ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 – LẦN 2 Môn TOÁN

b Viết phương trình tiếp tuyến của  H biết rằng tiếp tuyến có hệ số góc k 1.. Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C theo a và tính số đo góc giữa hai mặt phẳng ABC và.. Lấy ngẫu nhiê

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

TRƯỜNG THPT CHUYÊN

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 – LẦN 2

Môn: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số 2

1

x y x





 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  H của hàm số đã cho

b) Viết phương trình tiếp tuyến của  H biết rằng tiếp tuyến có hệ số góc k 1

Câu 2 (1,0 điểm)

a) Biết rằng số thực  thỏa mãn tan 2 Tính giá trị của biểu thức

3

3

sin 2cos

cos 2 sin







b) Tìm số phức z thỏa mãn z 2 và 2

1

z i



 là số thực

Câu 3 (0,5 điểm) Giải bất phương trình 2  2

1

8 2x x 2 x



Câu 4 (1,0 điểm) Giải phương trình 4x2 23x44x34x2 x12 1 x

Câu 5 (1,0 điểm) Tính diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y xln 3 x1 , trục hoành và hai đường thẳng x0, x1

Câu 6 (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ ABC A B C có ' ' ' 10  0

2

a

AB a ACa AA  BAC

Hình chiếu vuông góc của C' lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC Tính thể tích khối

lăng trụ ABC A B C theo a và tính số đo góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và ' ' ' (ACC A' ')

Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm 2 2; ,

3 3

G 

tâm đường tròn ngoại tiếp I(1; 2), điểm E(10; 6) thuộc đường thẳng chứa trung tuyến kẻ từ A và

điểm (9; 1)F  thuộc đường thẳng BC Tìm tọa độ các điểm A, B, C biết B có tung độ bé hơn 2

Câu 8 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M ( 2; 1; 0) và đường thẳng

x y z

 Lập phương trình mặt phẳng (P) qua M và chứa  Tìm tọa độ điểm N thuộc  sao cho MN  11

Câu 9 (0,5 điểm) Một hộp chứa 12 viên bi kích thước như nhau, trong đó có 5 viên bi màu xanh

được đánh số từ 1 đến 5, có 4 viên bi màu đỏ được đánh số từ 1 đến 4 và 3 viên bi màu vàng được đánh số từ 1 đến 3 Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp đó Tính xác xuất để hai viên bi được lấy vừa khác màu vừa khác số

Câu 10 (1,0 điểm) Giả sử x y z, , là các số thực không âm thỏa mãn xy yzzx1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

     

2

- Hết -

GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 - http://nguyenkhachuong.tk

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

TRƯỜNG THPT CHUYÊN

ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 – LẦN 2

Môn: TOÁN; Thời gian làm bài: 180 phút

a) (1,0 điểm)

1o Tập xác định: \ {1}

2o Sự biến thiên:

* Giới hạn, tiệm cận: Ta có

1

lim



   và

1



   Do đó đường thẳng x 1 là tiệm

cận đứng của đồ thị (H)

    nên đường thẳng y 1 là tiệm cận ngang của đồ thị (H)

* Chiều biến thiên: Ta có 1 2

y x

 với mọi x 1.

Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ; 1 , 1;   

0,5

* Bảng biến thiên:

3o Đồ thị:

Đồ thị (H) cắt Ox tại 2; 0, cắt Oy tại 0; 2 ; nhận giao điểm I1; 1 của hai đường

tiệm cận làm tâm đối xứng

0,5

b) (1,0 điểm)

Ta có

2

1

y x



 với mọi x 1. Vì tiếp tuyến có hệ số góc k 1 nên hoành độ tiếp

điểm là nghiệm của phương trình

1 1 1

x





2

x x

x







0,5

Câu 1

(2,0

điểm)

*) Với x 0 ta có phương trình tiếp tuyến y x2

*) Với x 2 ta có phương trình tiếp tuyến y x2

Vậy có hai tiếp tuyến là y x2 và y x2

0,5

a) (0,5 điểm)

Câu 2

(1,0 Rõ ràng cos 0,chia cả tử số và mẫu số của A cho cos3 ta được

0,5

x

y

I

1

2 2

x

'

y















y

GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 - http://nguyenkhachuong.tk

 2 

b) (0,5 điểm)

điểm)

Giả sử zabi, ( ,a b ) Suy ra 2 2(1 ) 1 ( 1)

i

i



Từ giả thiết 2

1

z i



 là số thực ta có b 1.

