ðề chính thức... Hướng dẫn chung 1 Nếu học sinh làm bài không theo cách nêu trong ựáp án nhưng ựúng thì cho ựủ số ựiểm từng phần như hướng dẫn quy ựịnh.. 2 Việc chi tiết hóa nếu có than
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO
ðỒNG THÁP
-
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2010 - 2011
-ðỀ THI MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát ñề)
Ngày thi: 10 tháng 10 năm 2010 (ðề thi gồm có: 01 trang)
Câu 1: (3 ñiểm)
Câu 2: (3 ñiểm)
Cho tam giác ABC có ba góc ñều nhọn Gọi AE, BF, CK là ba chiều cao và H là trực tâm của
Câu 3:(3 ñiểm)
Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình
Câu 4: (3 ñiểm)
( 2)
1 n-1 n
n-1
u = 1 4u + 2
u = n
u + 3
Câu 5: (2 ñiểm)
m - 2 m
x + x - (x +1)
*
m ∈ và 2 < m < n
n
Câu 6: (3 ñiểm)
S = 1+ x + + 1+ y +
Câu 7: (3 ñiểm)
Trên mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy cho elip (E) :
+ = 1
ñiểm I HẾT
ðề chính thức
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ đÀO TẠO
đỒNG THÁP
-
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2010 - 2011
-
HƯỚNG DẪN CHẤM đỀ THI CHÍNH THỨC MÔN TOÁN
(Hướng dẫn chấm và biểu ựiểm gồm có 05 trang)
I Hướng dẫn chung
1) Nếu học sinh làm bài không theo cách nêu trong ựáp án nhưng ựúng thì cho ựủ số ựiểm từng phần như hướng dẫn quy ựịnh
2) Việc chi tiết hóa (nếu có) thang ựiểm trong hướng dẫn chấm phải bảo ựảm không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải ựược thống nhất thực hiện trong tổ chấm
II đáp án và thang ựiểm
Câu 1 Giải phương trình: x4 −x2 +4 + x4 +20x2 +4 =7x (1) 3ự
x
x x
x x
t 15
2 2
t 19t 20 15 t
≤
x
x ⇔ x4 −5x2 +4=0
2 2
x 1
x 4
=
⇔ = ⇔ = ổ = ổxx 12
0.5
0.5
0.5
0.5 0.5
0.5
Câu 2 Cho tam giác ABC có ba góc ựều nhọn Gọi AE, BF, CK là ba chiều cao và H là trực tâm
3ự
3
b
c
a
H
K
E
A
B
2 2
Ớ Gọi ựộ dài ba cạnh của tam giác ABC lần lượt là a, b, c
Ớ Theo ựịnh lý sin ta có
C
c A
a
sin
C
A sin
3 sin
2 2
0.25 0.25
Trang 3• Theo giả thiết ta có BH =5HF ⇒BF =6HF
− C
2
π
= HF.tanC
• Từ (1) ⇔
A
2
sin
8 sin
9
Vì cotA > 0 nên
2
1
3
1 cotC =
cot cot
cot cot 1 ) cot(
+
−
= +
−
=
C A
C A C
A B
0.5 0.5 0.25 0.5
0.5 0.25
Câu 3 Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình
3ñ
• Xem phương trình (1) là phương trình bậc hai ñối với x:
• ðể có x nguyên thì ñiều kiện cần là
là số chính phương (k nguyên, không âm)
thì ñiều kiện cần là:
là một số chính phương (m nguyên dương)
nên ta suy ra ñược
m k 2+ =− = ⇔ k 3==
m k 4+ =− = ⇔ k 0==
2
2
=
(loại)
0.5
0.5
0.5 0.25
0.5
0.5
0.25
Câu 4
1
1 1
1
3
−
−
=
n n n
u u u u
3ñ
Sử dụng các dãy phụ ñể chuyển dãy ñã cho về dãy xác ñịnh một cấp số nhân, khi ñó
áp dụng công thức
Trang 4• ðặt un =xn+2, thay vào công thức truy hồi ta ñược
+ +
x 2x− − 2 2x −
+
n
1 y x
3
3
2 −
2
= Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát của một CSN ta ñược
n 1
n 1
n 1
2 5
3 2
−
−
Từ ñó ta sẽ ñược
+
− −
n 1 n 1
n n 1 n 1
4.5 2 u
2.5 2
− −
− −
−
=
+
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
Câu 5
n
m x x n
m
) 1 (
+
−
2ñ
n n
n n n
x C x
C x C C
1
n
m x x n
m
) 1 (
+
− +
−
là
n
m C
C n
m
−
= 2 − 2 − 1
1 − +
−
n k
k
k n
−
n m
n m n
m
m n n
m C
C n
m A
−
n m
n
m C
n m
1
1 ) 1 ( 1
−
+
−
−
− +
−
n m
m
m n n
m C
n
m
0.5
0.5
0.25
0.25
0.25 0.25
Câu 6 Cho hai số dương x, y thỏa mãn ñiều kiện x y 4+ =
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
3ñ
• Theo bất ñẳng thức Cô-si cho ba số dương, ta có:
Trang 5
1 y 1 3 7 3 7 3 3 1 y7 7 1 2( )
• Cộng từng vế của (1), (2), ta có
+
2 3
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
1 7
1 x
x 2
1 7 x y 2
1 y
y 2
x y
x y 4
+ + =
+ + =
=
+ =
4
=
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
Câu 7
16 25
2 2
= + y
x
Tìm quỹ tích ñiểm I
3ñ
K H I M
x y
a
F 2
F 1
O
2
1 2
1
2 1 2
p
1
3
5
0 0
x c
ax x x a
c c c
x+ = + ⇒ = =
⇒
0.25
0.5
0.5
0.5
Trang 6• Ta có
3
8 2
0 0
2
y c
c a y c a
cy y p
MK F F p
S IH
+
=
⇒
=
=
=
16 3 8 25
3
5 1 16 25
2 2
2 0 2
+
⇒
= +
y x
y x
9
4 9
2 2
= + y
x
0.5
0.5
0.25
-Hết -