

Ví dụ 1 Cho hàm số y = 3 2

x  6x 9x (1)a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1)

b) Dựa vào đồ thị (C) của hàm số (1) biện luận theo m số nghiệm của phương trình

Giao Với trục Oy tại điểm (0;0)

Giao Với trục Ox tại điểm (0;0), (3;0)

b Dựa vào đồ thị (C) của hàm số (1) biện luận

theo m số nghiệm của phương trình

x  x  x m

Ta có: x3 6x29x m (*)

Số nghiệm của phương trình (*) là số

giao điểm của đồ thị hàm số (1) Với đường

thẳng y = m Dựa vào đồ thị hàm số (1) ta có:

Nếu m 4 hoặc m 0 thì phương trình (*) có một nghiệm

Nếu m = 4 hoặc m = 0 thì phương trình (*) có hai nghiệm

Nếu 0m4thì phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt

O

x

y

Ví dụ 2 Cho hàm số y = -x3+3x-2 (2)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (2)

b Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình x3-3x+2+m=0

1

x y

x

Trên khoảng 1;1, y’>0 nên hàm số đồng biến

Trên khoảng   ; 1 và1; , y’<0 nên hàm số nghịch biến

Giao Với Ox tại A(1;0) và B(-2;0)

Giao Với Oy tại C(0;-2)

b Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm của phương trình x3-3x+2+m=0

Ta có: x3-3x+2+m=0  -x3+3x-2 = m (*)

Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y=m

- 4 < m < 0 phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt

m = -4 hoặc m= 0 phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt

m> 0 hoặc m< - 4 phương trình (*) có 1 nghiệm

SƠ ĐỒ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐT HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG y = ax 4 + bx 2 + c (a  0)

x 0

x 0

bx2ax +b=0

Chú ý: Đến buớc này cần lập bảng biên thiên ra nháp, sau đó dựa vào bảng biến thiên kết luận các bước tiếp theo

- Giao của đồ thị với trục Oy: x=0 =>y= c => (0;c)

- Giao của đồ thị với trục Ox: 4 2

y 0 ax +bx +c 0 x ? (?;0)

- Các điểm CĐ; CT nếu có

(Chú ý: Giải phương trình trùng phương- các bạn bấm máy tính như giải pt bậc 2

nhưng chỉ lấy nghiệm không âm, sau đó giải để tìm ra x)

- Lấy thêm một số điểm (nếu cần)- (điều này làm sau khi hình dung hình dạng của đồ thị.

Thiếu bên nào học sinh lấy điểm phía bên đó, không lấy tùy tiện mất thời gian.)

Ví dụ 3 Cho hàm số 4 2

yx  8x 10a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Dựa vào đồ thị (C) hãy biên luận theo tham số m số nghiệm của phương trình:

( 2 ; +)

y’ < 0 với mọi x (   ; 2)(0;2), suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( -; -2)

và ( 0 ; 2)

b Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0 ,yCĐ = 10

Hàm số đạt cực tiêu tại điểm x = 2 ; yCT = -6

+) Nếu m < -6 thì phương trình (*) vô nghiệm

+) Nếu m = -6 thì phương trình (*) có hai nghiệm kép

+) Nếu -6 < m < 10 thì phương trình (*) có 4 nghiệm phân biết

+) Nếu m = 10 thì phương trình (*) có 3 nghiệm (1 kép và 2 đơn)

+) Nếu m > 10 thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

Ví dụ 4 Cho hàm số y = 4 2

-x + 2x + 3 (C)

a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm sô (C)

b Tìm m để Phương trình 4 2

x - 2x m  có 4 nghiệm phân biệt0

c Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = 2

Hàm số đạt cực đại tại hai điểm x = - 1 và x =1; yCĐ = 4

Hàm số đạt cực tiêu tại điểm x = 0 ; yCT = 3

b, Phương trình đã cho tương đương với phương trình 4 2

Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên.

- Lấy thêm một số điểm (nếu cần) (điều này làm sau khi hình dung hình dạng của đồ thị

Thiếu bên nào học sinh lấy điểm phía bên đó, không lấy tùy tiện mất thời gian.)

