k a Chứng tỏ rằng chỉ có một giá trị k bé hơn 30 để cho các giá trị của dãy số đều nguyên... Hỏi bác An gửi bao nhiêu kỳ hạn 6 tháng, bao nhiêu tháng chưa tới kỳ hạn và lãi suất không kỳ
Trang 1Sở Giáo dục vμ Đμo tạo Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Đề thi chính thức Khối 11 THPT - Năm học 2009-2010
Thời gian làm bài: 150 phỳt
Ngày thi: 20/12/2009 - Đề thi gồm 5 trang
Điểm toàn bài thi (Họ, tên vμ chữ ký) Các giám khảo (Do Chủ tịch Hội đồng thi Số phách
ghi)
GK1 Bằng số Bằng chữ
GK2
Qui định: Học sinh trỡnh bày vắn tắt cỏch giải, cụng thức ỏp dụng, kết quả tớnh toỏn vào ụ
trống liền kề bài toỏn Cỏc kết quả tớnh gần đỳng, nếu khụng cú chỉ định cụ thể, được ngầm định chớnh xỏc tới 4 chữ số phần thập phõn sau dấu phẩy
Bài 1 (5 điểm) Tớnh giỏ trị của hàm số f x( ) tại x0,75:
5
2 sin cos ( )
2
3
f x
x
x x
Bài 2 (5 điểm)
Tỡm tọa độ giao điểm của của đồ thị hai hàm số y x 43x24 và 2 22 5
2
y x
Trang 2Bài 3 (5 điểm)
Cho biết: 4 tan3 19 tan2 37 tan 28 0
2
x x x x
3 3sin 5cos 4
2
y y y
cos cot sin cos sin 2sin cot 3cos
M
Bài 4 (5 điểm) Cho dãy hai số xác định như sau: u n
2
u u u ku n
, là số nguyên dương cho trước k
a) Chứng tỏ rằng chỉ có một giá trị k bé hơn 30 để cho các giá trị của dãy số đều nguyên Khi đó tính chính xác các giá trị u u10; 11;u u12; 13
b) Với giá trị k tìm được ở câu a), lập công thức truy hồi tính u n2 theo u n1 và u n Chứng minh
Trang 3Bài 5 (5 điểm) Tìm các chữ số hàng đơn vị, hàng chục và hàng trăm của số tự nhiên:
2010 9 2
Bài 6 (5 điểm)
Bác An gửi tiết kiệm số tiền ban đầu là 20 triệu đồng theo kỳ hạn 3 tháng với lãi suất 0,72%/tháng Sau một năm, bác An rút cả vốn lẫn lãi và gửi lại theo kỳ hạn 6 tháng với lãi suất 0,78%/tháng Gửi đúng một số kỳ hạn 6 tháng và thêm một số tháng nữa thì bác An phải rút tiền trước kỳ hạn để sửa chữa nhà được số tiền là 29451583,0849007 đồng (chưa làm tròn) Hỏi bác An gửi bao nhiêu kỳ hạn 6 tháng, bao nhiêu tháng chưa tới kỳ hạn và lãi suất không
kỳ hạn mỗi tháng là bao nhiêu tại thời điểm rút tiền ? Biết rằng gửi tiết kiệm có kỳ hạn thì cuối
kỳ hạn mới tính lãi và gộp vào vốn để tính kỳ hạn sau, còn nếu rút tiền trước kỳ hạn, thì lãi suất tính từng tháng và gộp vào vốn để tính tháng sau Nêu sơ lược quy trình bấm phím trên máy tính để giải
Trang 4Bài 7 (5 điểm) Cho đa thức 2 3
P x x x x x 20 a) Tính gần đúng 2
3
P
b) Tìm hệ số chính xác của số hạng chứa x5 trong khai triển và rút gọn đa thức P(x)
Bài 8 (5 điểm)
Trong ngày thi giải toán trên máy tính cầm tay (20/12/2009), bạn Bình đố bạn Châu tìm
số nguyên x nhỏ nhất sao cho khi bình phương lên thì được một số nguyên có 4 chữ số đầu là
2012 và 4 chữ số cuối là 2009 Em hãy giúp bạn Bình tìm số x này và viết chính xác số x2
