A là một điểm trên cung lớn AB sao cho tam giác ABC có 3 góc nhọn.. Các đường cao AD, BE, CK cắt nhau tại H.. Trong trường hợp góc BHC bằng góc BOC, tính AH theo a.. Tìm vị trí của A để
Trang 1KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Bài 1: Cho các số thực dương x, y thỏa mãn: x100 + y100 = x101 + y101 = x102
+ y102
a Hãy tìm giá trị của biểu thức: A = x2012 + y2012
b Giải hệ phương trình:
2 2 2
x y z 6
Bài 2: Trong tam giác ABC có chu vi 2p = a + b + c (a, b, c là độ dài ba cạnh) Chứng minh rằng
p a p b p c ab c
Dấu bằng trong bất đẳng thức trên xảy ra khi tam giác ABC có đặc điểm gì?
Bài 3: Cho đường tròn(O; r), dây cung BC = a không đổi A là một điểm trên cung lớn AB sao cho tam giác ABC có 3 góc nhọn Các đường cao
AD, BE, CK cắt nhau tại H
a Trong trường hợp góc BHC bằng góc BOC, tính AH theo a
b Tìm vị trí của A để tích DH.DA nhận giá trị lớn nhất
Bài 4: Cho đa giác đều (H) có 14 đỉnh Chứng minh rằng trong 6 đỉnh bất kì của (H) luôn có 4 đỉnh là các đỉnh của hình thang
Trang 2Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm B(1; 1) cố định, A di động A(m; 0)
a Viết phương trình họ đường thẳng (dm) vuông góc với AB tại A
b Chứng minh rằng không có 3 đường thẳng nào của họ (dm) đồng qui
c Tìm các điểm trên mặt phẳng tọa độ sao cho chỉ có 1 đường thẳng của
họ (dm) đi qua
Trang 3KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Bài 1: Cho a + b + c ≠ 0; a³ + b³ + c³ = 3abc Chứng minh rằng a = b = c Bài 2: Tìm x; y; z thỏa mãn phương trình
x y z 2009 2 x 19 4 y 7 6 z 1997
Bài 3: Tính giá trị biểu thức: P 1 2x 1 2x
với x 3
4
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A Phân giác AD, D thuộc BC
a Chứng minh rằng: 2 1 1
b Nếu AD là phân giác góc ngoài thì kết quả trên thay đổi như thế nào? Bài 5: Cho a, b dương sao cho a + b ≤ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q a b 1 1