- Nhận xét về đặc trưng của đồ thị Đồ thị nhận điểm I( d a; )

Giao với trục Oy tại điểm ( 0 ; - 1)

Giao với trục Ox tại điểm ( 1 ; 0 )

Tâm đối xứng là điểm (-1; 1)

Giao với trục Oy tại điểm ( 0 ; - 1)

Giao với trục Ox tại điểm ( 1

2

 ; 0 )Tâm đối xứng là điểm (1; 2)

b) Các dạng bài tập tương tự tại lớp:

b Dựa vào đồ thị (C) của hàm số (2) biện luận theo m số nghiệm của phương trình

2x 3x  1 m0

Bài 3: Cho hàm số 4 2

yx  2x  có đồ thị (C)1a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến Với đồ thị (C) tại điểm cực đại của (C)

c) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình

x  2x  1 m 0

Bài 4:

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) y = f(x) = x4 – 2x2

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của nó đường thẳng y = 8

c) Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình: x4 – 2x2 – m = 0

Bài 6: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C )của hàm số y 3x 2

B2 Phương trình tiếp tuyến tại điểm M0(x0;f(x0)) là y = f’(x0)(x - x0) + y0 (*)

* Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) khi biết trước hệ số góc k

Biết k = y’(x0) => x0, y0 thay vào (*)

(Hai đường thẳng vuông góc thì k’.k = -1, hai đường thẳng song song thì hệ số góc bằng nhau)

* Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) biết tiếp tuyến đi qua M(x1;y1)

Giả sử đường thẳng d đi qua M có hệ số góc k, đường thẳng d có dạng y = k(x – x1) + y1 (1) Để đường thẳng d là tiếp tuyến thì hệ sau có nghiệm f(x) k(x x ) y1 1

2 Tiến hành giải quyết nội dung chuyên đề

a) Ví dụ ôn lại kiến thức cơ bản

Bài 1: Cho hàm số y = 3 2

x  6x 9x (1)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1)

b.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(2;2)

c Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = 6x + 1

-Giải

b.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(2;2)

Với x0 = -1 => y0 = - 16 Phương trình tiếp tuyến là: y = -6x – 22

Bài 2: Cho hàm số 4 2

yx  8x 10a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm cực đại của đồ thị (C)

Giải

b) Theo kết quả của ý a thì điểm cực đại (0;10)

Ta có '

f (0) suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm cực đại là: y=100

Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x 2

2x 1





 a) Tại điểm có hoành độ bằng 1

b) Tại điểm có tung độ bằng 4

 Tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k = 1

2

0 0

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (2)

b Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hệ số góc k =-9

Với x0 = - 2 => y0 = 0 Phương trình tiếp tuyến là: y = -9x – 18

c) Các dạng bài tập giao cho học sinh làm ở nhà:

Bài 9 : Cho hàm số: y = 2x 4

x 1

 

 có đồ thị (C)1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

2) Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [1; 2]

3) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng -2

4)Viết phương rình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 1

5) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó có hệ số góc k = 2

6) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó song song Với đường thẳng y = 8x

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m=1

2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của nó với đường thẳng y =19

Bài 12 : Cho hàm số yx33x2 (1)

a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1)

b Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 1

c Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hệ số góc k = 2

Bài 13 : Cho hàm số y2x33x2 (2)1

a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (2)

b Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x = 0

c Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng

y = -1

2x + 3

CHỦ ĐỀ 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

1 Một số kiến thức bổ trợ

*Quy tắc tìm GTLN và GTNN của hàm số y = f(x) trên đoạn [a;b]

1/ Tìm các điểm x1, x2, …, xn trên khoảng (a, b) tại đó f’(x) bằng không hoặc f’(x) khôngxác định

+ Nếu hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên đoạn [a;b] thì giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

đạt được tại các đầu mút

+ Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = f(x) không phải trên một đoạn thì ta đi lập bảng biến thiên, suy ra GTLN và GTNN (nếu có)

2 Tiến hành giải quyết nội dung chuyên đề

a) Ví dụ ôn lại kiến thức cơ bản

x 3xf(x) 2 cos x 2 cos 2x 4 cos cos

b) Các dạng bài tập tương tự tại lớp:

Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y 2 x 1

  

2x

c) Các dạng bài tập giao cho học sinh làm ở nhà: (GV hướng dẫn cách giải từng dạng bài)

Bài 9: (Đề TN 2008, L2, Ban KHTN): Tìm GTLN, GTNN của hàm số 4 2

y2x 4x  trên3đoạn

0;2

Bài 10: (Đề TN 2008, L2, Ban KHXH): Tìm GTLN, GTNN của hàm số 3 2

y2x  6x  trên1đoạn

1;1

Bài 11: Tìm GTLN,GTNN của các hàm số sau:

1 Một số kiến thức bổ trợ

a) Hàm số y = ax xác định trên R

+ Nếu a > 1 thì hàm số đồng biến trên R

+ Nếu 0 < a < 1 thì hàm số nghịch biến trên R

VD1 Giải các phương trình sau:

a) x 8

2   2 c) 2 x2 3x

Nhận xét: Ta thường sử dụng phương pháp này đối với các phương trình, bất phương trình mũ

mà các cơ số của nó có thể đưa về cùng một cơ số với số mũ nguyên.

