ĐỀ THI CASIO BỔ TÚC TOÁN KHU VỰC 2010

Tính gần đúng độ, phút, giây góc ABC và diện tích của tứ giác đó... Trích đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT 2010, BT THPT Giải bằng máy tính Casio fx-570ES Gọi G là tâm của tam giác đề

Trang 1

ĐỀ THI QUỐC GIA CASIO 2010 LỚP 12 BT THPT

(Có đáp án chi tiết) Bài 1 Tính gần đúng nghiệm (độ, phút, giây) của phương trình 3cos2x+4cosx=2

Giải bằng máy tính Casio fx-570ES

3cos2x+4cosx=2

⇔ 3(2cos2x-1)+4cosx=2

⇔ 6cos2x+4cosx-5=0

Đặt X=cosx,

Phương trình thành: 6X2 +4X-5=0

Ghi vào màn hình (MathIO): 6X2 +4X-5=0

Ấn (Solve for X) nhập -0.5 ấn kết quả: -1,305158649 (loại)

Ấn (Solve for X) nhập 0.5 ấn kết quả: 0,6384919825

Vậy cosx=0,6384919825

(chọn đơn vị đo góc là độ)

Ghi vào màn hình: cos-1(X)

ấn kết quả: 50o19`14``

Kết luận nghiệm của phương trình:

x1=50o19`14``+k360o

x2=-50o19`14``+k360o

Bài 2 Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x)=sinx -cosx+sin2x

(Trích đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT 2010, BT THPT)

Giải bằng máy tính Casio fx-570ES

f(x)=sinx -cosx+sin2x=sinx-cosx+2sinx.cosx

Đặt t=sinx-cosx, -2≤t≤2 và 2sinx.cosx=1-t2

Bài toán trở thành tìm GTLN và GTNN của hàm số g(t)=-t2+t+1

g`(t)=-2t+1

g`(t)=0 ⇔ t=12

Tính giá trị của g(t) tại t=12;±2

Ghi vào màn hình (MathIO): -X2+X+1

Ấn (X?) nhập 1÷2 ấn kết quả: 54=1,25

Ấn (X?) nhập -(2) ấn kết quả: -1-2=-2,414213562

Ấn (X?) nhập (2) ấn kết quả: -1+2=0,4142135624

Suy ra:

max f(x) = max g(t) = 54

min f(x) = min g(t) = -1-2

Bài 3 Tứ giác nội tiếp ABCD có các cạnh AB = 3 dm, BC = 4 dm, CD = 5 dm, DA = 6 dm Tính gần đúng (độ, phút, giây) góc ABC và diện tích của tứ giác đó

Độ dài đường chéo AC:

AC=AB2+BC2-2.AB.BC.cosB (1)

AC=CD2+DA2-2.CD.DA.cosD (2)

Tứ giác ABCD nội tiếp nên B^=180-D^ ⇒ cosD =-cosB (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra:

AB2+BC2-2.AB.BC.cosB=CD2+DA2 +2.CD.DA.cosB

Thay số ta được:

32+42-2×3×4cosB=52+62+2×5×6cosB

(chọn đơn vị đo góc là độ)

Ghi vào màn hình (MathIO):

32+42-2×3×4cos(B)=52+62+2×5×6cos(B),B

Ấn (Solve for B) nhập 50 ấn

Ấn kết quả: B^=ABC^=115o22`37``

Diện tích tứ giác ABCD:

SABCD=SABC+SACD

=12AB.ACsinB+12 CD DAsinD

=12AB.ACsinB+12 CD DAsinB

Ghi vào màn hình: 3×4sin(B)÷2+5×6sin(B)÷2

Trang 2

Ấn kết quả: SABCD=18,9737 dm2

(Có thể sử dụng công thức sau: SABCD=(p-a)(p-b)(p-c)(p-d))

Bài 4 Tính gần đúng giá trị cực tiểu và giá trị cực đại của hàm số y=x2-5x+1x+1

y`=x2+2x-6(x+1)2

y``=14(x+1)3

y`=0 ⇔ x2+2x-6(x+1)2=0 ⇔ x2 +2x-6=0 (x=-1 không là nghiệm)