Khi đó z 2 a i 2 a2  1 2a  3

Vậy số phức cần tìm là z 3 và i z  3 i

0,5

Câu 3

(0,5

điểm)

Bất phương trình đã cho tương đương với

2 23x 1 x2 2x 23x  1 x2 2x 3x 1 x2  x

2

0,5

*) Điều kiện: 2

4x 0  2 x2

Phương trình đã cho tương đương với

Ta có x  4x22 42 x 4x2 4, với mọi x   2; 2

Suy ra x  4 x2 2,với mọi x   2; 2 (2)

Dấu đẳng thức ở (2) xảy ra khi và chỉ khi x0,x 2

Đặt 3 x2 2x  Dễ dàng có được t t   1; 2, với mọi x   2; 2

Khi đó vế phải của (1) chính là 3 2  

f t t  t  t 

0,5

Câu 4

(1,0

điểm)

0

3

t

t







 

 Hơn nữa, ta lại có ( 1) 1, (0) 2, 4 22, (2) 2

f    f  f   f 

  Suy ra f t ( ) 2, với mọi t   1; 2

Do đó

x  x x  x   , với mọi x   2; 2 (3) Dấu đẳng thức ở (3) xảy ra khi và chỉ khi x0,x 2

Từ (2) và (3) ta có nghiệm của phương trình (1) là x 0,x 2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x0, x 2

0,5

Chú ý rằng xln 3 x 10, với mọi 0 x Khi đó diện tích hình phẳng cần tính là 1

1

0

ln 3 1 d

Sx x x

Đặt uln 3 x1 , d vx xd Suy ra 3 1 2

x



0,5

Câu 5

(1,0

điểm)

Theo công thức tích phân từng phần ta có

2

x

GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 - http://nguyenkhachuong.tk

1 2

0

Gọi H là trung điểm BC Từ giả thiết suy ra

C H  ABC Trong ABC ta có

2 0

7 7

2 3

2

ABC

a

a

a

Suy ra thể tích lăng trụ

3

3

4

ABC

a

V C H S 

0,5

Câu 6

(1,0

điểm)

Hạ HK  AC Vì C H' (ABC) đường xiên C K'  AC

(ABC), (ACC A' ' C KH'

(C HK' vuông tại H nên  0

C KH 

2

HAC ABC

HK

tanC KH' C H 1 C KH' 45

HK

(ABC), (ACC A' ') 45

Ghi chú: Thí sinh có thể tính độ dài AH và suy ra AHC vuông tại A để suy ra K  A

0,5

Câu 7

(1,0

điểm)

Gọi M là trung điểm BC Phương trình GE hay AM là 4 7 0 3 7

2 4

 



 

 Gọi M3 7 ; 2 4 m  m Ta có

7 2; 4 4 ; 7 6; 4 3 

IM  m m FM  m m

Vì IM FM nên

0

IM FM

m



 

Suy ra M3; 2 

0,5

GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 - http://nguyenkhachuong.tk

Giả sử A3 7 ; 2 a 4a Vì GA 2GM

ta được a  1 Suy ra A   4; 2  Suy ra phương trình BC x: 2y  7 0 B( 2 b7; )b BC (điều kiện b 2)

Vì IBIA nên ( 2 6)2 ( 2)2 25 1

3 ( )

b





 Suy ra B(5; 1)C(1; 3) (vì M là trung điểm BC)

0,5

 có vtcp u (1; 1; 2)



và (2; 1; 1)A   MA(4; 0; 1)



, ( 1; 7; 4)

p

vtpt n u MA

   

Suy ra ( ) : 1(P  x2) 7( y1) 4 z0 x 7y4z 9 0

0,5

Câu 8

(1,0

điểm)

N  N t  t t Khi đó MN  (t4)2 ( t)2(2t1)2  11

2

Câu 9

(0,5

điểm)

Số cách lấy hai viên bi từ hộp là 2

12 66

C 

Số cách lấy ra hai viên bi gồm 1 viên màu xanh, 1 viên màu đỏ và khác số là 4 4 16. 

Số cách lấy ra hai viên bi gồm 1 viên màu xanh, 1 viên màu vàng và khác số là 3 4 12

Số cách lấy ra hai viên bi gồm 1 viên màu đỏ, 1 viên màu vàng và khác số là 3 3 9

Như vậy số cách lấy ra 2 viên bi từ hộp vừa khác màu vừa khác số là 16 12 9  37

Suy ra xác suất cần tính là

37

0, 5606

66

P  

0,5

Câu 10

(1,0

điểm)

Giả sử zminx y z, ,  Đặt 0, 0

x u y v Khi đó ta có

        

Chú ý rằng với hai số thực dương ,u v ta luôn có

u v  uv và 2 2  2

Từ (1) và áp dụng (2) ta được

2 1 2 21 2 2 1 2 21 2 12 12

x  y  y z  z x  u v v u

2 1 2 1 12 12 3 12 12

 2

2

 2  2  2  2

(3) Mặt khác ta có

x1 y1 z1xyzxy yzzx  x yz 1

xyz x yz2 x y z 2 (4)

Từ (3) và (4) suy ra

0,5

GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 - http://nguyenkhachuong.tk

5

2

x y z

Đặt x yz t 0 Xét hàm số ( ) 102 5 , 0

2

t

Ta có ( ) 203 5, 0

2

t

Suy ra f t( )0 t 2; f t( )0 t 2; f t( )00 t 2

Suy ra ( ) (2) 15

2

Từ (5) và (6) ta được 25

2

P  , dấu đẳng thức xảy ra khi x y1,z0 hoặc các hoán vị

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 25

2

0,5

GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 - http://nguyenkhachuong.tk