Dạng 2: Dùng ẩn phụ.

Khi sử dụng phương pháp này ta nên thực hiện theo các bước sau:

B1: Đưa pt, bpt về dạng ẩn phụ quen thuộc.

B2: Đặt ẩn phụ thích hợp và tìm điều kiện cho ẩn phụ.

B3: Giải pt, bpt với ẩn phụ mới và tìm nghiệm thỏa điều kiện.

B4: Thay giá trị t tìm được vào  giải PT, bpt mũ cơ bản

B5: Kết luận.

Sau đây là một số dấu hiệu

Loại 1: Các số hạng trong pt, bpt có thể biểu diễn qua f(x)

A.a B.a C0 (Hay : ,   , )  trùng phương ẩn t

Lưu ý: Trong loại này ta còn gặp một số bài mà sau khi đặt ẩn phụ ta thu được một phương trình, Bpt vẫn chứa x ta gọi đó là các bài toán đặt ẩn phụ không hoàn toàn.

Loại 2: Phương trình đẳng cấp bậc n đối với f (x)

Loại 3: Trong pt, bpt có chứa 2 cơ số nghịch đảo

t2   và giải tương tự trên.0

Dạng 3: Phương pháp logarit hóa.

Đôi khi ta không thể giải một PT, BPT mũ bằng cách đưa về cùng một cơ số hay dùng ấn phụđược, khi đó ta thể lấy logarit hai vế theo cùng một sơ số thích hợp nào đó  PT, BPT mũ cơ

bản (phương pháp này gọi là logarit hóa).

Dấu hiệu nhận biết: PT loại này thường có dạng f (x) g(x) h(x)

a b c  ( nói chung là trongd

phương trình có chứa nhiều cơ số khác nhau và số mũ cũng khác nhau)  khi đó ta có thể lấy logarit 2 vế theo cơ số a (hoặc b, hoặc c).

VD6 Giải các phương trình sau:

3 2  log 33 x log 23  xlog 23

Vậy phương trình có nghiệm xlog 23

Nhận xét: Ta thường sử dụng phương pháp lôgarit hóa cho những phương trình, bất phương

trình mũ có dạng lũy thừa tầng hoặc tích các lũy thừa có cơ số khác nhau.

Dạng 4 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Cho D là một khoảng, một đoạn, nửa đoạn Nếu f(x) đồng biến trên D hoặc f(x) nghịch biếntrên D thì ta có:

+) Phương trình f(x) 0 có nhiều nhất một nghiệm trên D

+) Phương trình f(x) f(y) xy trên D

f) 3.25x - 2 + (3x- 10)5x - 2 + 3 - x = 0.

II) Phương trình và bất phương trình lôgarít

1 Một số kiến thức bổ trợ.

a Hàm số y = logax xác định khi x > 0

+ Nếu a > 1 thì hàm số đồng biến.

+ Nếu 0 < a < 1 thì hàm số nghịch biến

b Một số tính chất đối với hàm số logarit

+) log (xy)a log xa log ya ,

xlog log x log y

  ,

1log x log b log x, log x

log a

2) Tiến hành giải quyết chuyên đề

2.1 Một số dạng toán.

Dạng 1: Đưa 2 vế của phương trình và bất phương trình về cùng 1 cơ số.

1 log f(x)a log g(x)a  f(x) = g(x) 2 log f(x)a b  f(x) = ab

3 log f(x)a log g(x)a , xẩy ra 2 khả năng

+ Nếu a > 1 thì bpt  f(x) > g(x)

+ Nếu 0 < a < 1 thì bpt  f(x) < g(x)

4 log f(x)a b, xẩy ra 2 khả năng

+ Nếu a > 1 thì bpt  f(x) > ab.+ Nếu 0 < a < 1 thì bpt  f(x) < ab

Lưu ý rằng với các PT, BPT logarit ta cần phải đặt điều kiện để các biểu thức log a f(x) có nghĩa

Giải.

x 1 2(2x 11)3x 21

Vậy phương trình có nghiệm x = 7

VD2 Giải các bất phương trình sau:

log (3x 5) log (x 1)

(2)

log  x  3x 2 log  x 2 log  (x 5) (3).

      vô nghiệm Vậy (3) vô nghiệm

Nhận xét: Ta thường sử dụng phương pháp này đối với các phương trình, bất phương trình 3

lôgarit mà các cơ số của nó có thể đưa về cùng một cơ số với số mũ nguyên.

