Tìm tọa độ điểm M thuộc C sao cho tiếp tuyến của đồ thị tại điểm đó song song với đường thẳng y= 9x + 3.. Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của đa giác đó.. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 - LẦN I
————————— Thời gian làm bài: 180 phút ( không kể thời gian phát đề)
—————————————-Câu 1 (2,0 điểm).Cho hàm số y = x3− 3x2+ 4 (1)
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
2. Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của đồ thị tại điểm đó song song với đường thẳng
y= 9x + 3
Câu 2 (1,0 điểm).
a)Giải phương trình: cos 2x + 2 sin x = 1 +√
3 sin 2x
b)Giải phương trình: log3(x2+ 2x) + log1
3(3x + 2) = 0 trên tập số thực
Câu 3 (1,0 điểm).Tính tích phân: I =
2 R
1
1 + x2ex
x dx
Câu 4 (1,0 điểm).
a)Cho số phức z thỏa mãn (1 + i)z + 2z = 2 Tính mô đun của số phức ω = z + 2 + 3i
b)Cho một đa giác đều 12 đỉnh A1A2 A12 nội tiếp đường tròn (O) Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của đa giác
đó Tính xác suất để 4 đỉnh được chọn ra tạo thành một hình chữ nhật
Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; −2; 1) và mặt phẳng (P) :
x− 2y + 2z + 5 = 0 Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) và viết phương trình mặt cầu tâm A cắt mặt phẳng (P) theo một đường tròn có chu vi bằng 6π
Câu 6 (1,0 điểm).Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = 2a√
2 Hình chiếu của S lên mặt phẳng đáy là trọng tâm của tam giác ABC Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD) bằng 60◦ Tính theo a theo thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình bình hành ABCD có góc dABC nhọn, đỉnh A(−2; −1) Gọi H, K, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng BC, BD,CD Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác HKE là (C) : x2+ y2+ x + 4y + 3 = 0 Tìm toạ độ các đỉnh B,C, D biết H có hoành độ âm, C có hoành độ dương và nằm trên đường thẳng x − y − 3 = 0
Câu 8 (1,0 điểm).Giải hệ phương trình
(
3py3(2x − y) +px2(5y2− 4x2) = 4y2
√
2 − x + √
y+ 1 + 2 = x + y2 (x, y ∈ R)
Câu 9 (1,0 điểm).
Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn 4(a3+ b3) + c3= 2(a + b + c)(ac + bc − 2)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 2a
2 3a2+ b2+ 2a(c + 2)+
b+ c
a+ b + c + 2−(a + b)
2+ c2
16 .
——HẾT——
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh:
GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 - http://nguyenkhachuong.tk
Trang 2
SỞ GD & ĐT NGHỆ AN KỲ THI THỬ QUỐC GIA THPT NĂM 2015-LẦN I TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA MÔN : TOÁN
( Đáp án – thang điểm gồm 04 trang)
1
(2,0)
Tập xác định:
Sự biến thiên :
-Chiều biến thiên: Ta có
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng và ; nghịch biến trên khoảng
0,25
0,25 -Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0 yCĐ = 4,hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 2 yCT = 0
-Giới hạn: lim lim ( 3 3 2 4) ;
Đồ thị hàm số không có tiệm cận
-Bảng biến thiên
x 0 2
y
,
+ 0 - 0 +
y
4
0
Đồ thị: Đồ thị cắt Oy tại điểm (0;4), cắt Ox tại điểm
(-1;0) và (2;0)
x
y
3 2
4
-1
0,25
0,25
0; 0 3 0 4
M x x x là điểm thuộc đồ thị (C )
Vì tiếp tuyến của đồ thị tại M song song với đường thẳng d :y9x3 nên có hệ số góc k 9
0,5 Vậy M ( 1;0) và M(3; 4) đều không thuộc d nên thỏa mãn yêu cầu bài toán 0,25
2
(1,0)
a) Phương trình đã cho tương đương:
1 sin
3 cos sin 1 0
x
x
0,25
+ Với
sin
5
x
xk x k x k k
0,25
b) Điều kiện: Phương trình đã cho tương đương:
0,25
GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 - http://nguyenkhachuong.tk
Trang 32 2
log (x 2 )x log (3x2) 0 log (x 2 )x log (3x2)
2
x
x
Đối chiếu điều kiện ta có phương trình đã cho có nghiệm x 2
0,25
3
(1,0) Ta có
x dx
xe dx x
Tính:
2
2 1 1
dx
x
0,25 Đặt u x dudx dv; e dx x chọn ve x Suy ra
2
1
4
(1,0) a) Đặt z a bi a b , Theo bài ra ta có: 3 2 1
Khi đó z 2 3i 1 i 2 3i 3 4i
b) Không gian mẫu là tập hợp tất cả các cách chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh trong 12 đỉnh
Gọi A là biến cố: “4 đỉnh được chọn tạo thành một hình chữ nhật”
Gọi đường chéo của đa giác đều
A1A2 A12 đi qua tâm đường tròn (O) là đường chéo lớn thì đa giác
đã cho có 6 đường chéo lớn
Mỗi hình chữ nhật có các đỉnh là 4 đỉnh trong 12 điểm
A1, A2, , A12có các đường chéo là hai đường chéo lớn Ngược lại, mỗi cặp đường chéo lớn có các đầu mút là 4 đỉnh của một hình chữ nhật
Do đó số hình chữ nhật được tạo thành là: n(A)C6215
Vậy xác suất cần tính là (A)
(A)
( )
n P
n
15 1
495 33
0,25
5
(1,0) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) là : ;( ) 2 2 2
1.1 ( 2).( 2) 2.1 5
4
A P
Gọi r là bán kính của đường tròn thiết diện thì ta có 0,25
6
Gọi H là trọng tâm của tam giác ABC và O là tâm của hình chữ nhật ta có
0,25
GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 - http://nguyenkhachuong.tk
Trang 4Ta có nên góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là góc
0,25
Ta có Trong tam giác vuông SHK ta có :
Vậy
0,25
7
(1,0) Ta có đường tròn đường kính AC nên bốn điểm A,H,C,E cùng thuộc
Gọi I là giao điểm của AC và BD
Các tứ giác AKED, AKHB nội tiếp nên EKD EAD và
BKHBAH
Vì vậy tứ giác HKIE nội tiếp Do đó I thuộc đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác HKE
0,25
+) Gọi ( ;c 3) ,( 0) 2; 4
C c d c I
, do I thuộc (C) nên có phương trình:
2
c c c c (loại c 1) Suy ra: C(2;-1) và I(0;-1)
0,25 +) Điểm E,H nằm trên đường tròn đường kính AC và đường tròn (C) nên toạ độ thoả mãn hệ phương
+)Vì H có hoành độ âm nên 8; 11 , (0; 3)
5 5
H E
Suy ra AB x: y 1 0,BC x: 3y 5 0 0,25
0,25
GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 - http://nguyenkhachuong.tk
Trang 58
(1,0)
+) Sử dụng bất đẳng thức AM –GM cho hai số không âm ta có:
0,25
Vậy phương trình đầu của hệ tương đương với: xy
0,25
x x x do x Khi đó phương trình (*) tương đương với:
0,25
2
1 5 ( / )
2
( ) 2
Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( ; ) 1 5 1; 5
x y
0,25
9
(1,0)
2
1
a b c
Khi đó sử dụng bất đẳng thức AM –GM ta có:
2
2
;
0,5
Suy ra hàm số f t( ) nghịch biến trên 4; Do đó
Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 1
6
0,25
Hết
GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 - http://nguyenkhachuong.tk