Nêu sơ lược cách giải
Bài 9 (5 điểm)
Cho tứ diện ABCD có AB = 12 dm; AB vuông góc với mặt (BCD); BC = 7 dm; CD = 9
dm và góc CBD = 520
a) Tính gần đúng thể tích và diện tích toàn phần của tứ diện ABCD
Trang 5b) Tính gần đúng bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và số đo (độ, phút, giây) của
góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (BCD) Cho biết: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là mặt
cầu có tâm cách đều 4 đỉnh của tứ diện đó một đoạn bằng bán kính
Bài 10 (5 điểm) Một chậu nước hình bán cầu bằng nhôm có bán kính R 10cm, đặt trong một khung hình hộp chữ nhật (hình 1) Trong chậu có chứa sẵn một khối nước hình chỏm cầu có chiều cao Người ta bỏ vào chậu một viên bi hình cầu bằng kim loại thì mặt nước dâng lên vừa phủ kín viên bi (hình 2) Tính bán kính của viên bi (kết quả làm tròn đến 2 chữ số
lẻ thập phân)
4
h cm
Cho biết công thức tính thể tích khối chỏm cầu của hình cầu (O, R), có chiều cao là: h
2 hom
3
c cau
h
V h R
Trang 6Së Gi¸o dôc vμ §μo t¹o Kú thi chän häc sinh giái tØnh
§Ò thi chÝnh thøc Khèi 11 THPT - N¨m häc 2009-2010
Đáp án và biểu điểm
TP
§iÓm toµn bµi
2
Phương trình cho hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số:
và
4 3 2
y x x 4 2 22 5
2
y x
là:
Dùng chức năng SOLVE ta tìm được hai nghiệm (khi lấy giá trị đầu
là 0 và 1):
1 0,701149664
x và x2 1,518991639
Dùng chức năng CALC để tính các giá trị tung độ giao điểm:
1 2,7668
y và y2 2, 4018
Vậy: Hai đồ thị của hai hàm số đã cho cắt nhau tại hai điểm
3
tan 1,75
2
x x
, nên x tan 1 1.75 180 0 119 44'42" 0 lưu vào biến nhớ A
Giải phương trình: 3sin 5cos 4 3
2
y y y
0
, ta được:
Theo điều kiện bài toán cho thì (trong quá trình tìm nghiệm, ta lưu kết quả đó
vào biến nhớ B)
102 21' 360 ; 195 43'20" 360
0
195 43'20"
y Tính tử số và lưu vào biến X, tính mẫu và lưu vào biến Y Tính
0,0400
X
M
Y
4
2
u u u ku n
1 1; 2 5 1 1 8 5 8
Để u2 thì k 8 0, 1, 4, 9, 16 k 8, 9, 12, 17, 24 (k < 30)
Thử với k8, 9, 12, 17: chỉ có u u1, 2 là số nguyên, còn u3
Với k 24: Ta có:
Trang 71 1, 2 9, 3 89; 4 881; 5 8721; 6 86329; 7 854569;
8 8459361; 9 83739041; 10 828931049
11 8205571449; 12 81226783441; 13 804062262961;
Công thức truy hồi của un+2 có dạng:
u au bu a b
u au bu a b
2 10 1
u u u
Ta có hệ phương trình:
Do đó:
Chứng minh sơ lược:
Ta có:
2
1
(1)
u u u u Trừ (1) cho (2) ta có:
2 2
u u u u u u u u u u
Dãy số đơn điệu tăng, nên: u n1u n110u n u n110u nu n1
Hay: u n2 10u n1u n
5
Ta có: 29 29 1 512 mod 1000
2 2 2 512 512 512 352 (mod 1000)
2 2 2 352 912 (mod 1000)
2 2 2 912 952 (mod 1000)
2 2 952 312 (mod 1000); 2 2 312 552 (mod 1000);
2 2 312 552 (mod 1000); 2 2 552 712 (mod 1000);
