Phương trình trở thành 0,25 GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 - http://nguyenkhachuong.tk.
Trang 1TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015
Môn : TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút ,không kể thời gian giao đề
Câu 1(2 điểm). Cho hàm số ( ) 3 2 ( )
2 3 1
y= f x = - x + x + C
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình
( )
'' 0
f x = .
Câu 2 a) Cho cos 4 , 0
p
a= æç- <a< ö ÷
è ø . Tính giá trị biểu thức A sin 4 cos 4
= ç - ÷ ç + ÷
è ø è ø . b) Cho số phức z = - Tìm phần thực và phần ảo của số phức 3 2 i w=iz- z
Câu 3(0.5 điểm). Giải phương trình 2e x+2e- x - =5 0, xÎ R .
Câu 4(1 điểm) Tính tích phân
1
1
ln
e
x
æ ö
= ç + ÷
è ø
Câu 5(0.5 điểm). Trong cuộc thi “ Rung chuông vàng”, đội Thủ Đức có 20 bạn lọt vào vòng chung
kết, trong đó có 5 bạn nữ và 15 bạn nam. Để sắp xếp vị trí chơi, ban tổ chức chia các bạn thành 4 nhóm A, B, C, D, mỗi nhóm có 5 bạn. Việc chia nhóm được thực hiện bằng cách bốc thăm ngẫu
nhiên. Tính xác suất để 5 bạn nữ thuộc cùng một nhóm.
Câu 6(1 điểm) Trong không gian cho hình chóp S.ABCD, tứ giác ABCD là hình thang cân, hai
đáy là BC và AD. Biết SA=a 2,AD=2 , a AB=BC=CD= Hình chiếu vuông góc của S trên a
mặt phẳng ABCD trùng với trung điểm cạnh AD. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và
khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AD.
Câu 7(1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC là I - ( 2;1 ) và thỏa mãn điều kiện · 90 AIB = °. Chân đường cao kẻ từ A đến BC là D - - ( 1; 1 ) . Đường thẳng AC qua M - ( 1; 4 ) . Tìm tọa độ các đỉnh A, B biết đỉnh A có hoành độ dương.
Câu 8(1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A( 1; 1; 2 ,- ) ( B 3; 0; 4 - ) và mặt phẳng (P) : x 2 y 2 z 5- + - = Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (P). Viết 0
phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng AB và vuông góc với mặt phẳng (P).
2
2
;
x R
ì + + - - = +
ï
Î
í
- - + - = -
ï
Câu 10(1 điểm). Cho a, b, c là các số dương và a b c + + = Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3
P
GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 - http://nguyenkhachuong.tk
Trang 2CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM
1
a
Tập xác định D= R
0,25
= - 2 +
' 6 6
é =
= Û ê
=
ë
0 ' 0
1
x
y
x
®-¥ = +¥ ®+¥ = -¥
lim ; lim
+¥
-¥
2
1
x
y
y
0,25 Hàm số đồng biến trên khoảng ( ) 0;1 .
Hàm số nghịch biến trên khoảng ( -¥; 0 ; 1; ) ( +¥ ) .
Hàm số đạt cực đại tại x=1,y CD = 2.
Hàm số đạt cực tiểu tại x=0,y CT = 1.
Bảng giá trị
1
1 0 1 2
2
3
2
x
y
-
-
0,25
Trang 32
( )
'' 12 6
f x = - x +
( ) 0
1 3
2 2
f x = f æç ö ÷ =
Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng
3 1 3
2 2 2
3 3
2 4
x
æ ö
= ç - ÷ +
è ø
= +
0,25
a
2
sin cos 1 sin 1 cos
4 9
1
5 25
3 sin
5
a
æ ö
= -ç ÷ =
è ø
Û = ±
2
p a
- < < nên sin 3
5
a = -
0,25
sin cos
1
sin 2 sin
1
2 sin cos 1
2
49
50
p
a
= ç - ÷ ç + ÷
= ê + ç- ÷ ú
è ø
= -
0,25
b
3 2
( 3 2 ) ( 3 2 )
1
i
= - - +
= - +
Phần thực là 1
Phần ảo là 1.
0,25
3
-
+ - = Û 2 - + =
2 x 2 x 5 0 2 x 5 x 2 0.