VD4 Giải các phương trình sau:

Nhận xét: Ta sử dụng phương pháp mũ hóa cho những phương trình, bất phương trình lôgarit

để đưa nó về phương trình, bất phương trình mũ, đại số,… đã biết cách giải

Dạng 4 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Đặt 2 2

ax  x 3, b2x 4x 5 (a, b 0) ta được phương trình: log a a3  log b b3  (*) Vì

hàm số f(t)log t3 t đồng biến trên khoảng (0;) nên (*) a b x 1

VD8 Giải phương trình: log2 2 3(x2 2x 2) log2 3(x2 2x 3)

1.1 Công thức cộng lượng giác

cos(x y) cos x cos y sin x.sin y cos(x y) cos x cos y sin x.sin y

sin(x y) sin x cos y sin y cos x sin(x y) sin x cos y sin y cos x

tan tantan( )

x y x y x y x ycos x cos y 2 cos cos cos x cos y 2 sin sin

d) sin u cos v sin u sin v

c) cos u  cos v  cos u cos(  v)

d) cos u sin v cos u cos v

cos x  1 cos x 1 sin x  0 sin x 0  x k (kZ).

1.9 Phương trình tanx = tan

a) tan x tan  x  k (kZ)

b) tan x a  x arctan a k (kZ)

c) tan u  tan v  tan u tan( v)

d) tan u cot v tan u tan v

* Phương trình chứa cotx thì điều kiện: x k (k  Z)

* Phương trình chứa cả tanx và cotx thì điều kiện x k (k Z)

+) Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện.

+) Dùng đường tròn lượng giác

+) Giải các phương trình vô định

2) Tiến hành giải quyết chuyên đề

VD2 Giải các phương trình sau

a) 8cos2xsin2xcos4x = 2 b) 2sin2x + cos3x = 1

c) 3sin22x + 7cos2x – 3 = 0 d) sin22x – 2cos2x + 3

4 = 0

VD3 Giải các phương trình sau.

sin x 10 sin x cos x 21cos x  0 b) 2sin12x + 3 cos5x + sin5x = 0

c) cosx 3 sin x 2 cos x

3



  d) cos7x sin 5x  3(cos 5x sin 7x)

VD4 Giải các phương trình sau

a) sin x.sin 7xsin 3x.sin 5x b) sin 5x sin 3x sin 4x

sin xcos 2x cos 3x d) cos3x – 2cos 2x + cosx = 0

Bài 2 Giải các phương trình sau

a) ( D - 2013) sin 3xcos 2x sinx0 b) (B - 2013) 2

  d) (B- 2014) 2 s inx 2 cos x    2 sin 2x

e) ( A - 2014) s inx4 cos x = 2 + sin2x

2.3 Bài tập về nhà.

Bài 4 Giải các phương trình sau

a) (A-2011): 1 s in2x cos2x2 2 sin x sin 2x

1 cot x





b) (B-2011): sin 2xcosx sin xcosx co s 2x sin x cos x 

c) (D-2011): sin 2x 2 cos x s inx 1 0

f) (B-2012): 2(cosx 3 sin x) cos xcos x 3 sin x 1.

g) (D-2012): sin3x cos3x sinx cosx    2cos2x

h) (CD-2012): 2 cos 2x s inx sin 3x

k) (D - 2006) :cos 3xcos 2x cos x 1  0

x y

y x

(Đề thi vào trường chuyên Hà Tĩnh)

11

x y

y x

Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x = y = 0

Do vậy hệ có nghiệm duy nhất x = y = 0

147

02

3 2

2 2

2

y x x

y x y

)1(3)1(7

)1(2

)1(

3 2

2 2

y x

x y

0)1(

)1(

2008 2007

2007 2007

2 2 2

z y

x

xz yz xy z

y x

11

113

a y

y y x

y a x

2

1

113

a y

x

y a x

(II)

Điều kiện cần

Thấy rằng nếu có nghiệm (x0,y0) thì hệ cũng có nghiệm (x0, -y0)