2 2 712 152 (mod 1000); 2 2 152 112 (mod 1000);
2 2 152 112 (mod 1000); 2 2 112 752 (mod 1000);
11 10 9
2 2 752 512 (mod 1000);
Do đó chu kỳ lặp lại là 10, nên
Vậy: A 2 9 2010 có ba chứ số cuối là: 752
6
Số tiền nhận được cả vốn lẫn lãi sau 4 kỳ hạn 3 tháng và sau 1; 2; 3 ;
4; 5; 6; 7 kỳ hạn 6 tháng lần lượt là:
20000000 1 0,72 3 100 1 0,78 6 100 A Dùng phím CALC lần
Trang 827382437,34 đồng ; 28663935,38 đồng; 30005407,56 đồng
Ta có: 28663935,38 < 29451583,0849007< 30005407,56,
Nên số kỳ hạn gửi sáu tháng đủ là: 6 kỳ hạn
Giải phương trình sau, bằng dùng chức năng SOLVE và nhập cho A
lần lượt là 1 ; 2; 3 ; 4; 5, nhập giá trị đầu cho X là 0,6 (vì lãi suất
không kỳ hạn bao giờ cũng thấp hơn có kỳ hạn)
20000000 1 0, 72 3 100 1 0, 78 6 100 1 X 100 A 29451583.0849007 0
X = 0,68% khi A = 4
Vậy số kỳ hạn 6 tháng bác An gửi tiết kiệm là: 6 kỳ hạn ; số tháng
gửi không kỳ hạn là: 4 tháng và lãi suất tháng gửi không kỳ hạn là
0,68%
7
a) 2 68375, 2807
3
P
b) Hệ số của số hạng chứa x5 là:
20
5
2 3k 2 296031627712=9473012086784
k
k
8
Các số có 4 chữ số khi bình phương lên có 4 chữ số cuối là 2009 là:
2003, 7003, 3253, 8253, 1747, 6747, 2997, 7997
4485 2012abcd 4487; 14184 2012abcde14189
Số cần tìm là: x = 14186747
2 201263790442009
x
9
a) Xét tam giác BCD, ta có:
CD BC BD BC BD 0
2
2 14cos520 72 9 0
Giải phương trình bậc hai theo BD, ta có hai
nghiệm:
1 2,801833204 0
2 11, 42109386
x
(loại) và
Do đó: BD11, 42109386d m
1
sin 52 31, 49980672 2
BCD
125,9992
3 BCD
V S SA dm
S BC AB dm S BD AB dm
Trang 9Xét tam giác ACD: AC BC2 AB2 7 2 12 2 193 dm
2 2 16,56627251
Nửa chu vi của tam giác ACD: 19,72935825
2
AC CD AD
ACD
S p p AC p AD p CD d m
m
Vậy diện tích toàn phần của tứ diện ABCD là: S tp 204,5423d 2
b) Tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD cách đều B, C, D nên
I ở trên trục Ox của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD (Ox
(BCD) tại tâm O của đường tròn (BCD), nên Ox//AB) Trong mặt
phẳng (SA, Ox), trung trực đoạn AB cắt Ox tại I I là tâm mặt cầu
ngoại tiếp tứ diện ABCD và bán kính của mặt cầu là:
2 2 6 2 2
R IO OB r ( là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam
giác BCD):
r
0
9
sin 52
CD
r r
2 2
6 8, 2832
R r d m
BCD ACD
ACD
S
S
0,5038687188 ( là góc giữa 2 mặt phẳng (ACD) và (BCD))
ACD
S S
10
Gọi x là bán kính viên bi hình cầu Điều kiện: 0 2 x 10 0 x 5
Thể tích khối nước hình chỏm cầu khi chưa thả viên bi vào:
2
1
4 416
16 10
h
3
Khi thả viên bi vào thì khối chỏm cầu gồm khối nước và viên bi có
thể tích là:
2
2 2
x
Ta có phương trình:
2 1
4
3
V V x x x 3x330x2104 0
Giải phương trình ta có các nghiệm: x19,6257 5 (loại);
2 2,0940 5
x x3 1,7197 0
Vậy: Bán kính viên bi là r2,09c m