Đặt t=e ,x t > 0 . Phương trình trở thành
0,25
GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 - http://nguyenkhachuong.tk
Trang 4é =
ê
- + = Û
ê =
ê
2
2
2
t
t t
t
é = é =
ê = ê =
ê
ë
x
x
ln2
e 2
1
1
ln
e
2
2
x
4
a
1
1
ln
e
x
æ ö
= ç + ÷
è ø
ò
1
x
0,25
1
1
ln
e
I = ò x xdx
ln
x
dv= xdx chọn
2
2
x
v =
2
1
1
1
1
1
ln
1
2 4 4 4
e
x
= - = +
ò
0,25
2
1
1
ln
e
x
= ò
Đặt t ln x dt 1 dx
x
= Þ =
Đổi cận 1
0 1
t
1
2
1
2 2
t
I =ò tdt = =
0,25
2
3
4 4
e
5
Có n ( ) W = C C C C 205 155 105 5 5 cách chia 20 bạn vào 4 nhóm, mỗi nhóm 5 bạn. 0,25
Trang 5Xét 5 bạn nữ thuộc nhóm A có C C C 15 10 5 cách chia các bạn nam vào các nhóm còn lại. Do vai trò
các nhóm như nhau nên có WA = 4 C C C 155 105 5 5
20
4
(A)
P
C
=
6
I
S
Ta có
2
3 3
3
4
a
S = S =
Xét D SBI vuông tại I có: SI2=SB2-BI2=a2 ÞSI= a
3
a
V = SI S =
0,25
.
3 , , (SBC) I,(SBC) SIBC
SBC
AD BC
AD SBC
BC SBC
V
S
ü
Þ
ý
Ì ï
P
P
0,25
.
2
7
4
SBC
a
0,25
Vậy ( , ) 21
7
a
GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 - http://nguyenkhachuong.tk
Trang 6· AIB=90° Þ· BCA =45 ° hoặc · 135 BCA = °
Suy ra CAD · 45 = ° Þ D ADC cân tại D.
Ta có DI^ AC Khi đó phương trình đường thẳng AC có dạng: x-2y + = 9 0 .
0.25
( 2 9; ) , ( 8 2 ; 1 )
A a- a uuur AD= - a - - a
( )
1
5
1; 5 (n)
a
a
A
= Û - + =
=
é
Û ê =
ë
Þ
0.25
Phương trình BD : x+3y + = 4 0
Phương trình BI: 3x+4y + = 5 0
0.25
( 2; 2 )
8
( 2;1; 6 )
AB = -
uuur
là vtcp của đường thẳng AB.
1 2
1
2 6
= +
ì
ï
= - + Î
í
ï = -
î
0.25
Gọi M là giao điểm của AB và (P). Khi đó M( 1 2 ; 1+ t - +t ; 2 6 - t )
(P) 1 2 2 1 2 2 6 5 0
1
6
t
Û =
4 5
; ;1
3 6
Þ ç - ÷
0.25
Vtpt n( ) Q =éëAB n , ( ) P ù û = -( 10; 10; 5 - - )
r uuur r
0.25
2
2
0
1 0
xy x y y
y x
y
ì + - - ³
ï
- - ³
í
ï - ³
î
0.25
Trang 7Đặt u= x-y v, = y + 1 ( u³0,v ³ 0 )
Khi đó (1) trở thành : u2+3uv-4v 2 = 0
4 ( )
u v
u v vn
=
é
Û ê = -
ë
Với u= v ta có x=2y + 1 , thay vào (2) ta được : 4y2 -2y- +3 y- = 1 2 y
2
4y 2y 3 2y 1 y 1 1 0
0.25
( )
2
0
1 1
4 2 3 2 1
y
- +
2
1 1
4 2 3 2 1
y
y
ç - - + - - + ÷
0.25
2
y
Û = ( vì
2
0 1
1 1
4 2 3 2 1
y
y
- +
- - + -
)
Với y = 2 thì x = 5 . Đối chiếu Đk ta được nghiệm của hệ PT là ( 5; 2 )
0.25
10
Vì a + b + c = 3 ta có
a+bc = a a+ +b c +bc = a+b a+ c
1 1
2
bc
a b a c
+ +
( )( )
a+b+a+ c ³ a+b a+ c , dấu đẳng thức xảy raÛ b = c
0,25
2
3
ca ca
b a b c
b ca
+ +
2
3
ab ab
c a c b
c ab
+ +
bc ca ab bc ab ca a b c
0,25
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. Vậy max P = 3
2 khi a = b = c = 1.
0,25
GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 - http://nguyenkhachuong.tk