Ghi vào màn hình (MathIO): A2+2A-6,A

Ấn (Solve for A) nhập -5 ấn kết quả: -3,645751311

Ghi vào màn hình (MathIO): B2+2B-6,B

Ấn (Solve for B) nhập 5 ấn kết quả: 1,645751311

Dùng máy tính được: y``(-3,645751311)<0, y``(1,645751311)>0

⇒ yCĐ=y(-3,645751311); yCT=y(1,645751311)

Ghi vào màn hình (MathIO): X2-5X+1X+1

Ấn (X?) ấn kết quả: -12,29150262

Ấn (X?) ấn kết quả: -1,708497378

Vậy yCĐ=-12,29150262, yCT=-1,708497378

Bài 5 Giải phương trình 8x-7×2x+6=0

Đặt t=2x, t>0 thì phương trình trở thành phương trình t3-7t+6=0

Chọn chương trình giải phương trình bậc 3: ấn

Nhập hệ số

1 0 -7 6

Ấn kết quả:

{t1=-3(loại)t2=2 t3=1

t=2 ⇒ x=1

t=1 ⇒ x=0

Kết luận nghiệm của phương trình: x1=1, x2=0

Bài 6 Tính giá trị của a và b nếu đường thẳng y=ax+b đi qua các giao điểm của hai đường tròn có phương trình x2+y2+3x-4y-5=0 và x2+y2-4x+2y-1=0

Tọa độ giao điểm của hai đường tròn là nghiệm của hệ phương trình

{x2+y2+3x-4y-5=0x2+y2-4x+2y-1=0

Trừ vế theo vế hai phương trình trên ta được

7x-6y-4=0

⇔ y=76x-23

Đây là phương trình đường thẳng đi qua các giao điểm của hai đường tròn

⇒ {a=76b=23

Bài 7 Tính gần đúng thể tích khối tứ diện ABCD có các cạnh AB = AC = AD = 7 dm, BC = CD = DB = 6

dm

Gọi G là tâm của tam giác đều BCD, H là trung điểm cạnh BC

Ta có: AH ⊥ BC (tam giác ABC cân tại A)

và DH ⊥ BC (tam giác BCD đều)

⇒ BC (ADH) ⊥

⇒ BC AG ⊥

Chứng minh tương tự ta có: BD AG ⊥

⇒ AG (BCD) hay AG là đường cao đường cao của hình chóp ABCD ⊥

Diện tích tam giác BCD: SBCD=BC234

BG=BC33

AG=AB2-BG2=AB2-BC23

Thể tích khối tứ diện:

V=13AG×SBCD=13AB2-BC23×BC234

Trang 3

Ghi vào màn hình (MathIO): 1372-623×6234

Ấn kết quả: 3111=31,6070

Vậy V=31,6070 (dm3)

Bài 8 Tính gần đúng giá trị của a nếu đường thẳng y=2x-1 là một tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x2+ax+1

(kết quả gần đúng với 4 chữ số thập phân)

Đường thẳng y=2x-1 là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x2+ax+1 khi và chỉ khi phương trình sau (ẩn x) có nghiệm kép:

x2+ax+1=2x-1

⇔ x2+(a-2)x+2=0

Δ=(a-2)2-8

Phương trình có nghiệm kép Δ=0 ⇔

⇔ (a-2)2-8=0

Ghi vào màn hình (MathIO): (A-2)2-8,A

Ấn (Solve for A) nhập 5 ấn kết quả: 4,828427125

Ấn (Solve for A) nhập -5 ấn kết quả: -0,828427124

Vậy các giá trị của a thỏa mãn là: a1=4,8284; a2=-0,8284

Bài 9 Tính diện tích hình tròn nội tiếp tam giác ABC có các cạnh AB=4 dm, BC=5 dm, CA=6 dm

Diện tích tam giác ABC

SABC=p(p-a)(p-b)(p-c)=pr

Tìm r:

Ghi vào màn hình (MathIO): D(D-4)(D-5)(D-6)=DX

Ấn (D?) nhập (4+5+6)÷2 ấn

(Solve for X) nhập 5 ấn ta được nghiệm X chính là r

Diện tích hình tròn nội tiếp tam giác: S=πr2

Ghi vào màn hình: πX2

Ấn kết quả: 7π4

Vậy S=7π4

Bài 10 Tính gần đúng tọa độ giao điểm của hypebol x216-y29=1 và đường thẳng x-4y-5=0