Bởi vậy điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất là y0 = 0

Thay y0 = 0 vào (II) ta có

a x

a x

1

a a

113

2

2

y x

y x

113

43

2

2

y x

y x

y x

y x

Vậy tập hợp các giá trị của a tương thích với yêu cầu bài toán là

x y

a y x

355

3

2 2

5

)1(3

3

2 2

2

x x

y

y x

Để ý: 2 3 3





x Dấu đẳng thức xẩy ra khi x = y = 0

Suy ra (1)  x = y = 0 Thấy rằng x = y = 0 cũng là nghiệm của (2) Vậy x = y = 0 là nghiệmduy nhất của hệ

Tóm lại: Tập hợp các giá trị phải tìm của a là a = 3

32

2 2

2 2 2

xy xz

yz y

x

yz xz xy z

y x

(I) (Đề thi giáo viên giỏi huyện Cẩm Xuyên năm 2004)

)(

03)

()

(

2

2 2

y x z y

x

z y x z y

v

y x

v u x

03

2

2 2

zv v

z zu u

1

y x

1

y x

 Hệ đã cho có nghiệm (-1; 0; -2)

Hệ đã cho có hai nghiệm là (1; 0; 2) và (-1; 0; -2)

Nhận xét:

- Số ẩn nhiều hơn số phương trình suy ra đặc biệt hóa một ẩn xem là tham số

- Sự vắng mặt hạng tử z2 trong phương trình (2) cho ta thấy thiếu bình đẳng của nó đối với x và

)3(16

5)3)(

2(

)2(8

4

)1(2

3)3(

2 2

3

z

x x

x z

y y

z

y x

Giải.

Xem z là tham số, khi đó phương trình (2) trở thành 4(y - 1)2 = 4 - z2 (2')

Phương trình (2') có nghiệm khi và chỉ khi z2  4  -2z2 (5)

z z

Thay z = 0 vào các phương trình (2') và (3') ta có x = - 4, 







2

0

y y

Cặp giá trị (x = - 4; y = 0; z = 0) không thỏa mản hệ phương trình đã cho

Cặp giá trị (x = -4; y = 2; z = 0) thỏa mản hệ phương trình đã cho

Thay z = 2 vào các phương trình (2') và (3') ta có x = -4 ; y = 1

Cặp giá trị (x = -4; y = 1; z = 2) thỏa mản hệ phương trình đã cho

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là (- 4; 2; 0) và (- 4; 1; 2)

Nhận xét:

Sự có mặt của bất đẳng thức (4) cho thấy tính đặc biệt của ẩn z đối với hệ đã cho

Khi z được đặc biệt hóa, thì (2), (3) theo thứ tự trở thành phương trình một ẩn đối với x, y.Nhờ đó ta thu được các đánh giá độc lập đối với biến z

)2(2

)1(2

2007 2007

2008

2007 2007

2008

2007 2007

2008

y x

z

z x

y

z y

Thay vào (1) ta có 2x2008 = x2007x2007 = 2x2007 suy ra x = 1 (do x > 0)

Vậy hệ có nghiệm duy nhất : x = y = z = 1

2) Phương pháp hàm số.

Ta thực hiện theo các bước sau :

Bước 1 : Đặt điều kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa.

Bước 2 : Từ hệ ban đầu chúng ta xác định được một phương trình hệ quả theo 1 ẩn hoặc

cả hai ẩn, giải phương trình này bằng phương pháp hàm số đã biết

Bước 3 : Giải hệ mới nhận được.

f t  t 5t;t 1;1 có   2  

f ' t 3t  50; t  1;1 do đó f(t) nghịch biến trên khoảng [-1;1] hay PT (1) xy thay vào PT (2) ta được PT : 8 4

x x 1 0giải phương trình ta được 1 5 4 1 5

g(a) nghịch biến trên R và do PT (4) có nghiệm a=0 nên PT (4) có nghiệm duy nhất a=0

Từ đó ta được nghiệm của hệ ban đầu là : x=y=1

VD3 Giải hệ phương trình :

x

2 (y -1) (x y) x y

+) Với y=1, ta được (3)  0=-| x+1|  x= -1 không thoả mãn (1)

+) Với x+y=0, ta được (3)  1-y=0  y=1 => x= -1 không thoả mãn (1)

+) Với x+y ≠ 0 và y-1 ≠ 0, ta được     1 1

Dấu bằng xảy ra khi x y 1

 thử lại ta được nghiệm của hệ là : (0;0) , (1;1)

Bài 2 Giải hệ phương trình

3 3