(kết quả gần đúng lấy 4 chữ số thập phân)

Tọa độ giao điểm của hypebol và đường thẳng là nghiệm của hệ phương trình:

{x216-y29=1x-4y-5=0

⇔ {(4y +5)216-y29=1(*)x =4y +5

Giải (*)

Ghi vào màn hình (MathIO): (4A +5)216-A29=1,A

Ấn (Solve for A) nhập 10 ấn kết quả: y1=-0,2466

Ghi vào màn hình (MathIO): (4B +5)216-B29=1,B

Ấn (Solve for B) nhập -10 ấn kết quả: y2=-2,5659

Tìm x1,x2

Ghi vào màn hình: 4Y+5

Ấn kết quả: x1=4,0135

Ấn kết quả: x2=-5,2635

Vậy hypebol và đường thẳng giao nhau tại các điểm có tọa độ lần lượt là:

{x1=4,0135y1=-0,2466 ; {x2=-5,2635y2=-2,5659

**********************************

ĐỀ THI QUỐC GIA CASIO 2010 LỚP 12 THPT

(Có đáp án chi tiết) Bài 1.Cho hàm số f(x)=4x(4x+2)-1 Hãy tính tổng:

S=f(12010)+f(22010)+f(32010)+ +f(20092010)

(Trích đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT năm 2010 - THPT)

Ta chứng minh: f(x)+f(1-x)=1

Trang 4

Từ đó suy ra:

S=[f(12010)+f(20092010)]+ +[f(10042010)+f(10062010)]+f(10052010)

=1004×1+f(10052010)

Ghi vào màn hình (MathIO): 1004+4X(4X+2)-1

Ấn (X?) nhập 1005÷2010

Ấn kết quả: 20092

Ấn kết quả: 1004.5

Vậy S=1004,5

Bài 2.Cho các hàm số f(x)=ax2-3x+2, (x≠0) và g(x)=asin2x Tìm các giá trị của a thỏa mãn hệ thức: f[f(-1)]≈2+g[f(2)]

(kết quả gần đúng chính xác tới 4 chữ số thập phân)

(Trích đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT năm 2010 - THPT)

f(-1)=a +5

f[f(-1)]=f(a+5)=a(a+5)2-3(a+5)+2

f(2)=a4-4

g[f(2)]=g(a4-4)=asin(2(a4-4))=asin(a2-8)

Ta có: f[f(-1)]=2+g[f(2)]

⇔ a(a+5)2-3(a+5)+2=2+asin(a2-8)

(Chọn đơn vị đo góc là rad)

Ghi vào màn hình (MathIO): X(X+5)2-3(X+5)+2=2+ Xsin(X2-8)

Ấn (X?) nhập 1

Ấn kết quả: -5,8122

Thử lại với các giá trị ban đầu của X khác nhau ta đều tìm nghiệm duy nhất nghiệm -5,8122

Kết luận: a=-5,8122

Bài 3.Tìm nghiệm gần đúng của hệ:

{xy(x-2)(y-2)=4x2+y2-2(x+y)=4

(kết quả chính xác tới 4 chữ số thập phân)

(Trích đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT 2010 - THPT)

{xy(x-2)(y-2)=4x2+y2-2(x+y)=4

⇔ {xy(x-2)(y-2)=4x(x-2)+y(y-2) =4

Đặt {u=x(x-2)v=y(y-2)

Hệ phương trình trên trở thành:

{uv=4u+v=4

Suy ra: u,v là nghiệm của phương trình: X2-4X+4=0

Nhập hệ số: 1 -4 4

Ấn kết quả: X=2

Vậy {u=2v=2

⇒ {x(x-2)=2y(y-2)=2 ⇔ {x2-2x-2=0y2-2y-2=0

Ấn

Nhập hệ số: 1 -2 -2

Ấn kết quả: {X1=2,7321X2=-0,7321

Hệ có 4 nghiệm:

{x1=2,7321y1=2,7321 ; {x2=2,7321y2=-0,7321 ; {x3=-0,7321y3=2,7321 ;{x4=-0,7321y4=-0,7321

Bài 4 Tìm gần đúng tọa độ các giao điểm A và B của đường tròn:

4x2+4y2+12x-16y-5=0 và đường thẳng đi qua hai điểm M(-4;3), N(5;-2)

(Trích đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT 2010, THPT)

Đường thẳng MN có vector chỉ phương là u =(9;-5)

Phương trình tham số của đường thẳng MN:

{x=-4+9ty=3-5t

Tọa độ giao điểm của đường tròn và đường thẳng MN thỏa mãn:

4(-4+9t)2+4(3-5t)2+12(-4+9t)-16(3-5t)-5=0

Tìm nghiệm phương trình trên

Ghi vào màn hình (MathIO): 4(-4+9A)2+4(3-5A)2+12(-4+9A)-16(3-5A)-5=0,A

Ấn (Solve for A) nhập 1 ấn kết quả: t1=0,5233742421

Trang 5

Ghi vào màn hình (MathIO): 4(-4+9B)2+4(3-5B)2+12(-4+9B)-16(3-5B)-5=0,B

Ấn (Solve for B) nhập -1 ấn kết quả: t2=-4,506317×10-3

Tìm tọa độ giao điểm

Ghi vào màn hình: -4+9X:3-5X

Ấn (X?)

Ấn (x1=0,7104)

Ấn (y1=0,3831)

Ấn (X?)

Ấn (x2=-4,0406)

Ấn (y2=3,0225)

Tọa độ giao điểm của đường tròn và đường thẳng MN là: A(0,7104;0,3831), B(-4,0406;3,0225)

Bài 5 Tìm nghiệm gần đúng của hệ:

{xy(x-2)(y-2)=4x2+y2-2(x+y)=4

(kết quả chính xác tới 4 chữ số thập phân)

(Trích đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT 2010 - THPT)

{xy(x-2)(y-2)=4x2+y2-2(x+y)=4

⇔ {xy(x-2)(y-2)=4x(x-2)+y(y-2) =4

Đặt {u=x(x-2)v=y(y-2)

Hệ phương trình trên trở thành:

{uv=4u+v=4

Suy ra: u,v là nghiệm của phương trình: X2-4X+4=0

Nhập hệ số: 1 -4 4

Ấn kết quả: X=2

Vậy {u=2v=2

⇒ {x(x-2)=2y(y-2)=2 ⇔ {x2-2x-2=0y2-2y-2=0

Ấn

Nhập hệ số: 1 -2 -2

Ấn kết quả: {X1=2,7321X2=-0,7321

Hệ có 4 nghiệm:{x1=2,7321y1=2,7321 ; {x2=2,7321y2=-0,7321 ; {x3=-0,7321y3=2,7321 ;{x4=-0,7321y4=-0,7321

Bài 6 Cho hai điểm A và B trên đồ thị hàm số y=x2+2x-3, với x[-2;2] Hãy tính gần đúng khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm đó

Ta có đồ thị (P) của hàm số trong đoạn [-2;2] như hình vẽ

Dựa vào đồ thị ta xác định được điểm A(2;5)(P); B(x;x2+2x-3)(P)

Khoảng cách AB=(x-2)2+(x2+2x-8)2

Đặt f(x)=(x-2)2+(x2+2x-8)2

maxAB=maxf(x)=maxf(x) trên [-2;2]

f`(x)=2(x-2)+2(2x+2)(x2+2x-8)

f`(x)=0 ⇔ (x-2)+ (2x+2)(x2+2x-8)=0

Ghi vào màn hình (MathIO): (X-2)+ (2X+2)(X2+2X-8)

Ấn (Solve for X) nhập 1 ấn kết quả: 2

Ấn (Solve for X) nhập -3 ấn kết quả: -3,822875656 (loại)

Ấn (Solve for X) nhập -1 ấn kết quả: -1,177124344

Tính f(-1,177124344), f(2), f(-2)

Ghi vào màn hình: (X-2)2+(X2+2X-8)2

Ấn (X?) ấn kết quả: f(-1,177124344)=9,5147

Ấn (X?) nhập 2 kết quả: f(2)=0

Ấn (X?) nhập -2 kết quả: f(-2)=45=8,9443

Kết luận: maxAB=9,5147

Bài 7 Cho dãy số {un} với

un=sin(2010-sin(2010-sin(2010- sin(2010-sin2010))))

Tìm n0 để với mọi n≤n0 thì un có 4 chữ số thập phân ngay sau dấu phẩy là không đổi Tính giá

trị u2009

Trang 6

(chọn đơn vị đo góc là rad)

Nhớ -1 vào X, nhớ 0 vào A

Ấn sửa lại thành: X+1→X:sin(2010-A)

Ấn

Ấn liên tiếp phím cho đến khi sin(2010-A) kết quả có 4 chữ số thập phân sau dấu phẩy không đổi thì dừng

Ấn

Kết quả: n0=186

Và u186=u187=u188= =-0,3071

Suy ra: u2009=-0,3071

Bài 8 Một người mua xe máy trả góp với giá tiền là 20.000.000 đ, mức lãi suất 1,2% / tháng với quy ước 1 tháng trả 800.000 đ cả gốc và lãi Hỏi sau 12 tháng kể từ ngày người ấy mua xe số tiền còn nợ là bao nhiêu đồng? Sau một năm lãi suất lại tăng lên là 1,5% / tháng và người đó lại quy ước 1 tháng trả 1.000.000 đ cả gốc và lãi (trừ tháng cuối cùng) Hỏi sau bao nhiêu tháng người ấy trả hết nợ? (tháng cuối trả không quá 500.000 đ)

Giải bằng máy tính Casio fx-570MS

Gọi u0 là số tiền người đó mua xe: u0=20000000 (đồng)

un là số tiền người đó còn nợ sau n tháng

Ta có: {u0=20000000un=1,012un-1-800000(TH:n≤12) un=1,015un-1-1000000(TH:n>12)

Nhớ 0 vào X, nhớ 20000000 vào A

Ghi vào màn hình: X=X+1:A=1.012A-800000

Ấn liên tiếp phím cho đến khi X = 12 thì dừng

Ấn kết quả: u12=12818250,87

Vậy sau 12 tháng, số tiền người đó còn nợ là 12818250,87 đồng

Ghi vào màn hình: X=X+1:A=1.015A-1000000

Ấn liên tiếp phím cho đến khi A<0 thì dừng

Ấn kết quả: 27

Vậy sau 27 tháng người đó trả hết nợ

Bài 9

Cho một tứ diện SPQR có SP = QR = 11, SQ = PR = 20 và SR = PQ = 21 Hãy tính thể tích của tứ diện đó?

Ta dựng các đường thẳng lần lượt đi qua P, Q, R và lần lượt song song với QR, PR, PQ

Các đường thẳng trên lần lượt cắt nhau tại A, B, C

P, Q, R là trung điểm của các cạnh tương ứng AB, BC, CA

SPQR=14SABC Suy ra:

VSPQR=14VSABC

Ta có: ΔSBQ cân tại Q (SQ = BQ = PR) ⇒ BSQ^=SBQ^

ΔSCQ cân tại Q (SQ = CQ = PR) ⇒ CSQ^=SCQ^

⇒ BSC^=BSQ^+CSQ^=12(2BSQ^+2CSQ^)=12(BSQ^+SBQ^+CSQ^+SCQ^)=90o

Tương tự: ASB^=ASC^=90o

Suy ra: VSABC=16SA.SB.SC

⇒ VSPQR=124SA.SB.SC

Trong đó: {SA2+SB2=AB2=4QR2=4b2SB2+SC2=BC2=4PR2=4a2 SC2+SA2=AC2=4PQ2=4c2

⇔ {SA2=2(b2+c2-a2)SB2=2(a2+b2-c2) SC2=2(a2+c2-b2)

Lưu 20 vào A, 11 vào B, 21 vào C:

Ghi vào màn hình (MathIO): 1242(B2+C2-A2)×2(A2+B2-C2)×2(A2+C2-B2)

Ấn kết quả: 360 Vậy VSPQR=360 (đvtt)

Định dạng
Số trang	7
Dung lượng	258,67 KB